2023年中考数学一轮复习考点 直角三角形（提高篇）

专题5.11直角三角形（提高篇）

一、单选题

1.（2021・新疆•统考中考真题）如图，在用中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,

CDAB于点。，E是AB的中点，则DE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2012•福建漳州•中考真题）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中

的度数是【】

A.45°B.60°C.75°D.90°

3.（2022・广西•中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等

的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，ZA=30°,AC=3,/A所对的边为满

足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知

条件的三角形的第三边长为（）

A.26B.2G-3C.26或6D.2也或2&3

4.（2020•广西贺州•统考中考真题）如图，将两个完全相同的R/ZkACB和RtAAC9拼

在一起，其中点H与点8重合，点C在边AB上，连接BC,若NABC=N49C=30。，AC

=4C=2,则的长为（）

A.2币B.477C.2GD.4G

5.（2021•广西贵港•统考中考真题）如图，在.ABC中，ZABC=90°,AB=S,BC=12,

。为4c边上的一个动点，连接BD,E为BO上的一个动点，连接AE,CE,当NABD=NBCE

时，线段AE的最小值是（）

6.（2015・四川眉山•统考中考真题）如图，在R2ABC中,ZB=90°,ZA=30°,6E垂

直平分斜边AC,交AB于点。，E是垂足，连结CZ）,若BO=1,则AC的长是（）

C.4y/3D.4

7.（2020•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图,在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC

的中点，点F是线段DE上的一点连接AF,BF,NAFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF

的长是（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2020・四川巴中•统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一

个“折竹抵地”问题："今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高

一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根

部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）

A.4RB.4.55尺C.5尺D.5.55尺

9.（2021•四川凉山•统考中考真题）如图，ABC中，NACB=90。,4c=8,BC=6,将

VADE沿OE翻折，使点A与点8重合，则CE的长为（）

10.（2017・湖北黄石•中考真题）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD±AB,AB=2,

/J

AC-1,DE=——，则/CDE+/ACD=()

2

A.60°B.75°C.90°D.105°

二、填空题

II.（2022.黑龙江哈尔滨.统考中考真题）在ABC中，AO为边BC上的高，ZABC=3Q°,

ZC4D=20°,则/BAC是度.

12.（2013・山东威海•中考真题）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过

点。.已知NA=N£Z）F=90°,AB=AC.Z£=30°,NBCE=40°,则NCDF=.

13.（2020.湖南邵阳•中考真题）如图，在RtABC中，ZACB=90°,斜边43=夜，

过点C作CT//43,以AB为边作菱形48EF,若NF=30。，则RtABC的面积为

14.（2019♦上海•中考真题）如图，已知直线//〃6，含30。角的三角板的直角顶点C在

//上，30。角的顶点A在，2上，如果边AB与//的交点D是AB的中点，那么/1=

___________________度.

5（2021•辽宁鞍山•统考中考真题）如图，矩形ABCO中，AB=3,对角线AC,BD交

于点。，DHLAC,垂足为点”，若NADH=2NCDH,则AD的长为.

16.（2013•辽宁盘锦・中考真题）如图，等腰梯形ABCD,AD〃BC,BD平分NABC,

ZA=120°.若梯形的周长为10,则AD的长为—.

17.（2021♦黑龙江哈尔滨•统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC,BO相交于

点。，过点。作OE_L3C,垂足为点E,过点A作AFLOB,垂足为点尸.若BC=24尸，

18.（2022.青海西宁.统考中考真题）如图，AfiC中，A8=6,8c=8,点。，E分别

是AB,AC的中点，点尸在OE上，且NA尸B=90。，则防=.

19.（2021•广东广州•统考中考真题）如图，在四边形ABC。中，ZABC=90°,点E是

AC的中点，且AC=AD

（1）尺规作图：作NC4Q的平分线4F,交CD于点F,连结EF、2F（保留作图痕迹，

不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若N8AO=45。，RZCAD=2ZBAC,证明：△8ER为等边

三角形.

A

20.（2022.山东青岛.统考中考真题）如图，在四边形A8CD中，AB//CD,点E,尸在

对角线BZ）上，BE=EF=FD,NBAF=NDCE=9。。.

（1）求证：XABF安ACDE：

（2）连接4E,CF,已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），

请判断四边形AEC尸的形状，并证明你的结论.

条件①：NABO=30。；

条件2：AB=BC.

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

21.（2021・吉林•统考中考真题）如图①，在RtABC中，ZACS=90°,ZA=60°,CD

是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将4山汨沿。E折叠，点8的对应点为点F.

（1）若直接写出C。的长（用含。的代数式表示）；

（2）若DF1BC,垂足为G,点下与点。在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判

断四边形4。尸C的形状，并说明理由；

（3）若DFLAB,直接写出的度数.

图①图②

22.（2022•西藏・统考中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=-BC,点F在BC边的延

长线上，点P是线段BC上一点（与点8,C不重合），连接AP并延长，过点C作CGL4P,

垂足为E.

（1）若CG为“CF的平分线.请判断8尸与CP的数量关系，并证明；

⑵若AB=3,AABPdCEP,求BP的长.

23.（2022・辽宁大连•统考中考真题）如图，在ABC中，ZACB=90°,BC=4,点。

在AC上，CD=3,连接08,AT>=D8,点尸是边AC上一动点（点P不与点A,D,C

重合），过点P作4C的垂线，与相交于点Q,连接OQ,设=-POQ与△ABO重

叠部分的面积为s.

(1)求AC的长;

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.

(备用图)

24.(2022・贵州安顺・统考中考真题)如图1,在矩形ABCD中，—=10,A£>=8,E是

AO边上的一点，连接CE,将矩形ABCD沿CE折叠，顶点。恰好落在A8边上的点尸处,

延长CE交54的延长线于点G.

(1)求线段AE的长；

(2)求证四边形ZXVC为菱形；

(3)如图2,M,N分别是线段CG,OG上的动点(与端点不重合)，且=

设DN=x,是否存在这样的点N,使是直角三角形？若存在，请求出x的值：若不

存在，请说明理由.

参考答案

1.A

(分析］首先根据"斜中半''定理求出CE,然后利用三角形的外角性质求出NCED=60。.

从而在用CED中，利用“30。角所对的直角边为斜边的一半”求解即可.

解：是中斜边A8的中点，AB=4,

：.AE=BE=CE=LAB=2,

2

，NA=ZACE=30°,

AZC£D=60°,ZECD=30°

在M_CE£）中，ZECD=30°,

7.ED=-CE=\,

2

故选：A.

【点拨】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是

解题关键.

2.C

•*./。=45。+30。=75。.故选C.

【点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，外角的性质，解决此题的关键计算细

致.

3.C

【分析】分情况讨论，当△A8C是一个直角三角形时，当△AB/C是一个钝角三角形时，

根据含30。的直角三角形的性质及勾股定理求解即可.

解：如图，当AABC是一个直角三角形时，即NC=90。，

NA=30。,8c=6

AB=2BC=28

如图，当△AB/C是一个钝角三角形时,

c

过点C作CDA.ABI，

.-.ZCDA=90°=ZCDB,

,CB=CB、,

BD=B[D,

ZA=30°,AC=3,

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=B

22

BtD=^BtC-CD=与=BD,

:.BB、=6,

：.ABt=AB-BB\=6

综上，满足已知条件的三角形的第三边长为2G或G，

故选：c.

【点拨】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30。的直角三角形的性质及勾股定

理，熟练掌握知识点是解题的关键.

4.A

【分析】先根据直角三角形的性质可得A3=4,4夕=4,NEAC，=60。，再根据勾股定理

和角的和差可得BC=26,N*BC=90。，最后在RUfi'BC中，利用勾股定理即可得.

解：ZACB=ZA'C'B'=90°,ZABC=ZA'B'C=30°,AC=AC'=2,

二AB=4,A'B'=4,ZB'A'C=60°,

•••BC=《AB?-AC?=26，^B'BC=ZABC+ZB7VC=90°,

则在RzB'BC中，B'C=5/仕C?+=J(2百f+4?=2近,

故选：A.

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含

30度角的直角三角形的性质是解题关键.

5.B

【分析】如图，取3C的中点T,连接AT,ET.首先证明NC£B=90。，求出AT,ET,

根据可得结论.

解：如图，取8c的中点T，连接AT,ET.

ZABC=90°,

.♦.ZABD+/CBD=90。,

ZABD=NBCE,

ZCBD+ZBCE=90°9

:"CEB=90。,

CT=TB=6,

2222

:.ET=^BC=6fAT=yjAB+BT=78+6=10，

AENAT—EI',

/.AE>4,

.:AE的最小值为4,

故选：B.

【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出A7,

ET的长，属于中考常考题型.

6.A

【分析】根据线段垂直平分线的性质证明AO=CQ,求得/ACO=NA=30。，再利用含30

度角的直角三角形的性质求得CZ）的长，利用勾股定理求得8c的长，在RA48C中，再利

用含30度角的直角三角形的性质即可求解.

解：•.,在aAABC中，NB=90。，N4=30°,

,NACB=60°,

•；£>£垂直平分斜边AC,

：.AD=CD,

：.NACZ)=/A=30。，

，ZDCB=60o-30°=30°,

在中,N8=90°,ZDCB=30°,BD=l,

：.CD=2BD=2,

由勾股定理，得8c=正-F=6，

在RgA8c中，NB=90°,NA=30°,8C=百，

:.AC=2BC=2也.

故选：A.

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的

直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出8c的长，注意：在直角三角形中，如果有一

个角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

7.B

【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4,根据BC=14,由三角形中位线定理得到

DE=7,解答即可.

解：•../AFB=90。，点D是AB的中点，

/.DF=yAB=4,

VBC=14,D、E分别是AB,AC的中点,

.•.DE=1BC=7,

，EF=DE-DF=3,

故选：B

【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键.

8.B

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10-x)

尺.利用勾股定理解题即可.

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，

根据勾股定理得：X2+32=(10-X)2,

解得：x=4.55.

所以，原处还有4.55尺高的竹子.

故选：B.

【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从

而运用勾股定理解题.

9.D

【分析】先在放ABC中利用勾股定理计算出AB=10,再利用折叠的性质得到

AD=BD=5,设则CE=AC-AE=8-x,BE=x,在8CE中根据勾股定理可得到/=6?+

(8-x)2,解得x,可得CE.

解：VZACB=90°,4c=8,BC=6,

.,.AB=7AC2+BC2=IO.

•.•△4DE沿力E翻折，使点A与点B重合，

；.AE=BE,AD=BI”3AB=5,

设AE-x,则CE-AC-AE=S-x,BE=x,

在/?/△BCE中

BE2=BC2+CE2,

25

/.x2=62+(8-x)2,解得广一，

4

.o257

44

故选：D.

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等.也

考查了勾股定理.

10.C

解：VCD1AB,E为BC边的中点，

ABC=2CE=V3,

VAB=2,AC=1,

AAC2+BC2=124-（苏）2=4=22=AB2,

.•・ZACB=90°,

BC

*.*tanNA=XC=

/.ZA=60°,

AZACD=ZB=30°,

・•・ZDCE=60°,

VDE=CE,

/.ZCDE=60°,

/.ZCDE+ZACD=90°,故选C.

【点拨】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线.

11.40或80##80或40

【分析】根据题意，由于ABC类型不确定，需分三种情况：高在：.角形内部、高在三

角形边上和高在三角形外部讨论求解.

解：根据题意，分三种情况讨论：

①高在三角形内部，如图所示：

，在A48D中，AO为边8c上的高，ZABC=30°,

ZBAD=90°-ZABC=90°-30°=60。,

ZCAD=20°f

・•.ZBAC=/BAD+ZCAD=60。+20°=80°；

②高在三角形边上，如图所示：

可知ZC4£>=0°,

ZC4£>=20°,

故此种情况不存在，舍弃；

③高在三角形外部，如图所示:

在AABD中，AO为边2c上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ABAC=ABAD-ACAD=60°-20°=40°；

综上所述：N84C=80°或40。，

故答案为：40或80.

【点拨】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况,

根据题意分情况讨论是解决问题的关键.

12.25°

【分析】先根据等边对等角算出/AC8=/B=45。，再根据直角三角形中两个锐角互余算

出/尸=60。，最后根据外角的性质求解即可.

解："：AB=AC,N4=90°,

ZACB=ZB=45°.

VZ£DF=90°,ZE=30°,

ZF=90°-NE=60°.

'：/ACE=NCDF+ZF,ZBCE=40°,

：.NCDF=NACE-NF=NBCE+NACB-/尸=45°+40°-60°=25°.

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关

键是要合理的运用外角和计算的时候要细致认真.

13.；

【分析】如下图，先利用直角三角形中30。角的性质求出HE的长度，然后利用平行线

间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积.

解：

如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点H、G,

•••根据题意四边形ABEF为菱形，

AB=BE=0,

又；/ABE=30°

在RTABHE中，EH=—,

2

根据题意，AB〃CF,

根据平行线间的距离处处相等，

万

/.HE=CG=—,

2

二RtAfiC的面积为lx忘x4l=，.

222

【点拨】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30。角所

对直角边是斜边一半的性质，求出HE,再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到

HE=CG,最终求出直角三角形面积.

14.120

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到ZM=OC，则NDC4=ND4c=30。，

再利用三角形外角性质得到N2=60。，然后根据平行线的性质求N1的度数.

解：£）是斜边的中点，

DA=DC,

ZDCA=ZDAC=30°,

Z2=ZDC4+ZmC=60°,

////,,

Zl+Z2=180°,

Zl=180°-60°=120°.

故答案为120.

B

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点），也考查了平行线的性质.

15.3出

【分析】由矩形的性质得CD=45=3,ZADC=90°,求出NCD〃=30。，利用30。角

的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出力”的长度，根据NAZW=60。求

出zmC=3O°,然后由含30。角的直角三角形的性质即可求解.

解：四边形A8CQ是矩形，

:.CD=AB=3,ZADC=90°,

.ZADH=2NCDH,

:.NCDH=30°,ZADH=60°,

13

：.CH=-CD=-

22

在RT中,

DH±ACf

ZDHA=90°,

ZDAC=90。—60。=30。，

:.AD=2DH=3g，

故答案为：36.

【点拨】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30。的性质，熟练掌握直角三角形30。

的性质是解决本题的关键.

16.2

解：VAD//BC,BD平分NABC,

AZABD=ZCBD,ZADB=ZCBD.

AZABD=ZADB.AAD=AB.

VZA=120°,.,.ZABD=ZCBD=30°.

・・•梯形ABCD是等腰梯形，?.ZC=ZABC=60°,AB=CD.

AZBDC=180°-ZCBD-ZC=90°,AB=CD=AD.ABC=2CD=2AD,

;梯形的周长为10,AAB+BC+CD+AD=IO,即5AD=10.

・・・AD=2.

17.3g

【分析】根据矩形的性质得AO=CO=BO=DO=6,再证明二AF哙BEO,从而得一430

是等边三角形，进而即可求解.

解：•・•在矩形43co中，

：.AO=CO=BO=DO=6,

•：OE1BC,

：.BC=2BE,

,:BC=2AF,

：.BE=AF,

ZOBE+ZABF=ZABF+ZBAF=90°,

/OBE二/BAF,

、:AF±OB

又丁/AFB=/BEO=900,

・•・AF哙BEO,

."8二8。，

.\AB=BO=AOf

...ABO是等边三角形，

・・・ZABO=60°,

・•・ZOBE=30°,

,**OE=3>BE=Vfi2_32=3A/5'

故答案是：3g.

【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等：角形

的判定和性质，掌握矩形的对角线相等且平分是解题的关键.

18.1

【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出OE的长，再根据直角三角形斜边的中线

等于斜边的一半，得出。尸的长，最后根据跖即可算出答案.

解：：点O，尸分别是A8,AC的中点

:.DE为ABC的中位线

DE=-BC

2

又：BC=8

：.DE=4

又丁ZAFB=90°

在用ABF

点。是A3的中点

/.DF=-AB

2

又：AB=6

DF=3

又：EF=DE-DF

：.£尸=4-3=1

故答案为：1.

【点拨】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟

练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

19.（I）图见分析；（2）证明见分析.

【分析】（1）根据基本作图一角平分线作法，作出/C4O的平分线4尸即可解答；

（2）根据直角三角形斜边中线性质得到8E=14C并求出NBEC=ABAC+ZABE=30°,

再根据等腰三角形三线合一性质得出B=。尸，从而得到E尸为中位线，进而可证BE=EF,

ZBEF=60°,从而由有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形得出结论.

解：（1）如图，AF平分NC4D,

A

(2)VZfiAZ>=45°,iLZCAD=2ZBAC,

NCW=30。，ZBAC=15°,

VAE=EC,ZABC=90°,

：.BE=AE=-AC,

2

ZABE=ZBAC=\5°,

：.ZBEC=ABAC+ZABE=30°,

又平分NC4D,AC=AD,

：.CF=DF,

XVAE=EC,

：.EF=-AD=-AC,EF//AD,

22

...ZCEF=ZCAD^30°,

：.ZBEF=乙BEC+Z.CEF=60°

又：BE=EF=-AC

2

...△BE尸为等边三角形.

【点拨】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理,

解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中

位线定理.

20.(1)证明见分析(2)见分析

【分析】(1)利用AAS即可证明△AB/WZkCOE；

(2)若选择条件①：先证明四边形AEC尸是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中

线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得4E=AF,即可证明平行四边形AECF是菱形.

若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=C。，再根据等腰三角形

的性质即可证明平行四边形AECF是菱形.

解：（1）证明：,:BE=FD,

：.BE+EF=FD+EF,

即BF=DE,

'：AB//CD,

，NABF=NCDE,

又；/&4尸=/。©£=90°,

二4ABF空ACDE（AAS）；

（2）解：若选择条件①：

四边形AECF是菱形，

由（1）得，NABF仝XCDE,

：.AF=CE,NAFB=NCED,

：.AF//CE,

二四边形AECF是平行四边形,

VZBAF=90°,BE=EF,

：.AE^-BF,

2

VZBAF=90°,ZABD=30°,

：.AF^-BF,

2

：.AE=AF,

•••平行四边形AECF是菱形.

若选择条件②：

四边形AECF是菱形，

连接4C交8。于点0,

AD

BC

由(1)得，△ABF丝△(7£)£：,

:.AF=CE,NAFB=NCED,

：.AF//CE,

.•.四边形AECF是平行四边形，

：.AO=CO,

，：AB=BC,

：.BO^AC,

即EF1AC,

...平行四边形AECF是菱形.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，

菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

21.(1)-«；(2)菱形，见分析；(3)/班出=45。或4£>回=135。

2

【分析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半''得C£>=：A3=《a；

(2)由题意可得。尸〃AC,DF=^AB,由“直角三角形中30。角所对的直角边等于斜

边的一半"，得AC=；A3,得=AC,则四边形WC是平行四边形，再由折叠得

DF=BD=AD，于是判断四边形AOFC是菱形；

(3)题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此_LA3乂分两种情况，即点尸与点。

在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果.

解：(1)如图①，在RlABC中，NACB=90。，

：C。是斜边A及上的中线，AB=a,

CD=-AB=-a.

22

(2)四边形4。回C是菱形.

理由如下：

如图②・・・。尸13C于点G,

・•・ZZX7S=Z4CB=9O°,

:.DF//AC；

由折叠得，DF=DB，

DB=-AB

2f

：.DF=-AB；

2

VZACB=90°,ZA=60°,

・・・ZB=90°-60°=30°,

・•・AC=-AB,

2

:.DF=AC,

・•・四边形ADFC是平行四边形;

・・,AD=-AB,

2

：.AD=DF,

・・・四边形A。尸C是菱形.

(3)如图③，点尸与点O在直线CE异侧，

,:DFJLAB,

：./BDF=90。；

由折置得，/BDE=/FDE,

，ZBDE=ZFDE=-/BDF」x90。=45°；

22

如图④，点尸与点。在直线CE同侧,

,:DF1.AB,

；・NBDF=90。,

：.ZBDE+/FDE=360°-90°=270°,

由折叠得，/BDE=/FDE,

：.ZBDE+ZBDE=270°,

:.ZBDE=\35°.

综上所述，NBDE=45。或NBDE=135。.

【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四

边形的判定等知识与方法，在解第(3)题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出

图形，以免丢解.

9

22.(V)BP=PC,证明见分析(2)BP=~.

4

【分析】(1)由角平分线的性质和直角三角形的性质可求NB4P=NAP8=45。，可得

AB=BP,即可得结论；

(2)由全等得到在△A8P中应用勾股定理可求解.

(1)解：BP=CP,理由如下：

・・・CG为NDCF的平分线，

工NDCG=NFCG=45。,

：.NPCE=45。,

VCG1AP,

.,.ZE=ZB=90°,

.•・ZCPE=45°=ZAPB,

：.ZBAP=ZAPB=45\

:・AB=BP,

\9AB=-BC

2f

：.BC=2ABf

：.BP=PC；

(2)解：♦:△ABPmXCEP,

:・AP;CP,

VAB=3,

9：BC=2AB=6,

AP2=AB2+BP2^

(6-BP)2=9+8下，

9

：.BP=~.

4

【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些

性质解决问题是解题的关键.

5r—r2

——(0<x<5)

23.(1)8(2)S=,

5尸65SO/、

--------AH--------X---------1D<.A<oI

12123'7

【分析】（1）根据勾股定理可求出BZ）的长，进而求得AO的长;

（2）利用相似可求出0P的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分P在线

段AD和尸在线段DCI二分别讨论.

(1)解：：ZAC8=90°,BC=4,8=3,

•*-BD=-^CDT+BC-=5，

,:AD=DB,

，AD=DB=5,

，AGAO+£)C=5+3=8；

(2)解：由(1)得AD=5,

：.PD=5-xf

•・•过点P作AC的垂线，与43相交于点Q,

ZAPQ=90°,

•/ZACB=90%

QP//BC,即ZAQP=ZABC,

在ZVI。尸和/BC中

"ZA=ZA

<ZAQP=ZABCf

ZAPQ=ZACB

：.AQPsABC,

.PQ=AP_

*BC-AC

x

；3=万

•；..PDQ与AABD用叠部分的面枳为S

二一PDQ的面积为S

1Sf—j*2

即S=；XPDxQP=-^

CD=3,4C=8

:.AD=5

♦.•点P不与点A,D,C重合,

0<x<5,

g[JS=5v-V(0<x<5).

4

当P在。。上运动时，如图，设PQ交6。于点E，

则砂〃8c

/.DPEsDC