汽车振动学基础及应用课件：随机振动理论 -

汽车振动学基础及应用随机振动理论5.1随机振动概述5.2随机振动的统计特性5.3线性振动系统的随机响应计算5.4随机振动在汽车振动分析中的应用5.1随机振动概述对于汽车而言，最典型的非确定性振动是由于路面不平度引起的汽车振动。这些振动的共同特征是系统的激励和响应在事先都无法利用时间的确定性函数予以描述，我们称这种不确定性的振动过程为随机振动。

随机振动的数学描述为随机过程。随机过程为大量现象的数学描述，因此，需要在同样的条件下重复进行同样的试验。

例如，在同样的道路以及同样的行驶工况下进行次道路行驶试验，记录车身上特定点加速度的时间历程。每次的记录称为一个样本函数。随机过程为所有样本函数的集合，记作。在任一采样时刻，随机过程的各个样本函数值都不相同，构成随机变量。

5.1随机振动概述对于随机过程的研究不是局限于样本函数本身，而是在于随机过程的总体统计特性。例如，随机过程在时刻的随机变量的集合平均为再如，随机过程在时刻和的两个随机变量和，对于各样本的和的乘积的集合平均为5.1随机振动概述如果随机过程的均值和自相关函数与采样时刻无关，则称随机过程为（弱）平稳过程。对于平稳过程，均值为常数，即自相关函数仅仅是时间差的函数，即如果平稳随机过程的均值和自相关函数可以利用任何一个足够长的样本函数的时间平均值来计算，即5.2随机振动的统计特性5.2.1幅值域（时域）特性（1）均值对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：（2）方差和标准差对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：方差的计算公式为：

方差的开方值称为标准差，计算公式为：

对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：5.2随机振动的统计特性（3）均方值和有效值对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：均方值的计算公式为：

在工程应用中，经常希望利用一个当量幅值来表示信号的大小，即称为有效值，它是均方值的根值，也称为均方根值。计算公式为：对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：（4）均值、方差和均方值之间的关系均方值等于方差与均值的平方之和，即5.2随机振动的统计特性图5.1所示的三角波的方程为：

计算得均值为：

均方值为：

方差为：5.2随机振动的统计特性5.2.2相关域特性自相关函数表征随机过程在一个时刻和另外一个时刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随机变化的程度。表征随机过程在时刻和的相关性的自相关函数的表达式为5.2随机振动的统计特性5.2.3频率域特性对于随机过程在频率域内的描述，主要是应用功率谱密度函数来表征随机振动过程在各频率成分上的统计特性。平稳随机过程的功率谱密度函数为自相关函数的傅里叶变换，即其逆变换为以上两式构成傅里叶变换对，称为维纳—辛钦关系式。如果，则

5.2随机振动的统计特性5.2随机振动的统计特性在随机振动中，表示能量在各圆频率上的分布密度。根据其物理意义可知，。

由此可知，为的偶函数。5.2随机振动的统计特性在整个频率域内定义的为双边功率谱。在非负频率范围内定义的功率谱称为单边功率谱，记作。

单边谱和双边谱的关系为

实际计算功率谱时，通常利用频率代替圆频率，则维纳—辛钦关系式变化为（5-25）式（5-25）变化为5.2随机振动的统计特性5.2.4随机振动的概率分布（1）基本概念如图5.2所示的随机过程，中小于的概率，记为，即

图5.2累积概率的计算方法5.2随机振动的统计特性由此可以得到图5.3所示的累积概率分布函数，取值在0~1之间。图5.3累积概率和概率密度函数5.2随机振动的统计特性如果要求取值位于和之间的概率，应为引入概率密度函数，为

与二者存在以下关系：

另外

这说明，曲线下面的面积总和为1。5.2随机振动的统计特性随机过程时域统计特性与概率密度函数的关系为均值

方差均方值

5.2随机振动的统计特性（2）概率分布正态分布和瑞利分布是两种最常见的概率分布，数学表达式分别为正态分布

瑞利分布

5.2随机振动的统计特性两种概率分布的函数如图5.4和5.5所示。图5.4正态分布图5.5瑞利分布5.3线性振动系统的随机响应计算5.3.1线性系统随机激励响应统计特性线性系统在任意激励下的解可以根据杜哈梅积分写出：将积分的上、下限扩展为和不影响积分结果，即5.3线性振动系统的随机响应计算因为激励为平稳随机过程，因此，响应也是平稳随机过程，其统计特性可以按照以下的方法进行计算。（1）均值（2）自相关函数5.3线性振动系统的随机响应计算（3）激励与响应的相关函数（4）响应自谱5.3线性振动系统的随机响应计算（5）均方值当激励为白噪声时，激励谱为常数，所以积分，其中，的求解见表5.1。5.3线性振动系统的随机响应计算（6）激励与响应的互谱对激励与响应的互相关函数作傅里叶变换得到互谱，即（7）谱相干函数对于线性系统：5.3线性振动系统的随机响应计算上述的分析结果对于SISO（单输入单输出）、SIMO（单输入多输出）和MIMO（多输入多输出）系统的随机响应问题同样适用。

对于MIMO系统相对比较复杂，假设自由度线性系统受到个平稳随机激励，则第个坐标对于沿第个坐标的激励的的脉冲响应函数为，频率响应函数为，它们构成脉冲响应函数矩阵和频率响应函数矩阵，即

5.3线性振动系统的随机响应计算将和排成阵列，即忽略中间的推导过程，得到响应统计特性的计算公式为：（1）响应的自相关矩阵（2）响应的自谱矩阵（3）响应的自相关矩阵（4）激励与响应的互谱矩阵5.3线性振动系统的随机响应计算5.3.2线性系统传递特性频率响应函数是指初始条件为零时系统的输出与输入的傅里叶变换的比值。其求解的基本过程为：1）列出系统的运动微分方程；2）假设全部初始条件为零，对微分方程进行拉普拉斯变换；3）求系统的输出量与输人量之比；4）将代入输出量与输入量的比值，得到频率响应函数。5.3线性振动系统的随机响应计算图5.6所示的为汽车车身单质量系统振动模型：图5.6汽车车身单质量振动系统（1）系统的微分方程为（2）拉氏变换（3）输入输出比值（4）频率响应函数5.4随机振动在汽车振动分析中的应用对于图5.6所示的汽车单质量系统振动模型，若路面不平度的激励谱为，其中，为车速

求得频率响应函数为：

则

所以，响应的均方值为其中：得到5.4随机振动在汽车振动分析中的应用图5.7所示的为汽车双质量系统振动模型：