九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

初三数学正弦和余弦人教版一.本周教学内容：正弦和余弦二.重点、难点：正弦和余弦的概念。正弦、余弦之间的关系。【典型例题】1.填空题。〔1〕如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，则sinA＝ ，cosA＝ ；sinB＝ ，cosB＝ 。B3C 5 A〔2〕BC90sinAcosB＝ 。

4，AB10，BC ，5AB C3〔3〕如上题图，假设AC：BC＝1：2，则sinB＝ 。3〔4〕B是锐角，且cosB ，则B 度。2〔5〕sin30°＝ ，cos45°＝ ，sin60°＝ 。〔6〕比较以下各组值的大小。①sin15° sin20°；②cos40° cos50°；③cos32° sin58°；④sin10° cos10°。〔7〕sin210°＋cos210°＝ ，sin220°＋sin270°＝ 。sinAcosA

，则sinAcosA 。3〔9〕A是锐角，且sinA〔10〕化简：解：

，则cosA 。13112sin10cos10〔1〕此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。在△ABC中，∠C＝90°，则sinA=A的对边cosA

A的邻边。斜边 斜边AB是此题的关键。BC2BC2AC23434BC 3 33434

343434AC 5 5343434故sinA

AB

34 co

AB 3434343 53434又由AB90，因此cosBsinABC 4

34 ，sinBcosA 344故BC8，而cosBsinA5

5，而AB10〔3〕AC：BC＝1：2AC＝x，BC＝2xAC2BC2则由勾股定理：AB 5x，故AC2BC23〔4〕B是锐角，而cos30 2，故B30。3

AC x5x5AB 55x5对于特别角的正、余弦值，同学们肯定要熟记。

1232 223此题主要是考察正弦、余弦在锐角范围内的变化规律，在∠A为锐角时，sinA随∠A增大而增大，cosA随∠A增大而减小，因此：①sin15°＜sin20° ②cos40°＞cos50°而对于③、④我们可以由互余角的正弦、余弦关系可以统一成正弦，或余弦再进展比较，故：③cos32°＝sin58° ④sin10°＜cos10°Asi2A＋co2A＝0<sinA<1，0<cosA<1，因此：sin210°＋cos210°＝1sin220°＋cos220°＝sin220°＋sin270°＝1。4〔8〕sinAcosA3，要求sinAcosA，明显可以通过平方得到乘积式。4由sinAcosA3，得：sinAco

2 42 16sin2A2sinAcosAcos2A9又si2AcosA177由上题中的平方关系可得：〔∠A是锐角〕cosA1si2A0co1co

121si21si2A1513213138 18由平方关系可知：1＝sin210°＋cos210°112sin10cos10sin2102sin10cos10cos210sin10sin10cos102sin10cos10cossi8si1cos1cos10sin10［小结］通过以上的练习，同学们应把握以下几点：正弦、余弦的概念；正弦、余弦之间的关系：〔1〕sinAcos90AA为锐角时，〔2〕cosAsin90A〔3〕sin2Acos2A1∠A为锐角时，正弦、余弦的增减性。2.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BCDBD＝6，CD＝2，求sinB，sinC。AB D C分析：从图中可知，∠BRt△ABCRt△ABDsinB，我们可以在这两个三角形中来查找条件，明显运用射影定理的结论，在两个三角形中都比较简洁求。解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，故由射影定理可得：AB2BDBC

CDBC又∵BD＝6，CD＝2，BC＝BD＋CD＝8AB26848

2816AB4 3，AC4Rt△ABC中，

AC 4 1BC82

AB4 33BC 8 24 33［小结］运用定义来求锐角的正弦、余弦，往往需求出所需的边长，这就要运用勾股定理或相像三角形的性质来求出所需的边长。例3. ：如图ABC中，B30，C45，ABAC2 2，求BC的长。AB D C分析：从条件可知△ABC不是直角三角形，而BC也不能直接求出。但结合∠B＝30°，∠C＝45°，我们可以过A点作高，然后构造两个直角三角形，通过这两个直角ADAB、ACBD、CD。解：AAD⊥BCDRt△ABD中，

AD BD，coAB ABAD ADAB

sin30

2AD3BDABcosBABcos30 2AB 3AD3Rt△ADC中，

AD CD，coAC ACAD ADAC

sinC

sin45

2AD2CDACcosC 2 ACAD22又ABAC2222AD 2AD22AD1BD 3AD 3，CDAD13BCBDCD 134.：如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝3。sinB；ADCCD⊥BADCDADB E C分析：△ABCRt△，且∠BsinB只能依据正弦的RtABCBC>AB>AC，则∠AABC的高肯定在△ABCCAB边上的高，则AB边上的高在△ABC内部或是外部取决于∠A是锐角、直角或钝角。解：AAE⊥BCE，则∠AEB＝∠AEC＝90°Rt△ABERt△ACE中，由勾股定理可得：AB2BE2AE2

AE2即AB2BE2AC2CE2BE＝xCE＝4－x，故可列方程：32x2224x221x8Rt△ABEAE2＝AB2－BE2得：AB2AB2BE2

83232218231515AE8 AB 3 815分析：CD22＋32＜42，因此可知∠BAC＞90D点在BA的延长线上，我们可以依照上面求高AE的方法。由BC2－BD2＝AC2－AD2＝CD2，求得AD，进一步求得CD。另一方面由于AE、CD是三角形的高，故我们还可运用面积相等AE·BC＝AB·CDCD；第三种方法，我们可以由15AE AB△ABE∽△CBD得到比例式 CDCD

BC而求出CD。第四种方法，由于已求出sinB 8 ，在Rt△DBCsinB

BC。因此CDBCsinB，可求出CD。明显这种方法充分运用了用角来转移比值关系，较简捷地求出了CD。解：∵CD⊥BA∴∠CDB＝90°CD1515在RtBCDsinBBC1515CDBCsinB4 8 215CD 215［小结］〔1〕在△ABC中，c为最长边；假设a2b2c2，则C90；a2b2c2，则C90；a2b2c2，则C90。知三角形三边，求三角形的高或面积。利用角来转移比值关系。例5. ：∠A、∠B均为锐角，并且sinA是方程6x211x30的根，cosB是方程6x2x20的根，求sinAcosB的值。解：6x211x30得：1 31x 3，x221又∠A0sinA11sinA36x2x20得：2x ，x1 3

12∠B0cosB12co31 2sinAco3316.sin15°的值：设△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15sinB的值。DBDBEC解：ABDEDBCEAE〔如图〕∵EDAB的中垂线∴BE＝AE∴∠B＝∠DAE又∵∠AEC＝∠B＋∠DAE∴∠AEC＝2∠B＝30°Rt△AECAC＝a则AE2AC2aBE2a2a2a2AE2AC2BC

3a在△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理可得：AB2AC2BC2a22 32a284 3a26 22a2AB6 Rt△ABC中，

AC6 6 a

6 2426si 2647.xx2＋mx＋n＝02m＋4n＋1＝０，m、n的值。解：Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°，设sinA，sinBx2＋mx＋n＝0的两根，则由根与系数关系可得：isim 1isin 2又AB90∴sinA＝cosBsi2Asi2BcosBsi2B1即si2Asi2B1sisi2sisi1 3把<1>、<2>代入<3>得：m22n1 4又2m4n10 5<4>、<5>联立方程组得：m22n1 4332m4n10 533m

1

m

1解得：

2 2 233，33，n n 1 4 2 4sisin01 33m0，n1 33m

2 ，n 4【模拟试题】一.选择题。1.在△ABCC90，AC3，AB

21，则cosB的值为〔 〕21217A. B. 22177 7

C. 2 D.373 337△ABC中，ACB90，CDAB于D，下面结论中正确的选项是〔 〕cosBACAB

BDcosBBCcosBCDBC

cosBADAC3.当90，且时，以下各式中正确的选项是〔 〕A. sincos B. sinsinC. coscos D. sincos045，则sin与cos的大小关系是〔 〕sincos B. sincosC. sincos D. sincos假设x为锐角，且sinxm，则cos90x的值是〔 〕m B. m C. m D.1m在直角三角形中，两锐角之比为1：2，则相应的这两个锐角的正弦值之比为〔 〕A. 3：1 B. 3：3 C. 3：2 D.2：1在直角三角形中，假设两直角边的比为7：24，则此三角形中最小角的余弦值为〔 〕7

7

24

2525 24 25 24在ABC中，C90sinA

3，AB10，则BC的长为〔 〕5A.3 B.4 C.6 D.89.假设0A90，且sinAcos37，则A＝〔 〕。A.37°化简：

C.53° D.143°B.B.63°cos6sin60 B. cos6sin6 C. sin6cos6 D. sin6cos6为锐角，且sin0.71，那么的取值范围是〔 〕A. 030 B. 3045C. 4560 D. 6090sinA和sinB是方程x2 2xa0的两个根，∠A和∠B互为余角，则a等于〔 〕12

C. 1 D.322 2 232二.填空题。1.是锐角，且sin

1，则cos ，cos90 。232.假设2sin 090，则 。33. cos

1，则锐角的取值范围是 。24. 。5.假设sin215cos21，则锐角 度。假设锐角∠A的正弦等于3，则cosA＝ 。5在Rt△ABC中，C90，AC 2，sinA

1，则AB＝ ，BC＝ 。3比较大小：sin25 sin26，cos86 87△ABC中，AC＝1，BC＝3AB

10，则∠C＝ 度，sinB＝ 。10sin

32

12假设α、β为锐角，且 12 2

cos

0，则α＝

度，β＝ 度。2三.求以下各式的值。2〔1〕sin45cos452sin451sin45cos30〔3〕sin151sin60cos302〔4〕sin225 cos45cos2252〔5〕cos21cos22cos23……cos289四.解答题。锐角αx的方程x2sin2sin2xsin120有实数根。：如图，在△ABCC90，DBC的中点，DE⊥ABEsinB1，32AE52

DE的长。EAEB D C：sinA、sinBx4x22mxm10的两个实数根，且∠A、∠B是始终角三角形中的两个锐角。求：〔1〕m的值；〔2〕A与B的度数。【试题答案】一.选择题。1.B 2.B7.C 8.C二.填空题。313

3.AC

4.C 5.A 6.BB 11.BDC1. ；2 25.15°

2.60°6. 45

3. 60903 7. ，2 2

4.08.＜，＞109.90°，1010

10.60°，60°三.求以下各式的值。2〔1〕122

〔2〕54 3489

7〔3〕4〔4〕1 〔5〕2四.解答题。解：∵α是锐角∴0＜sinα＜1∴原方程x2sin2sin2xsin120x的一元二次方程∴只有当4sin224sinsin120时，原方程有实根即sin22sinsin1204sin412sin01si2又0sin10sin12030