专题01圆的取值范围与最值问题题型全归纳（解析版）

专题01圆的取值范围与最值问题题型全归纳【考点预测】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题【方法技巧与总结】解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【题型归纳目录】题型一：斜率型题型二：直线型题型三：距离型题型四：长度、周长、面积型题型五：数量积与角度型题型六：阿波罗尼斯圆【典例例题】题型一：斜率型例1．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）实数满足，那么的最大值为___________.【答案】【解析】得，所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆的上半部分，表示点与点连线的斜率，过作半圆的切线，切点为，如下图所示，则，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以直线的斜率为，也即的最大值为.故答案为：例2．（2022·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．【解析】(1)因为点P(a，a＋1)在圆C上，所以，即，解得，所以，所以，的斜率为.(2)由得，所以圆的圆心，半径，所以，所以，.(3)设，因为表示圆上任意一点与连线的斜率，则直线的方程为，即，由直线与圆有交点，可得，化简得，解得，所以的最大值为、最小值为.例3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【解析】由题意，，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆，表示圆上的点P（x,y）与原点连线的斜率，如图：易知，当直线与圆相切时分别取得最大值和最小值设切线为：，于是圆心到切线的距离故的最大值和最小值的和是0故选：B变式1．（2022·全国·高二专题练习）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（

）A．最大值为2＋，最小值为—2－B．最大值为2＋，最小值为2－C．最大值为－2＋，最小值为－2－D．最大值为—2＋，最小值为2－【答案】B【解析】可化为.可看作圆上任意一点与定点连线的斜率.记，则，记为直线l.当直线与圆相切时，k可以取得最值.此时圆心到直线的距离，解得：.所以.故选：B.变式2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆．若过点的直线l与圆、都有公共点，则直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由题意可知，过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置，即直线介于图形中的两直线之间，设直线l的方程为，与相切时有，解得或，由图知舍去，与相切时有，解得或，由图知舍去，所以直线l斜率的取值范围是．故选：D变式3．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆，设，其表示的是点与点连线的斜率，由可得，当直线与圆相切时取得最值，此时有，解得，所以的最大值为，故选：B题型二：直线型例4．（2022·全国·高二课时练习）已知点在圆上运动.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【解析】（1）由题意，点在圆上运动，设，整理得，则表示点与点连线的斜率，当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，又由，解得，所以所以的最大值为.（2）设，整理得，则表示直线在轴上的截距，当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，由，解得，所以所以的最小值为.例5．（多选题）（2022·浙江温州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．最大时，【答案】AC【解析】对于A，，A正确.对于B，记AB的中点为D，,，故B错误；对于C，令，当直线与圆C相切时，b取到最值，令，，所以最小值为，故C正确.对于D，当PB与圆C相切时，最大，此时，故D错误.故选：AC例6．（多选题）（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（

）A．的“欧拉线”方程为B．圆上点到直线的最大距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．若点在圆上，则的最大值是【答案】ACD【解析】，由题意可得的欧拉线为的中垂线，由，可得的中点为，且，线段的中垂线方程为，即，故A正确；的“欧拉线”与圆相切，圆心到直线的距离，圆的方程为，圆心到直线的距离，圆上点到直线的距离的最大值为，故B错误；令，，代入圆的方程，可得，由于在圆上，有根，则，整理得，解得，的最小值为，即的最小值为，故C正确；因为表示圆上的点与连线的斜率，设，则，即，所以，即，解得，所以的最大值为，故D正确；故选：ACD．变式4．（2022·全国·高二课时练习）已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.【答案】20【解析】由整理得，可知其图象是半圆，圆心为，半径为.又，其几何意义为点到直线距离的5倍，故分析点到直线距离的最小值即可.如图，作直线，点C到直线的距离，所以到直线的距离的最小值为，即的最小值为4，所以的最小值为.故答案为：20题型三：距离型例7．（2022·全国·高二课时练习）已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．【解析】因为，又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，即S表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离，显然最小值为定点与圆心的距离减去半径，即最小值为，所以的最小值为.例8．（2022·北京市怀柔区第一中学高二期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)设点，动点在圆上，求的最大值和最小值．【解析】（1）由题意可设：圆心，由半径得：，解得：，圆心，半径，圆的标准方程为：.（2）由（1）知：圆心，半径，，，.例9．（2022·新疆·高二期中）已知点分别为圆与上一点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】圆A的圆心坐标为，半径为1；圆的圆心坐标为，半径为.因为两圆的圆心距，所以两圆外离，.故选：A．变式5．（2022·北京大兴·高二期中）已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.(1)当的坐标为时，求的坐标；(2)求点的轨迹方程；(3)求的最小值与最大值.【解析】（1）由题意可知，，而直线为轴，所以点的横坐标为，将代入圆的方程可得，此时点的坐标为或.（2）设点，因为，为的中点，则，连接，则，且，所以，，整理可得，因此，点的轨迹方程为.（3）因为，则点在圆内，记圆的圆心为，半径为，则，则，即，所以，当点为圆与轴的负半轴的交点时，取最大值，当点为圆与轴正半轴的交点时，取最小值，所以，.因此，的最小值为，最大值为.变式6．（2022·江苏南京·高二阶段练习）已知实数，满足方程，则的取值范围为___________；的最小值为___________.【答案】

【解析】由题意得（1）方程可化为，圆心，半径为2.，的取值范围为.（2）表示圆上的一点与距离的平方与1的差.由平面几何知识知，过和圆心的直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值.又圆心到的距离为，所以的最小值为.故答案为：；.变式7．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）已知圆的方程为：(1)求实数的取值范围.(2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值.【解析】（1）方程配方得：，它表示圆，则，解得；（2）由（1），时，，圆方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，已知直线与圆相离，所以的最小值是．变式8．（2022·全国·高二课前预习）已知实数x，y满足，求的最大值与最小值．【解析】已知方程可化为，则此方程表圆，且圆心C的坐标为，半径长．又．它表示圆上的到的距离的平方再加；所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为，点P与点E距离的最小值为.又因为，则的最大值为，的最小值为；即的最大值为51，最小值为11.变式9．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为______，最小值为_______，的范围为________．【答案】

64

4

【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，则表示在圆上点到距离的平方，而圆心到的距离为，所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，故的最大值为64，最小值为4；又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，所以的范围为.故答案为：64，4，变式10．（2022·全国·高二课时练习）平面直角坐标系中，，过点作两条直线，被圆M截得弦AB，CD，满足.设线段AC的中点为N，则的最小值为___________.【答案】【解析】设的中点为，因为，故，由垂径定理，，故.即，所以，因为，且，故，即，故，故的轨迹方程为，所以的最小值为.故答案为：变式11．（2022·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是__．【答案】【解析】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标，半径为2，连接，故，故的最小值是故答案为：．变式12．（2022·天津市第二南开中学高二期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________.【答案】【解析】由得，故圆心坐标为,半径，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，把代入直线，得，而可看作是点到直线上的点的距离，因为到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：.题型四：长度、周长、面积型例10．（多选题）（2022·福建漳州·高二期中）已知点在圆上，则下列说法正确的是（

）A．圆C的圆心为 B．圆C的半径为2C．的最大值为7 D．的最小值为【答案】AC【解析】对于A和B，由，可得，则圆C的圆心为，半径为，故A正确，B错误；对于C，将即看成直线的方程，其与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解得，故C正确；对于D，记，则表示直线的斜率，直线的方程为，即，当该直线与圆有交点时，可整理得，解得，所以的最小值为，D错误，故选：AC.例11．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为(1)求圆C的方程；(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．【解析】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，到直线的距离为，所以，解得，所以圆的方程为.（2）由（1）得，圆的圆心为，半径，，所以当最小时，最小.到直线的距离为，所以的最小值为，所以四边形PACB面积的最小值为.例12．（2022·新疆·高二期中）已知圆，直线过点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率.【解析】（1）圆的圆心为，半径为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意知，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，可得直线的方程为，当直线与圆相切时，直线的方程为或.（2）若直线与圆相交，由（1）可知，直线的斜率必定存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离.的面积为，当时，面积的最大值为，即，可得，解得，故面积的最大值为，此时直线的斜率为.变式13．（2022·四川·仁寿一中高二期中（文））已知圆C：，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为______【答案】【解析】圆C：，即，则圆的圆心，半径，因为分别切圆于点，所以，所以，则要求四边形PACB面积的最小值，只要求出的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，为，所以四边形PACB面积的最小值为.故答案为：.变式14．（2022·北京市怀柔区第一中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，为原点，以为直径作圆．(1)求圆的方程；(2)设是圆上的动点，求的最大值和最小值．【解析】（1），的中点为则，以为直径的圆的半径为所以圆的方程为：（2）设，则，设则，其中当时，有最大值37.当时，有最大值17.变式15．（2022·浙江省诸暨市草塔中学高二阶段练习）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．(1)求圆M的标准方程；(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．【解析】（1）由题意可设圆心，因为y轴被圆M截得的弦长为4，所以，又，则，化简得，解得，则圆心，半径，所以圆M的标准方程为．（2）点关于x轴的对称点为，则，当且仅当M，P，三点共线时等号成立，因为，则直线的方程为，即，令，得，则．变式16．（2022·河南·濮阳南乐一高高二阶段练习（文））已知圆，直线，为直线上的动点，过做圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________【答案】【解析】由题知，⊙M：，圆心为，半径，圆心到直线上的点的最短距离为，所以切线长，故四边形的面积的最小值为.故答案为：.变式17．（多选题）（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（

）A．圆的半径为4B．直线过定点C．直线与圆的相交弦长的最小值为D．直线与圆的交点为，则面积的最大值为2【答案】BCD【解析】对于A：圆，即，圆心为，半径，故A错误；对于B：直线，即，令，得，即直线过定点，故B正确；对于C：因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，当直线与圆的相交弦最小时，与相交弦垂直，又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；对于D：设圆心到直线的距离为，则，则，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确．故选：BCD．变式18．（2022·黑龙江·大庆四中高二期中）已知圆和圆，，分别是圆和圆上的动点，为轴上的动点，则关于的最小值为______．【答案】【解析】由：，得，半径，：，得，半径，由题意知，当，，三点共线时最小，，，三点共线时最小，所以的最小值即，设点关于轴对称的对称点为，则，所以的最小值为，则的最小值为.故答案为：.变式19．（2022·北京·大峪中学高二期中）在平面直角坐标系中，从点向直线（k为参数）作垂线，垂足为M，O为坐标原点，则线段的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】直线过定点，，可知点是在以为直径的圆上，又，可得：，故选：B．变式20．（2022·安徽·高二阶段练习）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】因为，圆的标准方程为，所以半径，圆心，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，所以．故选：C．变式21．（2022·四川宜宾·高二期末（文））直线分别交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，三角形OAB的内切圆上有动点P，则的最小值为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【解析】因为直线分别交坐标轴于A，B两点，所以设，则，因为，所以三角形OAB的内切圆半径，内切圆圆心为，所以内切圆的方程为，设，则，因为表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，且在内切圆内，所以，所以，,即的最小值为18，故选：B.变式22．（2022·湖南·长沙市明德中学高二阶段练习）已知点，分别为圆：，：上的动点，为轴上一点，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，易知，因为关于x轴的对称点为，所以，因此的最小值为，当且仅当为直线与x的交点时取等号．故选：B．变式23．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接CA．在中，．要使最小，则应最小．又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为．故选：A变式24．（2022·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【解析】圆的圆心，半径为1∵，则，直线圆心到直线的距离∵△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径∴边上高的最小值为，则的最小值为故选：D.题型五：数量积与角度型例13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆经过，，.(1)求圆的标准方程；(2)若点，点是圆上的一个动点，求的最小值.【解析】（1）设圆的标准方程为，由于圆经过，，，所以有，解得所以圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆的半径为，.当与共线且同向时，取得最小值.所以的最小值为.例14．（多选题）（2022·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（

）A．点在定圆上B．点在圆外C．线段长的最大值为D．的最小值为【答案】BC【解析】因为直线与，满足，所以两直线互相垂直，又两直线分别过定点，定点，所以是以为直径的圆，圆的方程为，故选项A错误；圆与圆的圆心距为，所以两圆相离，则点在圆外，故选项B正确；因为，为弦的中点，所以，所以圆心到弦的距离为，所以弦中点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以线段长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即，故选项C正确；，因为，所以，故选项D错误．故选：BC.例15．（多选题）（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）过点作圆的切线，是圆上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．切线的方程为B．圆与圆的公共弦所在直线方程为C．点到直线的距离的最小值为D．点为坐标原点，则的最大值为【答案】ABD【解析】A.因为，所以，则过点的切线为，即，故正确；B.由和两式相减得，故正确；C.点到直线的距离，所以点到直线的距离的最小值为，故错误；D.设，则，所以，即，点到直线的距离等于半径得：，解得或，则的最大值为，故正确；故选：ABD变式25．（2022·江苏常州·高二期中）已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为_____________.【答案】【解析】直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线与直线垂直，当时，，点P在以MN为直径的圆（除点M，N外）上，当时，点,因此，点P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆（除点外），如图，观察图形知，点A在圆O：外，当直线AP与圆O相切时，为锐角且最大，最大，所以.故答案为：变式26．（2022·湖北·高二期中）几