中考数学重要考点题型精讲精练人教版：专题09 锐角三角函数（热考题型）-解析版

专题09锐角三角函数【思维导图】◎考点题型1正弦的概念和求正弦值锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)对边对边邻边斜边ACB【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。例．（2022·安徽合肥·九年级期末）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（

）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．【详解】解：∵∠C＝90°，∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，∵△ABC的三边都缩小5倍，∴∠A的对边与斜边的比不变，∴sinA的值不变．故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．变式1．（2021·上海宝山·九年级期末）在中，，，，那么的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，则=(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用正弦的定义即可求解．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，，则．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理解三角形、锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．变式3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，根据网格的特点证明是等腰直角三角形，进而即可求解．【详解】，，，，是等腰直角三角形，，，sin∠ADC，故选D．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理与网格，掌握以上知识是解题的关键．◎考点题型2已知正弦值求边长例．（2021·广东·深圳外国语学校九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．【详解】，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+(4x)2＝(5x)2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键．变式1．（2022·安徽滁州·九年级期末）在中，，若，，则的长是（

）A．80 B． C．60 D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴，∴在Rt△ABC中，AB==80，故选：A．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．变式2．（2022·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（

）A．4+ B．6+ C．4+ D．6+【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得是的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得，根据中位线的性质可得，根据sinA＝，AB＝6，求得,在中，勾股定理求得，进而求得，然后根据三角形的周长公式即可求解．【详解】∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，DE⊥AC，，，，，D是AB的中点，，，，，△CDE的周长为．故选A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．变式3．（2022·四川南充·一模）如图，∠C＝90°，AC＝DC，EC＝BC，AB＝10，sinA＝0.6，则AE长为（

）A．2.4 B．2 C．1.6 D．1【答案】B【分析】先解直角△ABC求出BC，再利用勾股定理求出AC，结合EC=BC即可得到答案．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB=10，sinA=0.6，∴，∴，∵EC=BC=6，∴AE=AC-CE=2，故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，正确求出BC的长是解题的关键．◎考点题型3余弦的概念和求余弦值例．（2021·吉林长春·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（

）A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，因此有：sinA＝，sinB＝，cosA＝，tanA＝，故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意；由sinB＝可得b＝sinB×c，故B不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提．变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝【答案】A【分析】根据正弦、余弦、正切的定义逐项判断即可．【详解】解：A、sinA＝＝，故原题说法正确；B、cosA＝＝，故原题说法错误；C、tanA＝＝，故原题说法错误；D、tanB＝＝，故原题说法错误．故答案为A．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，结合直角三角形正确理解正弦、余弦、正切的定义是解答本题的关键．变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在中，、、对边分别为、、，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案.【详解】解：由题知，，∴，∴，故选C.【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键.变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】直接利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，∴设BC=x，则AC=2x，则故选A【点睛】本题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握直角三角形的边角之间的关系是解题关键．◎考点题型4已知余弦值求边长例．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）如图，在中，，且，若，，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，利用三角函数求出，根据勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．【详解】解：∵中，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数．证明是解题的关键．变式1．（2022·广西·南宁二中三模）如图，在中，，则长为（

）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【分析】根据余弦的定义即可求解．【详解】解：，，故选B．【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．变式2．（2022·江苏南通·模拟预测）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是(

)A．20cm B．cm C．cm D．5cm【答案】B【分析】根据题意和菱形的性质得菱形的边长为5cm，较小的角为60°，即，，根据三角函数得，即可得．【详解】解：∵菱形的周长为20cm，∴菱形的边长为5cm，∵菱形的两个邻角之比为，∴较小的角为60°，如图所示，∵，，∴最长边为BD，(cm)，∴(cm)，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质和特殊的三角函数值，解题的关键是掌握这些知识点．变式3．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长为（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由于，可设，，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB，，又知，进而可得AC、BD，由勾股定理列方程解答即可．【详解】∵,设，,又∵MN是线段AB的垂直平分线，∴，∵，∴，解得：，∴，，在Rt△BDC中，，，由勾股定理可得：，故选：C．【点睛】本题考查的是解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解题关键在于对垂直平分线的应用去联合三角函数去得出答案．◎考点题型5正切的概念和求正切值例．（2021·全国·九年级专题练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．【详解】解：如下图所示在Rt中，=，故A不符合题意；在Rt中，=，故B不符合题意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；≠，故D符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）在中，，a，b，c分别是，，的对边，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】如图，根据三角函数的定义可知，，，，．故选C．【点睛】此题主要考查三角函数的表示，解题的关键是熟知其定义.变式2．（2018·上海市致远中学九年级期末）坡比等于的斜坡的坡角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据坡角的定义即可求解.【详解】∵坡比等于设坡角为α，∴tanα==∴α=30°.故选A.【点睛】此题主要考查坡角的定义，解题的关键是熟知坡角与坡比的定义.变式3．（2018·上海市致远中学九年级期末）在△中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出BC，再利用三角函数即可求解.【详解】在△中，，，，∴BC=∴=故选C.【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知三角函数的定义.◎考点题型6已知正切值求边长例．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度．【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD为BC边上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．变式1．（2021·北京·潞河中学九年级阶段练习）在中，，，，，则CD的长为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据等角的余角相等可得，进而根据即可求解．【详解】，，，，即，，解得，故选C．【点睛】本题考查了正切，利用正切得出边的比是解题的关键．变式2．（2022·广东广州·二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=，若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB刚好相切，则r等于（

）A．3 B．4 C．2.4 D．2.5【答案】C【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ABC中，由AB的长，利用勾股定理求出AC与BC的长，利用面积法求出CD的长，即为所求的r．【详解】解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ABC中，AB=5，tanB=，即=，设AC=4k，则BC=3k，根据勾股定理得：AB2=BC2+AC2，即52=(3k)2+(4k)2，∴k=1，∴AC=4，BC=3，∵S△ABC=BC•AC=AB•CD，∴×3×4=×5×CD，解得：CD=2.4，则r=2.4．故选：C．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，正切函数以及三角形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．变式3．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（

）．A．4 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据切线的性质可得，根据，设，则，勾股定理求得，结合条件即可求解．【详解】解：∵为的直径，是的切线，∴，设，则，，故选C【点睛】本题考查了正切的定义，切线的性质，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．◎考点题型7求特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大例．（2022·河北沧州·九年级期末）的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径，根据三角函数关系即可求a、b的值，即可求解．【详解】解：经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在Rt△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径；设半径为r，则圆内接正方形的边心距为a＝r＝r圆内接六边形的边心距为b＝r＝r＝r（r）＝，故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用和圆内接正多边形的相关知识，掌握特殊三角函数值和圆内接正多边形的相关知识并能灵活运用是解题的关键．变式1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：连接AD，如图：∵网格是有一个角60°为菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．变式2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A（，－）关于y轴对称的点的坐标是（

）A．（－，－） B．（，） C．（，） D．（－，－）【答案】D【分析】先利用特殊三角函数值求出点A坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特点求解．【详解】解：∵sin30°＝，−cos60°＝−，∴点A（，－），∴点A关于y轴对称点的坐标是（－，－）．故选：D．【点睛】本题考查的是特殊三角函数值、关于坐标轴对称的点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．变式3．（2022·天津河北·二模）3tan60°的值为(

)A． B． C． D．3【答案】A【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：3tan60°＝3×＝3．故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．◎考点题型8特殊角的三角函数值判断三角形的形状例．（2022·广西贺州·九年级期末）在△ABC中，，则△ABC一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形【答案】D【分析】根据平方和绝对值的非负性，得，从而求出，根据特殊角的三角函数的值，得，，即可得到答案．【详解】∵∴，解得：，∴，，∴故一定是钝角三角形．故选D．【点睛】本题考查非负数的性质，特殊角的三角函数的值；解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，并熟记特殊角的函数值．变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：∵∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是锐角三角形故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．变式2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）在中，，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．【详解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC为直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．变式3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）在△ABC中，若锐角∠A、∠B满足，则对△ABC的形状描述最确切的是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】先根据非负数的性质得到∠A，∠B的正弦值，再根据特殊三角函数值判定∠A、∠B的度数，即可得到结论；【详解】解：∵，∴sinA-=0，sinB-=0，∴sinA=，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°-45°-45°=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值，熟记相关三角函数值是解题的关键．◎考点题型9已知角度比较三角函数值的大小例．（2020·四川·西昌一中俊波外国语学校九年级阶段练习）已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先明确，再根据锐角范围内，余弦函数随角增大而减小进行分析．【详解】∵，∵，当，越大，越小，故．故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值．变式1．（2019·江苏南京·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【答案】B【分析】本题可采用特殊值法，令，然后利用特殊角的三角函数值进行判断即可．【详解】∵∠C＝90°，，∴可令．A.，所以，故该选项错误；B.，所以，故该选项正确；C.，所以，故该选项错误；D.，所以，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊值法在选择题中的应用是解题的关键．变式2．（2019·全国·九年级单元测试）当锐角，的值（

）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于【答案】A【分析】首先明确sin60°=，sin30°=，再根据正弦函数随角增大而增大，进行分析．【详解】解：∵sin60°=，a＜60°，∴sinα＜sin60°=．故选A．【点睛】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．变式3．（2021·全国·九年级专题练习）若锐角、满足条件时，下列式子中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】∵，∴，，，.故只有D选项正确.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.◎考点题型10利用同角三角函数求值例．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，是锐角，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，由于，因此设BC=5k，则AC=12k，由勾股定理得，，∴，故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键．变式1．（2022·山东省青岛实验初级中学九年级开学考试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意设中，对应边分别为，然后根据条件求解，再结合正弦函数的定义求解即可．【详解】解：设中，对应边分别为，则，和，∵，∴，设，则，由，得，∴，故选：A．【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键．变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，【详解】∵在中，，∴,∵于点，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴设，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．◎考点题型11根据三角函数值判断锐角的取值范围例．（2021·全国·九年级课时练习）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（

）A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60°【答案】D【分析】首先明确cos60°=0.5，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【详解】解：∵cos60°=0.5，余弦函数随角增大而减小，∵∠A为锐角，∴∠A>60°．故选：D．【点睛】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．【详解】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且∴0°＜α＜60°∴45°＜α＜60°．故选：B．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．变式2．（2021·全国·九年级课时练习）已知为锐角，且，那么下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．【详解】解：，由正切函数随锐角的增大而增大，得tan30°＜tanA＜tan45°，即30°＜A＜45°，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．