第4章流体动力学基础课件

第4章流体动力学基础本章与上一章是整个流体力学的基础。第三章从几何上研究了流体的运动，但是这种研究并没有涉及到运动发生的原因。流体动力学的基本问题：流体与在其中运动着的物体之间的相互作用，以及由此物体运动而引起的流体运动规律。要解决这一问题，必须研究流体运动与作用在流体上的力之间的关系。流体也必须遵循自然界中关于物质运动的普遍规律—质量守恒原理，牛顿第二定律，能量守恒原理，将这些普遍规律应用于流体运动这类物理现象，就可得到流体动力学的基本方程。第4章流体动力学基础质量守恒原理，牛顿第二定律，能量守恒原理的原始形式都是对“系统”写出来的，而在许多流体力学的实际问题中，采用“控制体”的概念却方便得多。所以首先要介绍“系统”和“控制体”的概念。可先写出他们的基于“系统”的表达式，经过一定的变换，转化成基于“控制体”的规律。本章主要讲解上述基本定律在流体力学中的具体表达形式。得到流体力学的基本方程，主要有：1系统和控制体，雷诺输运定理2对控制体的流体力学积分方程3微分形式的连续方程4粘性流体中的应力5微分形式的动量方程—Navier-Stokes方程1系统和控制体，雷诺输运定理系统包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切统称为外界。系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面。在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。流体力学中“系统”的边界有如下特点：（1）系统的边界随着流体一起运动。系统的边界面形状和大小可以随时间变化。（2）在系统的边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑出系统的边界。（3）在系统的边界上，受到外界作用在系统的表面力。（4）在系统边界上可以有能量交换。1系统和控制体，雷诺输运定理只有有了严格而明确的“系统”的定义以后，诸如质量，力，热，功等概念才有确切的含义。例如将牛顿第二定律应用于系统：F=ma。如果采用“系统”来研究连续介质的流动，那就意味着采用拉格朗日观点。即以确定的流体指点所组成的流体团作为研究的对象。对于流体力学问题来说，往往对各个流体质点在不同时刻所占据的位置，以及他们所具有的各物理量的值不感兴趣，而感兴趣的往往是流体流过坐标系中某些固定位置时的情况。由此可见，在处理流体力学问题时，采用欧拉法更为方便，与欧拉法对应的是“控制体”的概念。1系统和控制体，雷诺输运定理控制体被流体流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积，称之为控制体（Control

Volume)。控制体的边界面，称为控制面(ControlSurface

)，它总是封闭表面，占据控制体的流体质点是随着时间而改变的。控制面有如下特点：（1）控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。（2）在控制面上可以有质量交换，既有流体跑进或跑出控制面。（3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。（4）在控制面上可以有能量交换。1系统和控制体，雷诺输运定理小结系统对应拉格朗日方法，控制体对应欧拉法。质量守恒定律，动量守恒定律，能量守恒定律等物理规律定义在“系统”上才有物理意义。与流体质点、“系统”对应的拉格朗日法所获得的物理信息并不是流体力学感兴趣的，流体力学中普遍运用与空间点、“控制体”对应的欧拉法进行研究。解决问题的方法：运用基于“系统”的观点建立物理规律，然后将建立的物理规律转化为基于“控制体”物理规律表达式。转化的方法：雷诺输运定理1系统和控制体，雷诺输运定理雷诺输运定理在t时刻，控制体和系统重合，δt时间后系统运动到新位置，由图b的II和III两部分组成。而控制体不变，仍在原位置，由图b的I和II组成。区域I中的流体可看作是在δt时间内由控制体左半部分控制面CSI流入控制体。区域III中的流体可看作是在δt时间内由控制体右半部分控制面CSIII流出控制体。目标：求系统内任意物理量随时间的变化情况。1系统和控制体，雷诺输运定理设φ(r,t)是流场内定义的单位体积流体的物理分布函数。在系统内所包含的总物理量为：式中，φ可以代表不同的物理量。如φ表示密度，则N为系统的总质量。如φ表示单位体积流体的动量ρV或动能ρV2/2，则N分别表示系统的总动量和总动能。根据物质导数的定义：建立系统与控制体之间的联系1系统和控制体，雷诺输运定理上式右边第一项：第二项注意负号第三项1系统和控制体，雷诺输运定理雷诺输运公式表示某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体中所含物理量的增量与通过控制面流出的相应物理量之和。物理意义：左边代表定义在系统上的变量N对时间的变化率。右边第一项表示定义在固定控制体内的变量N对时间的变化率。它是由于分布函数φ的不定常性引起的；右边第二项表示变量N流出控制体的净流率，积分在整个控制面上进行，此项是由于φ的不均匀性、系统的空间位置和体积随时间改变而引起的。它把定义在系统上的物质导数和控制体联系起来。2对控制体的流体力学积分方程本节将运用雷诺输运定理推导基于控制体的连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。2.1连续方程2.2动量方程2.3动量矩方程2.4能量方程2.1连续方程

在流场内取一系统，其体积为τ，则系统内的流体质量为

根据质量守恒定律此式即为拉格朗日型的积分形式的连续性方程。运用雷诺输运定理，此时N=M,φ=ρ于是有：此式即为欧拉型的积分形式的连续性方程。第一项表示控制体内的流体质量变化率，第二项表示流出控制体的质量流率。上述公式表示单位时间内控制体内流体质量的增加与流出流体质量之和等于零。2.1连续方程公式应用对于均质不可压缩流体，ρ为常数，式中第一项：公式简化为：定常与非定常均可对于定常流动，式中第一项：此时上述情况如果仅在有限区域流入或流出n的方向为垂直与控制面向外为正，故流入为负，流出为正。2.1连续方程例题4-1空气质量恒定，此项为零02.2动量方程即牛顿第二定律在流体力学中的应用动量定理：系统的动量k

对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力（体积力和表面力），即,上式即为拉格朗日型的积分形式的动量方程。运用雷诺输运定理，此时N=k,φ=ρV于是有：上式即为欧拉型的积分形式的动量方程.2.2动量方程作用在系统上的外力主要有质量力和表面力。质量力主要考虑重力，其他质量力还有磁场力，电场力。表面力主要有正应力和切应力。V是相对于控制体的速度。是通过面积微元dS的动量流率，是矢量。在整个控制面上积分表示通过控制面的净动量流率。在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为：2.2动量方程应用动量方程的基本步骤：画出合理的控制体。建立合理的坐标系，由坐标方向来判断Fx、Fy、Fz以及u、v、w的正负。的正负由矢量点积—它们的夹角是否大于90度进行判断，n的方向为垂直于控制面向外为正，一般流入为负，流出为正。2.2动量方程的应用例题4-2已知：θ，Q0，V1=V2=V0

，定常，均匀流动，不计质量力。求Q1，Q2及挡板所受的作用力。连续方程动量方程2.2动量方程例题4-3水流过一段90o的渐缩弯头，进口截面绝对压强P1=221KPa,横截面积S1=0.01m2，出口截面积S2=0.0025m2，速度V2=16m/s，压强则为大气压强pa=101KPa。流动是定常的，忽略质量力和摩擦力，求对弯头的支撑力。水的密度ρ=999kg/m3运用连续方程求出口速度—动量方程，投影到X，Y方向求解2.2动量方程例题4-4通过一漏斗将砂子装上一水平传送带，传送带的水平速度为速度为Vb=0.9m/s。砂子从漏斗垂直下落的速度为Vs=1.5m/s，其质量为230kg/s。初始时刻传送带是空载的，忽略驱动系统和滚子的摩擦力，求当开始装砂时，传送带所受的拉力T.x方向动量方程注意这是一个非稳态问题与时间相关！y方向动量方程控制体内沙子的y向速度边界上沙子的y向速度2.2动量方程—伯努利方程的推导从流场中取一段长为δl的流管元。取流管侧面和两端面所包围的空间为控制体。假设流动是定常和无摩擦的，流体均质不可压缩，进出口端参数如图所示。质量守恒，由于流动是定常的。连续方程为：2.2动量方程—伯努利方程的推导沿流线方向定常流动的动量方程为流管侧表面所受压力在流线方向分量，压强取平均值连续方程2.2动量方程—伯努利方程的推导ρ为常数，可直接积分上式即为著名的伯努利方程。它的适用条件是：定常流动，无粘性摩擦，均质不可压缩流体，沿流线方向。2.2动量方程—伯努利方程的应用例题4-5P65试利用伯努利方程计算例4-3中弯管的进口压强（绝对）对弯管两端面写出伯努利方程：忽略质量力的影响2.2动量方程—相对坐标系情况

前面推导雷诺输运定理时，假设控制体是静止的，如果控制体是运动的，可以选参考坐标系固连在这一运动控制体上，流体速度相对于运动坐标系测量。此时的雷诺输运定理为：相应的连续方程和动量方程为：把原先流体的绝对速度用流体相对于控制体的相对速度代替即可。选用运动控制体在某些场合可以大大简化问题的求解过程。2.2动量方程—相对坐标系情况例题4-6速度为V=30m/s的射流从出口截面为0.003m2的固定喷嘴流出，冲击一转角为60o的光滑叶片使其沿水平方向以恒定速度U=10m/s运动。试求保持叶片作匀速运动所需作用于叶片上的力。忽略质量力和粘性摩擦力，流体密度ρ=999kg/m3。已知流体沿叶片表面运动时相对于叶片的速度大小恒定不变。连续方程动量方程2.3动量矩方程动量矩定理：系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在系统上所有外力对于同一点的力矩之和。在雷诺输运方程中取：则2.3动量矩方程如果忽略表面力和对称质量力所产生的力矩，并且是定常流动，动量矩方程可简化为：在分析旋转流体机械时，往往仅应用上式沿转轴方向的分量方程，取Z轴与流体机械的转轴相重合。如果叶轮进出口截面处流动是均匀的，并考虑到只有与旋转半径r垂直的速度分量才会产生转矩，于是沿转轴的标量形式的动量矩方程可写成：为通过进口或出口截面的质量流量；Vθ1和Vθ2分别为流体在进出口截面处的绝对速度沿叶轮切向的分量；r1和r2分别为Vθ1和Vθ2至转轴的距离。2.3动量矩方程

各量的正负确定方法如下：

Vθ1和Vθ2，当它们和叶轮转动方向相同时为正，反之为负。

，与叶轮转动方向相同时为正，反之为负。传递给叶轮的功率等于转矩与叶轮旋转角速度的乘积。

表示单位重量流体通过叶轮后获得的能量，即增加的能量头。2.3动量矩方程

—例题4-7一空气扇叶轮内外半径分别为r1和r2，叶片高h，空气以绝对速度V1沿半径方向进入叶片，而沿叶片切向离开风扇转子，其对叶轮的相对速度方向和圆周切向成30o角。假设空气流量Q恒定，风扇以恒定角速度ω旋转，试求驱动此风扇所需的电机功率。速度三角形旋转90度质量流量出口叶片端部的线速度速度三角形气流出口速度的切向分量连续性方程气流出口的径向速度2.3动量矩方程—例题4-8一混流式水泵，其进口与出口直径分别为R1和R2，流体轴向进入水泵后，沿叶片流动，并逐渐地改变为沿径向流出，进口处的速度为V1，出口处相对于叶片的径向速度Vr2，流体的体积流量为Q，叶片出口处的宽度为b2，叶轮的旋转角速度为ω，忽略质量力和摩擦力的作用，并假定流动是定常的，试求：（1）出口处相对于叶片的径向速度Vr2;（2）输入叶轮的转矩；（3）输入叶轮的功率。2.3动量矩方程—例题4-8连续性方程2.3动量矩方程—例题4-102.3动量矩方程—例题4-10从洒水器的下方注入一股高压水流，上行至旋转管处分为两股，各沿旋转臂流动，至末端后经喷嘴沿切向喷出。设水流量为Q=1000mL/s，并保持恒定，每个喷嘴出口面积都是S2=30mm2，旋转轴到喷嘴中心的半径是r2=200mm。（1）求需施加多大的阻力矩方能保持洒水器不转；（2）求当洒水器以恒定角速度500rpm旋转时的阻力矩；（3）设阻力矩为零，求洒水器的旋转角速度。先用连续性方程求出流体离开喷嘴的速度2.4能量方程根据能量守恒定理外界导入热量、对系统做功时Q和W取正值。根据雷诺输运方程，此时N=E,φ=ρe

W包括轴功和表面力所作的功。表面力又包括正应力和切向力。它们的做功功率分别为：其面积分可分以下三种情况来考虑：1）如果控制面的部分表面为旋转轴表面，则这部分表面上的切应力所作的共已归入轴功之中。2）部分控制面可能为静止固体表面，此时V=0,在这部分控制面上的积分为零。3）控制面表面是流体流进或流出控制体的通道，此时可以通过恰当选择控制面方位和形状使控制面和流体速度相互垂直，即τ与V垂直，使其为零。2.4能量方程综上所述，外界对控制体做功功率可表示为：定常流动2.4能量方程当流体速度V和流动参数在进出口截面上均匀分布，且控制体只有一个进口和一个出口时。上式可简化为：2.4能量方程例题4-10蒸汽进入汽轮机前速度为30m/s，焓为3348kJ/kg，离开汽轮机时速度为60m/s，焓为2550kJ/kg，设汽轮机是绝热的，高度的变化可以忽略。求1kg蒸汽流过汽轮机时所输出的功。绝热，忽略高度变化，可取Z1=Z23微分形式的连续方程积分形式的连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。积分形式的流体力学方程对解决有关工程实际问题非常有用。一般的工程问题只需知道界面上的物理量如速度、温度、压强等的数值即可。针对有限大小控制体体积的积分方程不能提供控制体内详细的物理量信息。微分形式的流体力学方程针对空间某一点或某一微元控制体的。3微分形式的连续方程—欧拉法推导平行六面体微元控制体x方向流入控制体的净质量流量=左端面-右端面控制体内流体质量增长率=通过界面流入控制体的质量流量中间端面左端面x向各端面的质量流量右端面控制体内流体质量增长率定常不可压缩3微分形式的连续方程—欧拉法推导3微分形式的连续方程—拉格朗日法推导