4.5函数的应用（二）（重难点突破）

4.5函数的应用（二）【知识点1二分法求方程的根的近似值】二分法的概念对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求。2、用二分法求函数零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使。（2）求区间的中点，。（3）计算若，则若，则令（此时零点）；若则令（此时零点）；（4）继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。【知识点2方程的根与函数的零点】,我们把使的实数x叫做函数的.2.函数的零点就是方程的，也就是函数的图像与x轴的交点的.3.方程有实根函数的图像与x轴有函数有.数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得0，这个c就是方程的根.(一)、二分法求零点所在区间例1．（1）、（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.【详解】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B（2）、（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可.【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，与在上均为增函数，在上单调递增；对于A，，当时，，A错误；对于B，，，即，，使得，B正确；对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误.故选：B.【变式训练11】、（2023·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数为增函数，，，，，所以函数的零点所在的区间为.故选：B【变式训练12】、（2023春·江苏连云港·高一统考期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理求解即可.【详解】易得为增函数，且，，故函数的零点所在的区间是.故选：B．(二)、函数的零点个数与方程的根个数例2．（1）、（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）函数的零点有个．【答案】2【分析】根据给定条件，解方程求出零点作答.【详解】由，得，即，解得或，所以函数的零点有2个.故答案为：2（2）、（2023秋·北京大兴·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】结合分段函数，在各自的范围判断零点个数即可.【详解】当时，令，解得：；当时，在上单调递增，又，所以，所以在上有且只有1个零点；综上，在上有2个零点.故选：C【变式训练21】、（2023·全国·高一专题练习）函数的零点个数为.【答案】【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果.【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数，即函数与的交点个数，作出函数与的图象如下图所示，由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点，函数的零点个数为.故答案为：.【变式训练22】、（2023秋·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习）函数零点个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据零点的定义计算即可.【详解】由得：或解得或．因此函数共有2个零点．故选：B.(三)、嵌套函数的零点问题例3、（1）、（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，令，则，可得或，如下图示：由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.故选：C（2）、（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设，根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围.【详解】

由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，．当，时，，满足题意；当时，，解得．综上，．故答案为：【变式训练31】、（2023秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为【答案】【分析】分和讨论即可.【详解】（1）若，即时，①当时，此时，此时没有零点，②当时，此时，令，解得，符合题意，（2）当时，令，则，解得或1（舍去），综上或，则的取值集合为.故答案为：.【变式训练32】、（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果【详解】因为，且时，，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，，解得或，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，，恒有，必有，即的取值范围是，故选：B【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用图象求解即可，考查数形结合思想，属于较难题.(四)函数的应用例4．（1）、（2023·全国·高三专题练习）心理学家有时使用函数来测定在时间分钟内能够记忆的量,其中表示需要记忆的量,个单词需要记忆,心理学家测定出在分钟内该学生记忆个单词,则该学生记忆率所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意解方程,解出,在和端点值比较大小,由函数单调性和函数连续得到结果.【详解】将代入,解得:,因为,,且在上单调递减,所以,因为,,且在上单调递减,所以,则,即,因为在上为单调递减且连续函数,所以,解得,故记忆率所在区间为.故选:B.（2）、（2022·四川泸州·三模）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（

）A．9分钟 B．10分钟C．11分钟 D．12分钟【答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，所以，又水温从75℃降至45℃，所以，即，所以，所以，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.【变式训练41】、（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.【详解】设h后血液中的药物量为mg，则有，令得：故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.【变式训练42】、（2023秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度．假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要min．【答案】60【分析】由给定函数模型及已知求得，再求饮料从降低到需要的时间即可.【详解】由题设，所以.故答案为：60例5、（广东省江门市2024届高三上学期10月调研数学试题）声强级（单位：）由公式：给出，其中为声强（单位：）.(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强，求人听觉的声强级范围；(2)某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过.现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，，求这4人中达到班级要求的有多少人？【答案】(1)(2)3人【分析】（1）根据题意得，，代入的表达式，解不等式即可；（2）把四个数值代入，比较与40的大小关系即可判断.【详解】（1）由题意知，∴∴∴，故人听觉的声强级范围为,（单位：）.（2）依题意，当时，，当时，；当时，；当时，故这4人中达到班级要求的有3人.【变式训练51】、（2023·全国·高一专题练习）某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）.(1)试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式；(2)如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值.【答案】(1)(2)