第12章液体运动的流场理论课件

上次课内容的简要回顾水击、相长、周期，水击过程的运动特征水击压强和波速的计算阀门逐渐关闭的水击，直接水击、间接水击2EXIT流束理论流场理论出发点：液体运动是充满空间且由无数质点组成的连续介质运动。空间维度：三元流动液体运动研究模型出发点：液体总流由无数微小流束组成。空间维度：一元流动优点：求解方便缺点：考虑轴向运动忽略横向运动优点：充分反映液体真实运动缺点：求解困难第十二章液体运动的流场理论3EXIT拉格朗日法欧拉法关注焦点：固定的空间点研究重点：运动要素的空间分布液体质点运动描述方法关注焦点：液体单个质点研究重点：质点运动过程第十二章液体运动的流场理论跟踪布岗12.1流速、加速度12.2流线与迹线的微分方程12.3液体质点运动的基本形式12.4无涡流与有涡流12.5液体运动的连续性方程12.6理想液体的运动微分方程12.7实际液体的运动微分方程12.8物质扩散的微分方程12.9流动数值模拟的应用举例4第十二章液体运动的流场理论EXIT5第十二章

液体运动的流场理论本章学习要求：

了解流场、速度、加速度的概念；理解流线与迹线的微分方程；理解微团运动的基本形式：平移、线变形、角变形和旋转；理解有涡流、无涡流、速度环量和涡通量的概念；理解液体运动的连续性方程；理解理想液体和实际液体的运动微分方程。EXIT6运动要素是空间位置和时间的连续函数。不同时刻通过某空间点(x,y,z)液体质点的流速变化EXIT12.1流速、加速度

时刻t

不同空间点液体质点流速分布(流速场)不同时刻液体质点通过不同空间点时流速：同一空间点流速随时间变化同一瞬间流速随空间变化7EXIT12.1流速、加速度

8时刻t：EXIT时刻t+dt：A：A’：A：A’：9通过A点时质点速度增量EXIT时变加速度位变加速度10EXIT全加速度位变加速度时变加速度11EXIT恒定流：流场中液体质点通过任一空间点时所有运动要素都不随时间改变。12EXIT非恒定流：流场中液体质点通过任一空间点时至少一个运动要素随时间改变。恒定流非恒定流时变加速度等于零位变加速度是否等于零是否恒定流时变加速度不等于零12.1流速、加速度12.2流线与迹线的微分方程12.3液体质点运动的基本形式12.4无涡流与有涡流12.5液体运动的连续性方程12.6理想液体的运动微分方程12.7实际液体的运动微分方程12.8物质扩散的微分方程12.9流动数值模拟的应用举例13第十二章液体运动的流场理论EXIT1412.2流线与迹线的微分方程EXIT迹线拉格朗日法流线欧拉法15一、流线微分方程EXIT16一、流线微分方程EXIT17流线微分方程EXIT一、流线微分方程18二、迹线微分方程EXIT迹线微分方程迹线和流线重合19恒定流时EXIT流线微分方程迹线微分方程20在液体中取一个微分平行六面体，边长分别为dx，dy，dz

。取角点P(x,y,z)，令该点在各坐标轴上的分速度为ux,uy,uz

。由泰勒级数，角点Q的速度为：沿x方向沿y方向沿z方向12.3液体质点运动的基本形式EXIT21矩形平面PQRS

各个角点的分速度各角点速度存在差异EXIT形状发生改变运动过程中22矩形平面的运动形式有：平移线变形角变形旋转EXIT基本运动形式1.位置平移2.线变形3.边线偏转：(1)角变形(2)

旋转运动EXIT211.位置平移EXIT22x,y,z方向位移速度分别是ux,uy,uz。2.线变形EXIT23线变形速率：每秒钟边线单位长度的伸长量。3.边线偏转EXIT24dzdx=角变形+旋转27(1)角变形直角边绕y

方向变形角速度直角边绕x

及z

方向变形角速度EXITdzdx:直角边变形角速度=28(2)旋转运动矩形平面绕y

方向的旋转角速度矩形平面绕x

及z

方向的旋转角速度EXIT:旋转角速度29(1)位置平移ux,uy,uz(2)线变形EXIT微分体0质点(3)角变形(4)旋转运动3012.4无涡流与有涡流EXIT液体质点是否存在绕自身轴旋转有涡流无涡流液体运动是否31动画(涡流)EXIT32EXIT33若流场中存在函数，该函数被称为流速势函数。无涡流必有流速势函数存在，为势流。EXIT给定t34例12.1有一液流，已知试分析液体运动的特征。EXIT恒定流，流线与迹线重合速度与时间无关流线方程：积分35线变形EXIT液体质点无线变形36EXIT(2)角变形液体质点无角变形37EXIT(3)旋转运动液体质点无旋转运动，无涡流38例12.2有一液流，已知试分析液体运动的特征。EXIT恒定流，流线与迹线重合速度与时间无关流线方程：积分39线变形EXIT液体质点无线变形40EXIT(2)角变形液体质点无角变形41EXIT(3)旋转运动液体质点有旋转运动，有涡流42EXIT123涡线43微小涡束断面上各点旋转角速度相等质点旋转角速度矢量与涡线相切涡线不会相交EXIT涡流场流速场质点速度矢量与流线相切恒定流时涡线形状不变微小流束断面上各点速度相等流线不会相交恒定流时流线形状不变涡旋通量=ω×dσ流量=u×dA44Г沿封闭周线C速度环量EXIT45液体运动是无涡流EXIT流速势函数存在当流速势为单值函数时，沿无涡流空间画出的任意封闭周线的速度环量都等于零。液体运动是否无涡流速度环量是否等于零46微小时段dt

左面流入液体质量右面流出液体质量12.5液体运动的连续性方程EXITdt

时段x

方向流入与流出液体质量差47dt

时段内流进与流出液体质量总差dt

时段内在y方向流入与流出液体质量差EXITdt

时段内在z方向流入与流出液体质量差48dt

时段六面体内因密度变化引起质量总变化可压缩液体非恒定流的连续性微分方程：EXIT-49不可压缩液体既适用于不可压缩液体的恒定流，也适用于非恒定流。微分平行六面体体积总变化不可压缩液体：微分平行六面体在运动过程中，虽有平移和线变形，但其体积大小保持不变。EXIT或divu=0，式中divu叫速度散量，为标量。++50流管表面积S=A1+A2+A3EXIT流管侧表面u3=0不可压缩液体恒定总流连续性方程不可压缩液体连续性微分方程恒定流12.1流速、加速度12.2流线与迹线的微分方程12.3液体质点运动的基本形式12.4无涡流与有涡流12.5液体运动的连续性方程12.6理想液体的运动微分方程12.7实际液体的运动微分方程12.8物质扩散的微分方程12.9流动数值模拟的应用举例51第十二章液体运动的流场理论EXIT5212.6.1理想液体动水压强的特性(1)理想液体的动水压强方向与受压面垂直并指向受压面。(2)在理想液流中，任何点的动水压强在各方向上的大小均相等。12.6理想液体的运动微分方程理想液体动水压强的特性与静水压强相同。EXIT5312.6.1理想液体动水压强的特性

x方向动力方程：EXIT

y方向动力方程：

z方向动力方程：5412.6.1理想液体动水压强的特性EXIT5512.6.2理想液体运动微分方程——欧拉方程EXITx方向动力方程：y方向动力方程：z方向动力方程：56静止液体理想液体运动微分方程——欧拉方程，适用于可压缩与不可压缩流体，恒定流与非恒定流。EXIT57EXIT未知量4个：p,ux,uy,uz封闭方程组对于不可压缩液体理论上，理想液体中任意点在任意时刻的u和p是可以求解的。上节课内容的简要回顾为什么要引入流场理论？其如何描述流体运动？可行否？何为时变加速度和位变加速度？恒定流的时变加速度和位变加速度是否一定都等于0？非恒定流的时变加速度和位变加速度是否一定都不等于0？流线方程和迹线方程有何异同？液体质点运动的基本形式有哪些？如何定量描述？什么是无涡流？何有特征？液体运动的连续性微分方程及其适用条件？58EXIT理想液体的运动微分方程及其适用条件？理想液体的微分方程组是否可以构成封闭系统？5912.6.3葛罗米柯方程及其积分EXIT葛罗米柯方程欧拉方程旋转角速度6012.6.3葛罗米柯方程及其积分EXITx方向动力方程：61葛罗米柯方程EXIT无涡流62若质量力有势，则存在势函数U（x，y，z）。液体不可压缩EXITx方向动力方程：63适用于不可压缩液体的恒定流与非恒定流，有涡流和无涡流，但质量力应为有势力。EXIT理想液体质量力为有势情况下的葛罗米柯方程64EXIT恒定流65EXIT++66左边：理想液体恒定流的能量方程——Bernoulli方程EXIT恒定流右边：=067(1)无涡流(2)静止液体(3)恒定流同一流线(4)恒定涡流同一涡线(5)恒定螺旋流EXIT=0U=？68质量力仅为重力理想液体恒定流Bernoulli方程：EXIT12.1流速、加速度12.2流线与迹线的微分方程12.3液体质点运动的基本形式12.4无涡流与有涡流12.5液体运动的连续性方程12.6理想液体的运动微分方程12.7实际液体的运动微分方程12.8物质扩散的微分方程12.9流动数值模拟的应用举例69第十二章液体运动的流场理论EXIT7012.7.1实际液体运动时所产生的内应力相对运动的各层液体之间12.7实际液体的运动微分方程pz正应力——EXIT粘滞性切应力=pzz与作用面垂直的坐标轴切应力——p与应力方向平行的坐标轴7112.7.1.1切应力的性质和大小牛顿内摩擦定律EXIT在分层运动的实际液体中直角边的变形速度与流速梯度相等。72三元流，XOZ面BC对AD相对运动产生的切应力EXIT73DC对AB相对运动产生的切应力作用在两互相垂直平面上且与平面交线相垂直的切应力大小相等。EXITBC对AD相对运动产生的切应力7412.7.1.2动水压强的性质和大小x方向受力：EXIT任意点动水压强各方向相等运动理想液体运动实际液体？⑴、⑸、⑻、⑾、⒀、⒂75x方向受力：EXIT⑴、⑸、⑻、⑾、⒀、⒂⑴⑸⑻⑾⒀⒂76EXITx'

方向受力：⑴、⑶、⑸、⑹、⑻、⑼、⑽、⑾、⒂⑴⑶⑻⑽⑾⒂⑸⑹⑼77实际液流中任一点动水压强各方向不相等。EXITpxx，pyy，

pzz

？？？78EXIT79EXIT80任意三个正交方向的动水压强之平均值粘滞性附加正应力EXIT不可压缩液体同一点上各方向动水压强相等理想液体8112.7.2实际液流的运动微分方程x

轴方向：左、右表面力：前、后表面力：上、下表面力：x

方向质量力：EXIT82以应力表示实际液体运动微分方程EXIT方程组未封闭83EXIT84不可压缩液体不可压缩粘滞液体的运动微分方程—Navier-Stokes方程EXIT拉普拉斯算式85EXIT静止液体理想液体N-S方程是描述不可压缩液体运动特性的普遍方程86EXITN-S方程由于N－S方程是非线性的偏微分方程组，难以获得解析解。仅对某些简单问题可获得运动要素的解析解。受计算机存储和运算速度的限制，直接数值求解N－S方程也有一定困难。封闭方程组87例12.5

试用纳维－斯托克斯方程求直圆管层流运动的流速及流量表达式（见图）。EXIT88因，故有：解：层流运动时，液体质点只有沿轴向的流动而无横向运动，若取圆管中心轴为x

轴，则。现取纳维－斯托克斯方程组中的第一式来分析。恒定流时质量力只有重力时EXIT89由连续方程式，可知。由此可得。将以上各值代入纳维－斯托克斯方程组第一式，可得：由上式可知与x无关，即动水压强沿x轴方向的变化率是一个常数，可写成。因，所以并不沿x方向而变化。式中为沿x

方向长度为L的管段上的压强降落，取负号。EXIT90因为圆管中的液流是轴对称的，相同，而且y与z

都是沿半径方向的，故变数y，z可换成变数r。而与x

无关，仅为

r

的函数，所以对

r

的偏导数可以直接写成全导数。或积分可得：EXIT91利用轴心处的条件，得。故再积分，得利用管壁处的条件，故有：上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按抛物面的规律分布的。EXIT92故通过过水断面的总流量：过水断面平均流速：由于：EXIT93湍流的运动要素是脉动的，运动要素的瞬时值可以表示为时间平均值与脉动值之和，即：EXIT自然界或工程领域的绝大多数流动都是湍流。工程领域往往并不需要了解湍流的全部细节，仅关注湍流对时间的平均效应。可以将瞬时值运动微分方程对时间取平均而得到时间平均的运动微分方程，即雷诺方程。94EXIT时间平均法的主要运算法则：95时均化连续性方程EXIT96时均化运动方程EXIT97时均化运动方程EXIT98时均化运动方程EXIT99时均化运动方程EXIT12.1流速、加速度12.2流线与迹线的微分方程12.3液体质点运动的基本形式12.4无涡流与有涡流12.5液体运动的连续性方程12.6理想液体的运动微分方程12.7实际液体的运动微分方程12.8物质扩散的微分方程12.9流动数值模拟的应用举例100第十二章液体运动的流场理论EXIT12.8

物质扩散的微分方程12.8.1

分子扩散扩散：流体中含有的物质由于分子运动和质点湍动从一定位置输送到另一位置的现象。流体中物质的扩散可分为分子扩散与湍动扩散。湍动扩散的分析处理可以类比于分子扩散来进行。分析分子扩散可将流体看作连续介质。从实践总结出下列经验公式，即菲克定律（Ficklaw）:式中：c为扩散物质的浓度，P为通过垂直于x方向单位面积的扩散物质的输送率，Dm为分子扩散系数。上式说明：扩散物质沿某方向的输送率与沿该方向的浓度梯度成比例。EXIT69如果在静水池中放入一些扩散物质（例如有色溶液），物质将向四周扩散。在液体中取出一个微小六面体，如右图所示，边长为dx,dy,dz。在dt时段内，在x轴方向扩散物质进入六面体的量为：流出六面体的量为：扩散物质在x方向进出量之差为：EXIT70同理，在y方向进出量之差为：在z方向进出量之差为:此时六面体内扩散物质的变化量为：由物质守恒定律，进出六面体扩散物质的差值应与六面体内扩散物质的变化量相等，故即上式就是菲克第二定律。71现在进一步讨论流动的流体中的分子扩散问题。若在流场中取一边长为dx,dy,dz的空间微小六面体来分析（如右图）。在dt时段沿x轴方向由于流体的对流而流入六面体的扩散物质量为：对流流出六面体的物质量为:由于分子扩散流入六面体的扩散物质量为：分子扩散流出六面体的物质量为：故沿x方向进出总量之差为：72同理，沿y方向的进出总量之差为：沿z方向的进出总量之差为：在dt时段内由于浓度c的变化，六面体内扩散物质的变化量为：按物质守恒定律，六面体内物质的变化量应等于进出量之差，由此可得：在静止流体中没有对流，只有分子扩散，则上式变为：上式就是扩散物质的连续性方程。上式即菲克第二定律。7312.8.2湍动扩散湍流中不但流速有脉动现象，所含扩散物质的浓度也有脉动现象，即浓度随时间作不规则变化。瞬时值可用时均值与脉动值之和来表示，即，将这些值代入扩散方程得74将上式各项展开，对时间取平均后加以简化，并考虑到连续方程最后可得等项的物理意义是在湍流中分别通过垂直于x,y,z轴的单位面积在单位时间输送的脉动扩散率。类比于分子扩散的菲克定律，可假设这些由脉动产生的输送率与时均浓度的梯度成比例，即75式中Dtx,Dty,Dtz

为湍动扩散系数。代入分子扩散的时均方程可得由于湍流的随机运动的尺度远大于分子随机运动的尺度，所以,一般分子扩散项可以忽略不计，则上式写作76上式就是湍动扩散的基本方程。若应用于均匀流，则，上式可写成如果只有x方向的一元扩散。则77湍动扩散系数及分散系数一般都是用示踪剂在室内或现场通过实验求得，下列经验公式可供参考：明渠水流：纵向湍动扩散系数横向湍动扩散系数垂向湍动扩散系数纵向分散系数表观扩散系数圆管流：湍动扩散系数纵向分散系数表观扩散系数式中：H为明渠水深，，r0为圆管半径。78EXIT8012.9

流动数值模拟的应用举例（1）底流消能计算当高水头大单宽流量泄水建筑物采用带跌坎的底流消能方式时，为了研究消力池内流场结构，需详细计算消力池内的流场。下图为采用VOF(VolumeofFluid)法的RNGk~ε湍流模型计算所得的消力池内速度场，计算结果模拟出了消力池内的漩涡结构和速度矢量分布。EXIT8012.9

流动数值模拟的应用举例（2）天然河流流场计算某江心岛位于干流与两条支流汇口附近，为了计算江心岛堤防工程对河道行洪与河势稳定的影响，应用二维数学模型，采用有限元方法，计算了工程建成后河道水位和流速的变化，下图为工程建成后的河道流场。8112.9

流动数值模拟的应用举例(3)水库异重流计算流速场温度场为计算水库水温分层流动结构，采用三维切应力输运模型，数值模拟了水温为16.67℃的冷水流入充满水温为21.44℃且均匀分布的热水的模型水库时水流的流速场和温度场。右图分别为某一时刻对应的水库纵剖面的流速场和温度场，计算结果显示