第1讲实数及其运算课件

第1讲

实数及其运算

?1．实数的有关概念

要点梳理

(1)数轴：规定了________，________和_________的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体________一一对应．

数轴：规定了________，________和_________的直线叫做数轴．数轴上所有的点与全体________一一对应．

(2)相反数：只有________不同，而________相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a＋b＝________．

(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的________，叫做这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab＝________．

数轴：规定了________，________和_________的直线叫做数轴．数轴上所有的点与全体________一一对应．

(2)相反数：只有________不同，而________相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a＋b＝________．

(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的________，叫做这个数的倒数，若a、b互为倒数，则ab＝________．

原点

正方向

单位长度

实数

符号

绝对值

0商

1(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的________叫做这个数的绝对值．

|a|＝?????

（a>0）

（a＝0）

（a<0）

|a|是一个非负数，即|a|________．

要点梳理

距离

a0－a≥0

要点梳理

有的数字都叫做这个近似数的有效数字．

(6)平方根，算术平方根，立方根：

如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作________；正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作________．

四舍五入

±a±a×10n(1≤a<10，n是整数)3a．

(5)科学记数法，近似数，有效数字：

科学记数法就是把一个数表示成_________________的形式；

一个近似数，________到哪一位，就说这个数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．

要点梳理

?2．实数的分类

按实数的定义分类：

实数?????????

???????整数?????

?????

自然数负整数分数??????????

有限小数或无限循环小数无理数??????????

无限不循环小数

?????????????

根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数?????正实数零负实数

有理数

正整数

零

正分数

负分数

正无理数

负无理数

要点梳理

?3．零指数幂，负整数指数幂

任何非零数的零次幂都等于1，即____________；任何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，即_______________________．

?4．实数的运算

乘方和开方

乘除

加减

小括号

中括号

大括号

从左到右，依次进行

a0＝1(a≠0)

实数的运算顺序是先算___________，再算________，最后算________．如果有括号，先算________，再算________，最后算________．同级运算应_____________________.

a-p＝1ap(a≠0，p为正整数)学法指导

?三种思想方法

分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．分类注意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．

数形结合思想

数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微.”数形结合思想可以使问题化难为易、化繁为简．

分类讨论思想

分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．分类注意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．

化归思想

化归也称转化，是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想．关键是确定合理、可行的转化目标，掌握基本的方法、步骤．

学法指导

?三种大小比较方法

实数的大小比较常用以下三种方法：实数的大小比较常用以下四种方法：

(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．

学法指导

切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．

(3)差值比较法：设a、b是两个任意实数，则：a－b>0a>b;a－b＝0a＝b;a－b<0a<b.a

(2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．

1．(2013·台州)－2的倒数是(

)A．－12B．12C.2D．1

解析

∵－2×????????－12＝1，∴－2的倒数是－12.

三年中考

A2．(2013·宁波)－5的绝对值是(

)A．－5B．5C.－15D．15

解析

据负数的绝对值等于它的相反数，得|－5|＝5.

三年中考

B三年中考

C3．(2013·丽水)在数0，2，－3，－1.2中属于负整数的是(

)A．0B．2C．－3D．－1.2解析

∵－3＜－1.2＜0＜2，∴最小的数是－3.三年中考

4.（2012·宁波）据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104485元，104485元用科学记数法表示为

（

）

A.1.04485×

元

B.0.104485×

元

C.1.04485×

元

D.10.4485×

元

610610510410C三年中考

5.（2012·丽水）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（

）

A.－4B.－2C.0D.4B归类探究

考点1实数的分类

【例1】（2013·湖州）实数π，

，0，－1中，无理数是（

）

A.πB.C.0D.－1

解析

判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：

（1）化简后含π（圆周率）的式子；（2）含根号且开不尽方的数；（3）有规律但不循环的无限小数.掌握常见无理数类型有助于识别无理数.5151A归类探究

考点2实数的分类

对应训练

(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－

，0.131131113…，－π，

，－

无理数的个数有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个

(2)(2012·河北)下列各数中，为负数的是(

)A．0B．－2C．1D．

(3)(2012·德州)－1,0，0.2，

，3中正数一共有

个.3825712171BB3归类探究

考点2实数的运算

【例

3】

(2012·梅州)计算：|－3|－12＋2sin60°＋????????13－1.【例

3】

(2012·梅州)计算：|－3|－12＋2sin60°＋????????3.解

原式＝3－23＋2×32＋3＝3.实数运算要严格按照法则进行，对于实数混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．

【点评】

归类探究

对应训练

（1）（2012·湖州）计算：

??45tan2-20121-1620????????°

解

原式=4-1+4+1=8考点2实数的运算

归类探究

2实数的运算

（2）（2013·义乌）计算：

??8-22-2114.3-1-0????????π归类探究

解

原式=1+2+2-2=322考点2实数的运算

归类探究

考点3

科学记数法与近似值、有效数字

【例

2】

(1)(2012·资阳)为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作.2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为_________毫克/千瓦时．

并保留三个有效数字为_________毫克/千瓦时．

解析

根据题意330000用科学记数法表示为3.30×105.

(2)下列近似数中精确到千位的是()A．90200B．3.450×102

C．3.4×104D．3.4×102

A．90200B．3.450×10

C．3.4×10D．3.4×10

解析

3.4×104表示3万4千，精确到千位，故选C.

3.30×105

C【点评】

（1）科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n的值时，把大数的总位数减1即为n的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0”的个数（含小数点前的那个“0”）即为n的值；（2）科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验；（3）用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断.归类探究

考点3

科学记数法与近似值、有效数字

归类探究

考点3

科学记数法与近似值、有效数字

千

对应训练

(1)近似数2.5万精确到________位；有效数字分别是________．

解析

2.5万＝2万5千，精确到千位；有效数字分别是2，5.(2)0.5796保留三个有效数字的近似数是________；由四舍五入法得到的近似数2.30亿精确到________位，有________个有效数字．

解析

0.5796≈0.580，保留三位有效数字的近似数是0.580；2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．

2，5百万

0.5803归类探究

考点3

科学记数法与近似值、有效数字

（3）（2013·舟山）据舟山市旅游局统计，2012年舟山市接待境内外游客约为2771万人次，数据2771万用科学记数法表示为（

）

A.B.C.D.

B7102771?710771.2?610771.2?510771.2?归类探究

考点4

与实数相关的概念

【例4】（1）（2013·义乌）在2，－2，8，6这四个数中，互为相反数的是（

）

A.－2与2B.2与8C.－2与6D.6与8A(2)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a>b>c，那么a＋b－c＝________．

解析

由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，

得a＝±1，b＝±2，c＝±3.又a>b>c，所以a＝±1，b＝－2，c＝－3，

所以a＋b－c＝1＋(－2)－(－3)＝2，

或a＋b－c＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.归类探究

考点4

与实数相关的概念

2或0

归类探究

考点4

与实数相关的概念

(3)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值的和．

解

∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，

又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b<0，

可知a＝－4，b＝±2，

所以a－b＝－4－2＝－6，或a－b＝－4－(－2)＝－2，

－6＋(－2)＝－8，

故a－b所有值的和是－8.【点评】（1）两个互为相反数的和为0；

（2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；

（3）两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.归类探究

考点4

与实数相关的概念

归类探究

考点4

与实数相关的概念

对应训练

4.（1）（2012·凉山）若x是2的相反数，｜y｜＝3，则x－y的值是（

）

A.－5B.1C.－1或5D.1或－5D（2）计算：

???????21--?21-???????021-???????1-21-21211-2归类探究

考点4

与实数相关的概念

（3）若ab>0，则

的值等于

ababbbaa??1或－3归类探究

考点5

数轴

【例5】（1）（2013·广州）实数a在数轴上的位置如图，则|a－2.5|＝（

）

A.a－2.5B.2.5－aC.a＋2.5D.－a－2.5B归类探究

考点5

数轴

（2）（2013·台州）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（

）

A.ac＞bcB.ab＞cbC.a＋c＞b＋cD.a＋b＞c＋bB【点评】

数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号.归类探究

考点5

数轴

归类探究