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西安理工大学应用数学系第七章埃尔米特（Hermite）多项式－－－－－－特殊函数之三西安理工大学应用数学系§7.1

Hermite多项式的定义1.n阶Hermite方程的解n阶Hermite方程用幂级数法求解该方程，设方程的解为代入方程，整理，得从而有由上式知西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系从而得方程的解为西安理工大学应用数学系其中

是任意常数，又性无关的解，故上式是方程的通解。是方程的两个线两个级数在实数域内收敛。西安理工大学应用数学系考察系数递推关系式2.Hermite多项式当n是正整数（包括零）时，进一步知，当n是偶数（包括零）时，变成了多项式，变成了多项式，

仍仍为无穷级数；当n是奇数时，为无穷级数。为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为则西安理工大学应用数学系则西安理工大学应用数学系取则当n为偶数时，有系数，对应多项式为关于x的偶次方的多项式当n为奇数时，有系数为关于x的奇次方的多项式，对应多项式n次Hermite多项式西安理工大学应用数学系统一写法，有前几次Hermite多项式西安理工大学应用数学系§7.2

Hermite多项式的母函数与递推公式令将其展开成变量t的Taylor级数，则有则是n次Hermite多项式。证明：西安理工大学应用数学系比较同次幂系数有即西安理工大学应用数学系即比较同次幂系数有即西安理工大学应用数学系是Hermite方程的解，故是Hermite多项式。定义：称

是Hermite多项式的母函数。Hermite多项式的微分形式：西安理工大学应用数学系Hermite多项式的微分形式：Hermite多项式的递推公式：西安理工大学应用数学系证明从略。§7.3

Hermite多项式的正交性及其应用结论：Hermite多项式

在

上关于权函数

正交，即上的函数，且满足结论：设f(x)为定义在（1

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