13.3.1等腰三角形（原卷版）

13.3.1等腰三角形了解等腰三角形和等边三角形的概念掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理掌握有一个角是30°的直角三角形的性质知识点一等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形(isoscelestriangle).如图,在△ABC中,AB=AC△ABC是等腰三角形即学即练1如图，点D在AC上，AB=AC，即学即练2已知线段a，b（如图）．用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=即学即练3求证：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE知识点二等腰三角形的性质1.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.拓展：由“等腰三角形的两个底角相等”,可以得到以下推论:等边三角形的各个内角都等于60°2.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC;∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.知识点三等腰三角形的其他性质(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等(2)等腰三角形两底角的平分线相等(3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等,两个锐角都是45°注意：(1)应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线.等腰三角形一腰上的高与中线不一定重合.(2)等腰三角形是轴对称图形顶角平分线(或底边上的高,或底边上的中线)所在的直线是它的对称轴即学即练1（2021春·福建漳州·八年级福建省诏安县第二实验中学校考阶段练习）已知等腰三角形的一个角为40°，求它另外两个角的度数．即学即练2（2023春·山东青岛·八年级统考期末）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为．知识点四等腰三角形的对称性当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合，又因为AB=AC,所以点B与点C重合,即直线AD两侧的形能够完全重合.因此我们有下面的结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.知识点五等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对边”).数学语言:在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(等角对等边)注意:等角对等边的前提是“在同一个三角形中”.2.“等边对等角”与“等角对等边”的区别由三角形的两边相等得出它们所对的角相等,是等腰三角形的;由三角形有两角相等得出它是等腰三角形,是等腰三角形的等腰三角形的性质:两边相等这两边所对的角相等.等腰三角形的判定:两角相等这两角所对的边相等.即学即练1如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥(1)求证：△BED(2)若∠A角平分线＋平行线=等腰三角形当题目中出现角平分线、平行线这两个条件时，一般会有等腰三角形出现,记住这个基本图形,有助于解题，即学即练2如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，点D、E在AB上，如果BC=A．3个 B．4个 C．5个 D．6个题型1等腰三角形的定义例1（2023上·广东广州·八年级广州市骏景中学校考期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（

）A．5 B． C．9 D．10举一反三1（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）在平面直角坐标系中，点，点，点．若是等腰直角三角形且，当时，点的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．举一反三2（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在中，则为_____题型2作等腰三角形（尺规作图）例2（2022下·北京·九年级校联考阶段练习）已知：如图1，已知线段和线段．求作：等腰，使得，，于，．(1)如图2，首先作射线，在截取：接下来，请使用直尺和圆规，在图2中作出的垂直平分线，使交于点，再作出满足条件的一个等腰，使得点在线段上方（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．∵与交于点，∴，________________．∵点在上，∴（填写理由：________________）举一反三1（2023上·湖北十堰·八年级校考阶段练习）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（

）A． B．C． D．举一反三2（2023上·江苏泰州·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）作图：（1）如图1，在边长为1的正方形网格中：①画出关于直线l轴对称的（其中D、E、F是A、B、C的对应点）；②直接写出的面积=________________．（2）如图，画一个等腰，使得底边，它的高（保留作图痕迹，不写作法）题型3三角形边角的不等关系例3（2021上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC举一反三1（2021上·河北沧州·八年级统考期末）如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（

）A．10 B．14 C．15 D．19举一反三2（2020上·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（

）．A．7 B．8 C．9 D．7或8举一反三3（2019上·北京东城·八年级北京市第二十二中学校联考期中）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（

）．A．18 B．21 C．18或21 D．13或18举一反三4（2011上·浙江温州·八年级统考期中）等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为．题型4根据等边对等角求角度例4（2023上·甘肃陇南·八年级统考期中）如图，在中，，，是边上的高，则的度数为（）A． B． C． D．举一反三1（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，，点E在边上，，则的度数为（

）A．30° B．40° C．45° D．50°举一反三2（2023上·四川自贡·八年级校考期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点F．(1)若，求的度数；(2)若周长，，求长．题型5根据等边对等角证明例5（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，则与的关系是（）A． B． C． D．举一反三1（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，，，，下列结论正确的有（

）①平分；

②；③；

④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个举一反三2（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．举一反三3（2023上·广东广州·八年级广州市骏景中学校考期中）中，的平分线交于点D，垂直平分，垂足为点E．(1)求证：；(2)，求的度数．题型6根据三线合求解例6（2023上·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是(

)A． B． C． D．举一反三1（2023上·浙江台州·八年级校考期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（

）A．1 B．2 C． D．3举一反三2（2023上·甘肃陇南·八年级统考期中）如图，在中，，于点，若，则．举一反三3（2023上·陕西西安·八年级统考期中）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一个动点，则周长的最小值为_________．题型7根据三线合证明例7（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知：在中，，点D为边上一动点，以为边作且．(1)如图1，连结，若，求的度数；(2)若，猜想点D在边上什么位置时，能使请在图2中补全图形，并说明理由．举一反三1（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．(1)求证：；(2)若平分，求证：．举一反三2（2023上·云南昆明·八年级昆明八中校考期中）如图，在中，，，点是上的一点，且，，垂足分别为点、，求证：垂直平分．题型8等腰三角形的性质和判定例8（2023上·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点P，已知，则等腰三角形的顶角为（

）A． B． C．或 D．或举一反三1（2023上·福建莆田·八年级莆田二中校考期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有．举一反三2（2023上·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．(1)求的度数；(2)求证：是等腰三角形；(3)若，求的长（用含m，n的式子表示）．举一反三3（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，平分且于，，又知，的周长为，则的长是（

）A． B． C． D．举一反三4（2023上·福建莆田·八年级莆田二中校考期中）如图1，锐角，分别以的两边为腰构造等腰、，且．(1)如图2，连接，试猜想与有什么关系？并说明理由．(2)如图3，点G为的中点，连接，过点C作于点F，求证：点F、C、G三点共线．，再利用全等三角形的性质，可得且，即，即可解答；题型9格点图中画等腰三角形例9（2023上·湖南怀化·八年级校联考期中）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，使是以为一边的等腰三角形，满足条件的点C的个数有个．举一反三1（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5举一反三2（2023上·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，正方形网络中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在图中画出符合下列条件的一个图形．(1)在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形；(2)在图2中画一个以为腰长的等腰，使它的顶点都在格点上．题型10找出图中的等腰三角形例10（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（

）A．个 B．个 C．个 D．个举一反三1（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6举一反三2（2022上·七年级单元测试）线段和互相垂直平分于O点，且，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有（

）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个举一反三3（2023下·上海·七年级专题练习）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型11根据等角对等边证明等腰三角形例11（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）如图，将长方形纸带按如图所示沿EF所在直线折叠，点C落在上的点处，点D落在点处．已知长方形的两组对边分别平行而且相等，四个内角都是直角．(1)求证：是等腰三角形．(2)如果，求的度数．举一反三1（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交，与E，F．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的周长．举一反三2（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，在中，．(1)尺规作图：在边上取一点，连接，使；(2)在（1）的条件下，若，，试判断是否为等腰三角形，并说明理由．举一反三3（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，D在边的延长线上，的平分线交的延长线于点E，已知，，求证：．题型12根据等角对等边证明边相等例12（2023上·北京·八年级校考期中）如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为．举一反三1（2023上·山东青岛·七年级统考期中）如图，在中，，是边上的中线．(1)求证：是等腰三角形；(2)若的周长为33，，求的长．举一反三2（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，中，，．(1)求证：；(2)求证：．举一反三3（2023上·河南开封·八年级金明中小学校考期中）在中，，如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．(1)如图②，当，为的角平分线时，请直接写出你的猜想：(2)如图③，当为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．题型13根据等角对等边求边长例13（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则（

）．A．10 B．7 C．8 D．9举一反三1（2023上·广东广州·八年级广州市第二中学校考期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作平行交于，交于，若，，则线段的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．9举一反三2（2023上·广西南宁·九年级南宁三中校考期中）如图，，平分，，则．举一反三3（浙江省台州市20232024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在四边形中，，连结，在对角线上取点E，连接．若，．(1)求证：．(2)若平分，且，求的长．题型14直线上与已知两点组成等腰三角形的点例14（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（

）A．3 B．4 C．6 D．7举一反三1（浙江省台州市20232024学年八年级上学期期中数学试题）已知，点在平面直角坐标系中，点P在x轴上，若点A，P与原点O构成的三角形为等腰三角形，则符合条件的点P有个．举一反三2（2020上·广东广州·八年级校考期中）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形，．举一反三3（2021上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别是，，．(1)求的面积：(2)我们把所有横坐标为的点构成的直线叫作直线，画出关于直线对称的（并标注顶点字母）；(3)若在y轴上取点D，使为等腰三角形，则这样的点D共有______个．题型15求与图形中任意两点构成等腰三角形的点例15（2023上·江苏无锡·八年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个举一反三1（2021上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（

）个A．4 B．6 C．8 D．10举一反三2（2023上·江苏·八年级专题练习）已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6一、单选题1．（2021上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）点是坐标平面上两定点，C是的图像上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出（）个．A．1 B．3 C．4 D．52．（2021·安徽·统考一模）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（

）A． B． C． D．3．（2016上·江苏镇江·八年级统考期中）等腰三角形两边长分别为4和12，则这个等腰三角形的第三边为（）A．4或12 B．16 C．12 D．44．（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，在中，于点D．，点Р为边上的动点．点E为边上的动点，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．5二、填空题5．（2023上·广东惠州·八年级统考期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是．6．（2023上·北京海淀·八年级北京市八一中学校考期中）如图，在中，与