2022年高中数学选择性必修第二册第四章单元测试卷

2022年高中数学选择性必修第二册第四章达标检测

（满分:150分;时间:120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在数列｛aj中向=2,2an+i=2an+l（n£N*）,则a,01的值为（）

A.52B.50C.51D.49

2.在等比数列｛aj中,ai+a2=6,a3=3,则公比q的值为（）

A.--B.-1

2

C,或1D.T或-1

3.已知数列｛a"是等差数列,a】=2,其公差d#0.若as是a3和a&的等比中

项，则S18=（）

A.398B.388C.189D.199

4.在数列｛aj中,ai=-2,an+i=l-~,则a2019的值为（）

an

A.-2113

322

5.已知两个等差数列｛踊｝与｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且誓=3誉,

Dfi?1+3

则使得詈为整数的正整数n的个数是（）

bn

A.2B.3C.5D.4

6.观察下面数阵：

1

35

791113

1517192123252729

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（）

A.545B.547

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C.549D.551

7.设Sn为数列｛aj的前n项和，已知a尸;，巴3=Z+2n,则S,oo=()

2an+1an

4949

A2-21-0-0AB/2-—2"

C2蒜51D.2募51

8.设｛a。｝是等差数列,且公差不为零，其前n项和为Sn,则

“Vn£N*,Sn+]>Sn”是“｛aj为递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分

选对的得3分，有选错的得0分)

9.设等差数列⑶｝的前n项和为Sn.若S3=0,a4=8,KiJ()

2

A.Sn=2n-6n

2

B.Sn=n-3n

C.an=4n-8

D.an=2n

10.已知数列｛an｝,｛bn｝满

足:an+i=2an+bn,bn+i=an+2bn+ln詈(n£N*),ai+bi>0,则下列命题为真命题

的是()

A.数歹！j｛a『bn｝单调递增

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B.数列｛M+bn｝单调递增

C.数列｛aj单调递增

D.数列｛bn｝从某项以后单调递增

11.数列｛%｝的前n项和为Sn,若数列出｝的各项按如下规律排

列弓3，1333W13曰「.，工：「.，吧（11122,11£川）「・,则以下运算和结论

2334445555mmm1

正确的是（）

A_3

A.a24="

o

B.数列ai,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+aio,…是等比数列

C数列四国2+23,34+25+26再7+28+29+210,…的前n项和为

D.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+i210,则ak=|

12.在数列®｝中，若W-a"=p（n22,n£N*,p为常数），则称｛aj为“等

方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A.若｛a。｝是等差数列，则｛吗｝是等方差数列

B.H-1）11｝是等方差数列

C.若｛如｝是等方差数列，则｛akn｝（k£N*,k为常数）也是等方差数列

D.若｛即｝既是等方差数列,又是等差数列，则该数列为常数列

三'填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答

案填在题中横线上）

13.已知等比数列｛即｝满足a2+a3=5,a3+a4=10,则公比q=，前n

项和Sn=.（第一空2分,第二空3分）

14.我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有人

与钱,初一人与三钱，次一人与四钱,次一人与五钱，以次与之，转多一钱,

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与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”则分钱问题中的人数

为.深度解析

15.已知数列｛五｝的前n项和是Sn,且an+Sn=3n-l,则数列｛%｝的通项公

式an=.

16.对于数列｛%｝,定义数列｛踊+|冏｝为数列｛aj的“差数列”，若

a产2,⑶｝的“差数列”的通项公式为“+川=21数列出｝的前n项和为

Sn,则logKSn+2）的最大值为.

2

四'解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）在①b+b3=a2,②如巾4,③Ss=-25这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值，若不存在，

请说明理由.

设等差数列｛加｝的前n项和为Sn,｛bn｝是等比数

列,b=a5,b2=3,b.5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+i且Sk+I<Sk+2?

注:若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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18.（本小题满分12分）已知等差数列｛aj满足a,+a3=8,a4-a2=4.

（1）求数列｛aj的通项公式及其前n项和Sn;

（2）记数歹Q｝的前n项和为若L嗡，求n的最小值.

19.（本小题满分12分）已知数列｛即｝的前n项和为Sn,且满足

Sn=3an+2n-4.

⑴求证:数列｛a『2｝为等比数列；

（2）记匕十寻七焉,求数列｛bj的前n项和心.

2+3

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20.(本小题满分12分)在数列｛a/中,a。。,其前n项和为Sn,且对任意

n£N*,都有(册+l)2=4Sn.等比数列｛、｝中,b+b3=30,b4+b6=810.

⑴求数列｛%｝,｛bn｝的通项公式;

(2)求数列｛(4)%+>｝的前n项和Tn.

21.(本小题满分12分)已知数列｛aj的前n项之积「满足条件:①｛1｝

是首项为2的等差数列;②T2-T5=g

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设数列｛bj满足％=他冏淇前n项和为Sn.求证:对任意正整数H,

7n+2

都有0<S<i

n4

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22.(本小题满分12分)若无穷数列a1,a2,a3,…满足:对任意两个正整数

i,j(j-i23),ai一i+aj+尸a+aj与a+]+为一尸a+aj至少有一个成立,则称这个数列

为“和谐数列”.

(1)求证:若数列｛许｝为等差数列，则｛即｝为“和谐数列”；

⑵求证:若数列｛即｝为“和谐数列”，则数列｛a"从第3项起为等差数

列；

(3)若｛%｝是各项均为整数的“和谐数列”，满足ai=O,且存在p£N*,使

得ap=p,a1+a2+a3+…+ap=-p,求p的所有可能值.

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答案全解全析

一'单项选择题

1.A由已知得,an+i-an《,n£N*，所以⑶｝是首项为2,公差为抽等差数

列.

所以由等差数列的通项公式得ag=2+100x；52,故选A.

2.C由题意可得产]的=2"+q)=6,两式相除得弯=2,所以

(@3—a】q—3fq

2q2-q-l=0,

解得q=l或q=-点故选C.

3.C由题意可得磅=a3a8,即(2+4d)2=(2+2d)・(2+7d),整理得d2-d=O,V

d#0,1d=1,S]8=18a1189.故选C.

4.B由an+i=l-—,

an

得an+2=l—=1--,

an+11-藐If

所以an+3=1~^—=1—r-=an.

而+2=

所以数列｛a。｝是以3为周期的周期数列，

所以a?oi9=a3=7^—•故选B.

1一。13

5.C设数列｛aj的首项为a1,数列｛%｝的首项为bi「.,数列｛aj和｛bj

均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足富=卫中,

Bnn+3

(2n-l)(ai+a2n-i)

•42n-l二2二an

..Wn]—(2n-1)(匕1+匕2侬1)一/

_7x(2n・l)+45_14n+38_7(2n+2)+24

2"-l+32H+22TI+2

=7+—=7+—.

2n+2n+1

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经验证知，当n=l,2,3,5,ll时善为整数.故选C.

6.C由题意可得该数阵中第m行有个数，

所以前m行共有当个数，

所以前8行共255个数.

因为该数阵中的数依次相连构成等差数列，

所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是1+(275-1)x2=549.故

选C.

7.D由出=2+”得经LL=2n,则

an+lanan+lan

nnnl

_-^=2-'—_2Ll=2n-2....—.—=2

anan-lan-lan-2a2al

将各式左右两边分别相加，

得二二-=21+22+•••+2n-1=2n-2,

anal

又ai《,所以an=n•/

所以Sioo=1x1+2x^+•••+100x-^,(l)

打00=1x翥+...+99x备+1OOX盍，②

11111/-1\100z-i\101

①-②，得/崂+h…+河-100X亦E-Q)-100X(-),

/I\99Z-1\100r-I

所以SIOo=2-(|)-100x(3=2-★故选D.

8.A由Sn+]>Sn得an+l>0,

设｛aj的首项为a1,公差为d,则a]+nd>0,又Sn+1>Sn对任意n£N*恒成立,

/.ai+nd>0对任意n£N*恒成立，

，(ai+nd)min>0,由d/0,

得当d<0时,ai+nd无最小值，

当d>0时,ai+nd存在最小值，为a,+d,

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，d>0,从而｛%｝是递增数列，所以充分性成立.

若｛aj递增，则Sn+l>Sn不一定成立，

如an=-y+nj!jS4=-12,S5=g,S5Vs4,即必要性不成立，故选A.

二、多项选择题

9.AC设等差数列｛即｝的首项为a1,公差为d,则瞋。

十5Q—o,

1=-1

=4.

an=-4+(n-1)x4=4n-8,

Sn=nx(-4)+^^x4=2n2-6n,故选AC.

10.BCD由题可知,an+i=2an+bn①，

bn+l=an+2bn+lnT^②，

①-②得,an+i-bn+尸a「bn-ln胃，

当n=l时,a2-b2=ai-bi-ln2,

.♦.a2-b2<ai-bi,故A错误.

①+②得,an+i+bn+i=3(an+bn)+ln(n+l)-31nn,an+i+bn+i-ln(n+l)=3(an+bn-ln

n),

A｛an+bn-lnn｝是以a】+bi为首项,3为公比的等比数列,...an+bn-ln

n=(ai+bi)•3n-|,

n-1

.*.an+bn=(ai+bi)•3+Inn,③

又ai+bi>O,.*.B正确.

将③代入①得,an+i=an+(an+bn)=an+(ai+bi)•3n-1+lnn,

a+n-1

.*.an+i-an=(ibi)*3+lnn>0,故C正确.

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将③代入②得,bn+尸bn+(an+bn)+hiW=bn+(ai+b|)♦S^'+lnn+lnW，

九^n,3

，bn+i-bn=(ai+bi)•3nl+ln(n+l)-21nn.

由指数函数与对数函数的增长速度知,从某个n(n£N*)

起,(ai+bi)・n>O,Xln(n+l)-lnn>0,/.bn+i-bn>0,

即｛bn｝从某项起单调递增，故D正确.

故选BCD.

11.ACD在A中,分母为2,3,4,…的分数分别有1,2,3,…个，

以2,3,4,5,6,7为分母的数共有1+2+3+4+5+6=21个,...

a22=1,a23=|,a24=1,A正确；

OOO

在B中,aiW，a2+a3=|=l,a4+a5+a6=3=|,.......,\+#一+答=?(111》2),二.

2,…，早构成首项为"公差为5的等差数列,B错误；

在C中，由B的结论，可知Tn=nx：+吟哼\c正确；

2224

在D中，由C中结论可得,丁5=宁等<10,16=空片>10,

4242

，ak的分母为7,

由T6=y>10,T6-1=y-1<10,

得ak=|,D正确.故选ACD.

12.BCD在选项A中，取an=n,则｛aj是等差数列，且成=吐则

W+iY=(n+l)2-n2=2n+l,不是常数,:.｛成｝不是等方差数列,A错误.

在选项B中,W-a£=[(-l)叩-[(-1严]2=7=0,是常数,

•••｛(-1尸｝是等方差数列,...B正确.在选项C中,由｛%｝是等方差数列，得

aj-*l=p，从而«n=al+(n-l)p.

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成(„+1)-£1短=[aa+(kn+k-1)p]-[a什(kn-1)p]=kp,是常数,{akn}是等方

差数列,，C正确.在选项D中，由｛aj是等差数歹U,可设公差为d,则

an-an-产d,

又｛an｝是等方差数列,**i=p.

a

:.a-n-n-1=(an+an-1)(a『an-1)=(an+an_1)d=p，从而(an+i+an)d=p.

两式相减得,(d+d)d=O,解得d=0,所以旧｝是常数列,...D正确.故选

BCD.

三、填空题

13.答案2;注辿

解析设等比数列｛an｝的首项为ai.

由题意得,q=Q3=^=2.

a2+a35

/.a2+a3=aiq+aiq2=6ai=5,/.ai=-.

nxn

.q_a1(l-<7)J(l-2)_5(2«-l)

••On———.

1-q1-26

14.答案195

解析依题意得，初次分钱时，每人所得钱数依次构成首项为3,公差为

1的等差数列，设人数为n,则总钱数为3n+等xl=9+m，平均分时每

人得100,则总钱数为100n,可得9+^=10011,解得n=195,即分钱问题中

的人数为195.

名师点评题中大意为，将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱,

第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多1钱,分完后，再把钱收回平均

分给各人,结果每人分得100钱，问有多少人?即求一个等差数列的项

数问题，着重考查学生对题中文字意思的理解和关系式的建立.

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15.答案3-g）n-2

解析设数列｛aj的首项为瞥由题得an+Sn=3n-1,an.,+Sn.i=3n-4（n2）,

两式相减得“=*」+|,即源-3=如八3),所以数列｛a『3｝是公比为抽等

比数列，当n=l时，结合题得ai+S1=ai+ai=2,解得a1=l,

所以an-3=(ai-3)Q)n'

n-ln-2

=（1-3）・©一（2）9

n2

所以an=3-g）'.

16.答案-2

解析由题意得an+「an=2n,则

n-1=n2=n3

Hn-Hn-1=2,an-J-an-22-,an.2~^n-32-,..........22T1二2,将以上各式相力口，得

an-ai=2nT+2n-2+2『3+…+2=今（1：'）=2忆2,

n23nn+1n+1

an=2,Sn=2+2+2+-+2=^-^=2-2,Sn+2=224.贝I」logi（Sn+2）

1-22

的最大值为logi4=-2.

2

四'解答题

17.解析设等差数列｛即｝的公差为d,等比数列｛b/的公比为q,因为在

等比数列｛bj中,b2=3h=-81,所以q3=W=-27,所以q=-3,从而

bn=b2（-3）i2=3x（-3）n-2,从而a5=bi=-l.（2分）

若存在k,使得Sk>Sk+],即Sk+rSk<0,则ak+1<0;

同理，若使Sk+i<Sk+2,即Sk+2-Sk+i>0,则ak+2>0.（4分）

解法一:若选①:由b+b3=a2,得a2=-l-9=-10,所以（1=答=芍&=3,所以

5—23

an=a2+（n-2）d=3n-16.（8分）

当n=4时，满足a5=-l<0且a6=2>0,即存在k=4,使S4>S5且S5<S6.（10分）

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若选②:由a4=b4=27,且a5=-l,得d=as-a4=-28<0,(6分)

所以数列｛an｝为递减数列,(8分)

故不存在ak+,<0且ak+2>0,即不存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2.(10分)

若选③:由S5=-25=sa；a5)=5a3,解得a3=-5,(6分)

所以d=等学==警=2,所以an=a3+(n-3)d=2n-l1,(8分)

所以当n=4时，满足a5=-l<0且a6=l>0,即存在k=4,使得S4>S5且

S5Vs6.(10分)

解法二:若选①:由bi+b3=a2,得a2=-l-9=-10,所以d="^=3,ai=a2-d=-13,

2

所以Sn=nai+^^xd=|(3n-29n).(6分)

由之>?蓝，得

Qk+l<"+2,

3/2-29k>3(k+l)2-29(k+l)

3(fc+l)2-29(k+l)3(fc+2)2-29(k+2)出分)

(2<2'

解得各k号又k£N*,所以k=4满足题意.(10分)

若选②:由34=b4=27,a5=b]=-l得产::厂2彳解得优】=111>

所以Sn=nai+n(；i)d=-14n2+125n.(6分)

由管得

(J/c+1<J/c+2，

1141+125k>-14(k+l)2+125(k+1),八

t-14(Zc+I)2+125(k+1)<-14(k+2)2+125(k+2),

不等式组无解，

所以不存在k值，使得Sk>Sk+I且Sk+,<Sk+2.(10分)

若选③:由S5=5a；as)=5a3=-25,

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得a3=-5,又a5=bi=-l,

熬案二:懈得的=-9,

所以

I1V4JLfd=2,

n(n-l)

所以S=nai-Fd=n2-10n,(6分)

n2

S/c>S^+L彳日

由5k+lVS4+2,寸

f/c2-10k>(k+l)2-10(k+l),

l(k+l)2-10(k+1)<(k+2)2-10(k+2)；)

解得《kq，又k£N*,所以k=4,

即存在k=4,使得Sk>Sk+i且Sk+i<Sk+2.(10分)

18.解析⑴设等差数列｛aj的公差为d.

的+a=2al+2d=8,

依题意有3

a4-a2=2d=4,

解得｛:122'（2分）

2

所以an=2n,Sn=n+n.（6分）

⑵由⑴得2=岛;^^，（7分）

所以［1=三+三+…

、23n

=（1-）

I2/\23/\nn+lj

=1-击（9分）

因为为噎，即喘，（1。分）

所以n>99.又n£N*,

所以n的最小值为100.（12分）

19.解析⑴证明:当n=l时,Si=3a「2,解得a1=l,（2分）

由Sn=3an+2n-4,①

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得Sn+i=3an+i+2(n+l)-4,②

②-①得,an+i=3an+「3an+2,(4分)

-2=|(a『2),

即an+i=-an-l,an+i

又3]-2=-1,

所以｛a『2｝是首项为-1,公比为|的等比数列.(6分)

(2)由⑴知“因此％=哭.(8分)

5271-1

故T产并、・+・・・H------，①

22*2232n'

J132n-327i-l

-T=--^---+---+---，②

2n22232n2n+1

①-②

2rl=114Y)]

12222n-l1112n-l11

得扣=―_1_---+・・•H-----------=1-•I---+••・---二一+l-

222232n2n+122222n+121-12n+12

2

n-12n-l_32n+3

,(11分)

©2n+122n+1

2tl+3

所以Tn=3-.(12分)

2n

20.解析⑴由(an+l)2=4Sn,

得Sn=：(l+an)2,①

当n》2时,Sn"W(l+an“)2,②

22

①-②得,Sn-Sn-1=^(1+an)-J(l+an-i),即4即=哈碌1+2(a『an-1),整理得

W-a"=2(an+an-i),

an+an.]>0,/•a『an-1=2(n22).

由已知得，当n=l时,Si=[(l+ai)2,即ai=：(l+ai)2,解得ai=l,(3分)

•••数列｛源｝是首项为1,公差为2的等差数列，

an=l+2(n-l)=2n-l(nGN*).(4分)

设等比数列｛bn｝的公比为q,

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则q3=-生生=%=27,；.q=3

匕1+6330

2nln

,b,+b3=bi+b,q=30,即10b1=30,解得。=3,bn=biq=3(neN*).(6分)

⑵记数列｛（-1）与｝的前n项和为An,数列｛8｝的前n项和为Bn,

则B产哼乎=｝（3田-3）.（7分）

1—0N

当n为偶数时,｛即｝的奇数项与偶数项各有］项，

则An=-a1+a2-a3+♦•--an.1+an

=-(a1+a3+•,,+an.1)+(a2+a4+•••+an)

机+(2n-3)]翔+(2n-l)]

=n.(9分)

22

当n为奇数时,面｝的奇数项有等项，偶数项有4项，则

An=-ai+a2-a3+•••+an.i-an=-(ai+a3+---+an)+(a2+a4+,-,+an-i)

争l+(2n-l)]阴3+(2n-3)]

22

=-n.(ll分)

f-(3n+l-3）+n,n为偶数，

所以Tn=An+Bn=4、，（12分）

匕(3n+1-3）-n,n为奇数.

21.解析⑴设等差数列侦｝的公差为d.

由已知得3=2,所以｝=2+（n-l）d,

T1Tn

所以;2+d,5=2+4d,（2分）

12口

因为12-15=*,所以-二

62+d2+4d6

解得d=l,所以六n+1,即T产士.（3分）

Tnn+l

又Tn=ai•a2...........an=」T，

所以当n=l时,ai=Ti=*

当n，2时,「产ai•a2•….

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所以即=4=/7，

Tn-1n+1

当n=l时也符合上式，所以an=^-（nGN*）.（5分）

（2）证明:证法一:由（1）知an=-^-,

n

所以％=•因为震*所以普台篙岛）0分）

所以忌出?所以凤=忌-缶>°，所以Sn〉0.（8分）

n,n+1

-＜^±ltn+2__l_----1----=1(10

所以％==(-1分)

n+2n+12n+12(n+l)(n+2)2\n+ln+27，'7

11

--------＜一,

2(n+2)4

综上可知,对任意正整数n,都有0<Sn<J.（12分）

所以仄<屈±9