2022年高考真题-数学（天津卷）+含解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)2022.06.

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合4={0,1,2},B={-1,2},则人0&5)=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出即3,再根据交集的定义可求API(68).

【详解】={-2,0,1),故An(d3)={0,l},

故选：A.

2.“x为整数”是“2x+l为整数”的()

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不允分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】依据充分不必要条件的定义去判定"x为整数''与"2x+l为整数”的逻辑关系即可.

【详解】由题意，若x为整数，则2x+l为整数，故充分性成立；

当x=L时，2x+l为整数，但x不为整数，故必要性不成立；

2

所以“x为整数，，是“2x+l为整数”的充分不必要条件.

故选:A.

【答案】D

【解析】

【分析】分析函数/(X)的定义域、奇偶性、单调性及其在(-8,0)上的函数值符号，结合排除法可得出合

适的选项.

【详解】函数〃同=忙斗的定义域为{中工0},

口(-*)--1lx2-11

艮/(-X)=--------=------=_/(尤)'

-XX

函数”X)为奇函数，A选项错误；

又当x<0时，/⑺」，2TL0,C选项错误；

当%>1时，=-=」二Lx」函数单调递增,故B选项错误；

XXX

故选：D

4.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分

组区间为[12,13),[13,14),口4/5),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…,

第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效

的有6人，则第三组中有疗效的人数为()

A.8B.12C.16D.18

【答案】B

【解析】

【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得

结果.

20

【详解】志愿者的总人数为=50,

(0.24+0.16)x1

所以第三组人数为50x0.36=18,

有疗效的人数为18-6=12.

故选：B.

5.已知a=2°，7，，c=log2(,则()

A.a>c>hB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>h

【答案】C

【解析】

【分析】利用幕函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、h.c的大小关系.

【详解】因为>0=log21>log2,故a>b>c.

故答案为：C.

6.44：(2log43+log83)(log32+log92)(f()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式=(2x；log23+|log23)(log32+|log32)

43

=-log23x-log32=2,

故选：B

22

7.已知抛物线V=46工,6,鸟分别是双曲线*•-方=i(a>o,/；>())的左、右焦点，抛物线的准线过双曲

JT

线的左焦点耳，与双曲线的渐近线交于点A,若/白64=1，则双曲线的标准方程为()

2

A.—-/=1B.尤2-2_=1

io-16

炉/2

JCA-----1D.—~y=\

44-

【答案】c

【解析】

【分析】由已知可得出C的值，求出点A的坐标，分析可得|A耳|=忻用，由此可得出关于。、匕、C的方

程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线尸=4石》的准线方程为尤=一6，则c=&，则4-6,0)、乙(石，。卜

bx=-c

y——x，即点A[-C——j,

不妨设点A为第二象限内的点，联立《a，可得,be

y

x=-ca

TT

因为A耳，与鸟且/片工4=1,则为等腰直角三角形,

且|明|=|耳闾,即生=2c,可得2=2,

a

噎

aa=1

2

所以，c=5/5，解得《b=2,因此，双曲线的标准方程为炉―2L=i.

4

c2=a2+b2C=yJ5

故选：C.

8.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为

120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()

十字

C.26D.27

【答案】D

【解析】

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱AED-BHC及直三棱柱DGC—AEB组成，作于M,如图,

因为C”=5H=3,NC”B=120。，所以CM=BM=典,HM=-.

22

因为重叠后的底面为正方形，所以48=8。=36，

在直棱柱AED—3/7C中，ABJ_平面8HC,则

由ABC8C=3可得HM平面40cB,

设重叠后的EG与FH交点为人

则匕月x3有'白条匕如1为昌为百个

J乙乙乙乙T

Q177

则该几何体的体积为V=2VAFD_BHC-V,_BCDA=2X--—=27.

故选：D.

9.已知/(x)=；sin2x,关于该函数有下列四个说法：

①/(X)的最小正周期为2兀；

②/(x)在［-：,刍上单调递增；

44

71兀V3立

③当工£时，/⑶的取值范围为

63_彳'彳

④/(X)的图象可由g(x)=■!■sin(2x+工)的图象向左平移9个单位长度得到.

248

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.

【详解】因为/*)=51Sin2x,所以最小正周期为7=号27r=兀，①不正确；

令f=2xe-£3,而y=，sinf在一££上递增，所以/⑴在［-：,9］上单调递增，②正确；因为

2222244

/=2xe-y,—,sinZ6—^-,1,所以--^-，―,③不正确;

1兀11兀

由于g(X>=-sin(2x+—)=—sin,所以一(X)的图象可由g(x)=-sin(2x+/的图象向右平移

三个单位长度得到，④不正确.

O

故选:A.

第II卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分.

11-3i

10.已知i是虚数单位，化简------的结果为

1+21

【答案】l-5i##-5i+l

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出.

11-3i_(11-3i)(l-2i)_11—6-25i_1_5,

【详解】

l+2i-(l+2i)(l-2i)―1'

故答案为：1—5i.

11.的展开式中的常数项为

【答案】15

【解析】

5-5r5-5r

【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为心=C；-3r-x^~，令=0,代

2

入即可得解.

C1-31/L\5-r<3Y—

【详解】由题意+的展开式的通项为工句=《•(«)•[三J=C-3~X2

S—Sr

令，^•=()即/*=1，则C[3'=C；・3=15,

展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12.若直线x-y+m=0（加＞0）与圆（》一1）2+（丁一1）2=3相交所得的弦长为加，则"?=

【答案】2

【解析】

【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于加的等式，即可解得”的值.

【详解】圆（x—l『+（y—11=3的圆心坐标为。』），半径为

圆心到直线x-y+m=0（机＞0）距离为

2

m1

由勾股定理可得+=3,因为加＞0,解得加=2.

故答案为：2.

13.52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到4的概率为；已知第一次抽

到的是4,则第二次抽取A的概率为.

【答案】①.‘一②

22117

【解析】

【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽

到A的条件下，第二次抽到A的概率.

【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为民第二次抽到A的事件为C,

则Pg/x方言"$=标(切=甯=?=》

13

11

故答案为:

22117

14.在AABC中，CA=a,CB=b,。是4c中点，CB=2BE，试用表示方方为若

AB±DE，则NACB的最大值为

3—1—TT

【答案】①.—b—a②.—

226

【解析】

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出方后，以｛-，4为基底，表示出存，砺，由

45_1。后可得3^+片=4小£，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),8(1,0),C(3,0),4x,y),由可得点A的

轨迹为以M(-l,0)为圆心，以厂=2为半径的圆，方程为(x+1尸+9=4,即可根据几何性质可知，当且

仅当C4与。”相切时，/C最大，即求出.

【详解】方法一：

p

C

E<-----------号-----------

____31__________

DE=CE-CD=^b--a,AB=CB-CA=b-a,ABIDE(3b-a)-(b-a)=0,

a，h2>h+ct273laiblJ3.

3万+a~=4a《|_旧="L旧之—I-IJ-=^7~,当且仅当同=6同时取等号，而

a4a4ap211

TC

0<ZACB<7i,所以NAC8e(0,—].

3—1-jr

故答案为：—b—a；—.

226

方法二：如图所示，建立坐标系:

E(O,O),B(1,O),C(3,O),A(x,y),DE=AB=(1—x,—y),

方后_L福n(a0)(x—1)+匕=0n(x+l)2+y2=4,所以点A的轨迹是以M(-l,0)为圆心，以厂=2

22

C1

为半径的圆，当且仅当C4与OM相切时，NC最大，此时sinC=—J=—=L,/C=%.

CM426

3-1—jr

故答案为：—b—a；—.

226

15.设aeR,对任意实数x,记〃x)=min{W—2,公—办+3a—5}.若/(x)至少有3个零点，则实数

a的取值范围为

【答案】a>10

【解析】

【分析】设g(x)=f-公+3a-5,〃(力=国一2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出△?(),

求出〃的取值范围，然后对实数〃的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数。的不等式，综合可

求得实数。的取值范围.

【详解】设8(力=幺一分+3a-5,/z(x)=|x|-2,由凶一2=0可得x=±2.

要使得函数/(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则A=/—12Q+2020，

解得。<2或。210.

①当4=2时，g(x)=f—2X+1,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示：

此时函数/(力只有两个零点，不合乎题意；

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为X］、毛(玉<々)，

要使得函数/(力至少有3个零点，则々4-2,

a-

一＜-2

所以,2解得ae0；

g(-2)=4+5a-5N0

③当a=10时，^(X)=X2-10X+25,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示:

由图可知，函数/（X）的零点个数为3,合乎题意；

④当a>10时，设函数g（x）的两个零点分别为七、彳4（七<X4），

要使得函数/（x）至少有3个零点，则七22,

->2

可得彳2,解得a>4,此时a>1（）.

g⑵=4+a-5>0

综上所述，实数。的取值范围是［10,+8）.

故答案为：［10,+8）.

【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.在AABC中，角A、B、C的对边分别为a,h,c.已知。=遥力=2c,cosA=.

4

（1）求。的值；

（2）求sinB的值；

（3）求sin（2A—B）的值.

【答案】（1）c=l

力・*加

（2）sinB=---

4

（3）sin（2A-B）=\-

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理储=〃+。2一20ccosA以及。=2c解方程组即可求出;

（2）由（1）可求出8=2,再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根据两角差的正弦公式即可求出.

【小问1详解】

因为/=b?+<?-20ccosA，即6=〃？+。2+,匕。，而。=2c，代入得6=4c?+c2+c2,解得：c=I.

2

【小问2详解】

由（1）可求出人=2,而0<4<兀，所以sinA=嬴7=也2,又，一=〃一,所以

4sinAsinB

9g

Z?sinAx4V10.

sinBn=--------=-----=-----------

aV64

【小问3详解】

因为cosA=--,所以一<A<?t,故0<B<—,又sinA=Jl—cos2A=——1所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2xf——x—=-----,cos2A=2cos2A-l=2x—-1=-—,而

I4j48168

sinB=，所以cosB="s/l-sin2B=—，

44

故sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB

17.直三棱柱—中，AAi=AB=AC=2,AA,lAB,ACA.AB,。为A4的中点，E为A&

的中点，F为C。的中点.

(1)求证：EF〃平面ABC；

(2)求直线3E与平面CG。所成角的正弦值；

(3)求平面A。。与平面CG。所成二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

5

⑶典

10

【解析】

【分析】(I)以点4为坐标原点，4A、4用、AG所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系,

利用空间向量法可证得结论成立；

(2)利用空间向量法可求得直线8E与平面CG。夹角的正弦值；

(3)利用空间向量法可求得平面\CD与平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

证明：在直三棱柱A3C-A4G中，AA1■平面A4G，且ACLA8,则

以点4为坐标原点，AA、4耳、4G所在直线分别为X、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

Xy

则4（2,0,0）、8（2,2,0）、C（2,0,2）、A（0,0,0）、g（0,0,2）、£（0,0,2）、£>（0,1,0）、£（1,0,0）、

易知平面ABC的一个法向量为五=（1,0,0）,则丽.送=0，故巨声_1_而,

防u平面ABC,故EFH平面ABC.

【小问2详解】

解：束=（2,0,0）,qI5=（O,l,-2）,丽=（1,2,0）,

w•C]C=2%=0

设平面CG。的法向量为二=(Xi，M，zJ,则<

wCjD=y-2Z[=0

EBu4

取y=2,可得7=（0,2,1）,cos<EB,u>=

4

因此，直线BE与平面CC|O夹角的正弦值为g.

【小问3详解】

解：“=（2,0,2）,而=（0,1,0）,

v•4。=2X+2Z=0

设平面AC。的法向量为3=（/,%,Z2），则<22

v-AiD=y2=0

—u-v1V10

取々=1,可得丫=（1,0,-1）,则C0S<M,v>=i^p|=-7^=-^1

因此，平面4。。与平面eg。夹角的余弦值为巫.

10

18.设｛q｝是等差数列，｛4｝是等比数列，且4=4=生一4=%一么=1・

（1）求｛4｝与｛2｝的通项公式；

⑵设｛叫的前n项和为S“，求证：（S“J%）纭S也;

2n

⑶求—（―D"%]4.

k=\

n'

【答案】⑴an=2n-\,bn=2~

(3n-l)4,,+2+16

（2）证明见解析（3）

9

【解析】

【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；

（2）由等比数列的性质及通项与前«项和的关系结合分析法即可得证；

（3）先求得产Wi］%-1+［生—一（一1产物进而由并项求和可得7；=名匕41，再

k=\

结合错位相减法可得解.

【小问1详解】

设｛q｝公差为d,｛2｝公比为9,则+勿=/i,

,,1+d—q=1,

由4一仇=〃3一4=1可得〈2,nd=q=2（d=q=4舍去）,

1+2d—4=1

所以勺=2〃-1也=2"，

【小问2详解】

证明:因为4+1=2勾中0,所以要证以,+i+a“+］）d=S“+也+1-S业,，

即证（S,+i+an+1）bn=Sn+I-2b„-Snbn,即证Sn+i+an+l=2Sn+｝-Sn,

即证。川=51一"，

而%=S.+i-S”显然成立,所以（Sn+I+an+i）bn=S„+l-bn+l-Sn-bn；

【小问3详解】

因为［。2*-（一1产'。2£-1］%-l+［%t+l-（-1产］A

=（4%一1+4%—3）X22*-1+［4左+1—（4k-1）］x22k=kx4*1

所以立--（T）%M=1>2厂（-1严明）%T+（*-㈠产%）砥1

A=1k=\

=*x4"i,

k=\

k=\

所以7；=1X42+2X43+3X44+3+〃X4"+1

则47；=1X43+2X44+3X45+3+〃X4"+2,

42(1-4")

作差得-37；,=42+43+44+---+4,,+l-nx4,,+2-nx4,,+2

1-4

(l-3»)4n+2-16

3

(3〃—1)4-2+16

所以7；

9

2/irt+2

所以1)%/为(3n-l)4+16

k=l9

22阳=6

19.椭圆3+2r=l（a>b>0）的右焦点为尸、右顶点为A,上顶点为8,且满足

ab~

（1）求椭圆的离心率e；

（2）直线/与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于N（N异于M）.记0为坐标原点，若|OM|=|CW|,且

△OMN的面积为6,求椭圆的标准方程.

【答案】（1）e=@

3

22

⑵工+汇=1

62

【解析】

【分析】（1）根据已知条件可得出关于。、匕的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；

（2）由（1）可知椭圆的方程为/+3y2=a2,设直线/的方程为），=丘+加，将直线/的方程与椭圆方程

联立，由△=（）可得出3加2=。2（1+3左2）,求出点M的坐标，利用三角形的面积公式以及己知条件可求得

/的值，即可得出椭圆的方程.

【小问1详解】

解:^====—=>4«2=392+叫=>〃=3)2,

+a22

离心率为

【小问2详解】

解：由（1）可知椭圆的方程为f+3;/=。2,

易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=-，w,

［依:机2得(1+322)X2+6^^+(3根2_々2)=0,

联立《

X+3V=61

由A=36k2m2-4(1+3A:2)(3/n2〃)=0=>3疗=/0+3左2),①

3km.m

y=kx”+m=-----r

3公+1'加uM1+3公

川(%2+1)

由|oM=QM可得加=U卡,②

(3公+1)

由S,N=G可得:|同・攫s③

1„22

联立①②③可得公=一，加2=4,=6,故椭圆的标准方程为三+乙=1.

362

20.已知a,beR，函数〃x)=e*-asinx,g(x)=3&

(1)求函数y=/(x)在(OJ(O))处的切线方程：

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共点，

(i)当a=0时，求匕的取值范围；

(ii)求证：a2+h2>e-

【答案】(1)丁=(1一。)尤+1

(2)(i)［疝,+e)；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出((0)可求切线方程；

(2)(i)当a=0时，曲线y=/(x)和y=g(x)有公共点即为s«)=e‘一句,120在［0,+。。)上有零点，求

导后分类讨论结合零点存在定理可求8e［、3,+8).

(ii)曲线y=/(x"0y=g(x)有公共点即asin^+oA—e»=0,利用点到直线的距离得到

,4+/ze,利用导数可证—U—>e,从而可得不等式成立.