3.3解一元一次方程(一)去括号与去分母（原卷版）

3.3解一元一次方程(一)——去括号与去分母掌握解一元一次方程的基本步骤,会用去括号与去分母的方法解一元一次方程,体会解一元一次方程中的转化思想.能够根据具体问题中的数量关系准确列出方程,进一步体会建模思想，并能够检验结果是否合理知识点一解一元一次方程——去括号1.去括号的方法把括号外的数或式子(带着符号)与括号内的每一项(带着符号)相乘,再把所得的积相加.2.去括号的一般顺序先去小括号,再去中括号,最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括号,先去大括号,再去中括号,最后去小括号,此时，要注意把里面的括号看作一个整体.3.去括号的依据乘法分配律:(其中可以是一个数,也可以是整式，即单项式或多项式).4.去括号的目的与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合,最终将一元一次方程转化为(常数)的形式.注意：同学们，我们在解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同,括号外的因数是正数时,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;括号外的因数是负数时,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；如果括号前是数字时,应利用分配律先将数与括号内的各项分别相乘,以免发生错误.即学即练（2022上·浙江台州·七年级校考期中）解方程：；知识点二解一元一次方程——去分母1.去分母根据等式的性质2,方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母,把方程中各项的系数化成整数.2.去分母的一般步骤(1)确定各分母的最小公倍数:(2)方程两边同乘这个最小公倍数,约去分母3.去分母时的注意事项(1)各项都要乘所有分母的最小公倍数,不要漏乘没有分母的项；(2)如果分子是一个多项式,去分母时要将分子作为一个整体加上括号;(3)分母含有小数的应先化小数，分母为整数分母,再去分母;(4)化分母中的小数为整数不同于去分母，不是将方程两边乘同一个数,而是将分子、分母乘同一个数.即学即练（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）解方程时，去分母后正确的是（）A． B．C．3 D．3知识点三一元一次方程的解法综合归类解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边,把常数项归到方程的另一边，最终把方程转化成“”的形式.解一元一次方程的一般步骤如下表：步骤具体做法根据注意事项去分母在方程两边都乘各分母的最小公倍数等式的性质2(1)不要漏乘不含分母的项;(2)分数线有括号的作用,去分母时,分子是多项式的要加上括号（简记为“见多必括”）去括号将括号前面的系数与括号内的各项相乘去括号法则、乘法分配律(1)不要漏乘括号里的任何一项;(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到另一边等式的性质1(1)移项要变号;(2)不要丢项合并同类项把方程中的同类项分别合并,化“ax=b(a≠0)”的形式合并同类项法则未知数及其指数不变,系数相加两边同除以未知数的系数方程两边同时除以未知数的系数,得等式的性质2(1)对于化简后含字母系数的方程,要确保系数不为0时才能将系数化为1;(2)分子、分母不能颠倒注意：（1）同学们，我们在学习移项时一定要注意去分母与应用分数的基本性质变形的区别.去分母是把方程中的每一项都乘各分母的最小公倍数，与方程中的每一项都有关;而应用分数的基本性质变形只是对方程中的某一个分数进行变形,与其他项无关.（2）ax=b变形为(a≠0),当a为整数时,两边直接除以a较为方便;当a为分数时,两边都乘它的倒数不容易出错.解一元一次方程的常见错误(1)去分母时漏乘,忘记添括号;(2)去括号时没注意符号变化或漏乘:(3)移项时没改变符号;(4)方程两边同乘负数时容易出现符号的问题，导致解方程错误.知识点四列一元一次方程解应用题1.分析分量关系利用一元一次方程解决实际问题时,要找出问题中的已知量与未知量的关系，并能够找出题目中的等量关系2.列一元一次方程解决实际问题的基本步骤仔细审题:认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么,未知量是什么，并找出各数量之间的等量关系；设未知数:一般设题目里所求的未知数是,特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为;（直接设元与间接设元）列方程:根据所设的未知数和题目中的已知条件，利用等量关系列出方程;解方程:求未知数的值;检验所得的解是否正确，是否符合题意；（第一检验等式是否成立；第二检验时候复合题意）写出答案.简言之，审设列解验答.注意：(1)设未知数列方程时,要注意单位的统一噢！这是题目常见陷阱哈！一般如果我们计算的数据非常极端时，就要考虑单位是否出现问题.(2)对于实际问题中的方程的解，必须检验是否符合实际意义,对与现实生活不符的结果,要进行必要的取舍.即学即练（2022上·广东河源·七年级统考期末）在甲处工作的有132人，在乙处工作的有108人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（

）A． B．C． D．题型1去括号、去分母解一元一次方程例1（2023上·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）解方程：；(2)．举一反三1（2023上·安徽六安·七年级校考期中）解方程：(1)；(2)．举一反三2（2023上·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）解下列方程：(1)；(2)．题型2已知方程的解求参数的值例2（2021下·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）已知关于的方程的解满足，则的值是（

）A． B．10 C． D．举一反三1（2021上·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知是关于的方程的解，则的值是．举一反三2（2023上·七年级课时练习）已知关于的方程的解为，则等于（

）A．4 B． C．3 D．题型3相反数、倒数与解方程的综合问题例3若方程与的解互为相反数，则的值为（

）A． B． C． D．举一反三1（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知方程的解和方程的解互为相反数，求a的值．举一反三2（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．题型4解方程中的相同解问题例4（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．举一反三1（2022上·黑龙江大庆·七年级期末）若与的解相同，则k的值为（

）A． B．4 C．6 D．举一反三2（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）已知关于的方程与的解相同，则．题型5求方程的特殊解（整数解）问题例5（2021下·上海徐汇·六年级校考期中）关于的方程的解是正整数，则整数的值为．举一反三1（2022下·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）关于的方程的解为自然数，则整数的值为．举一反三2（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）用表示不大于的最大整数，如，，则方程的解是．举一反三3（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）已知关于x的方程的解都是整数，求整数的值．举一反三4（2018上·北京·七年级首都师范大学附属中学校考期中）已知关于x的一元一次方程kx+x=5(k≠1)(1)解方程(用含k的式子表示出此方程的解)；(2)当k为哪些整数值时，此方程的解也为整数？题型6题型去分母解小数型方程例6解方程：．举一反三1解方程:；举一反三2（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）阅读与思考阅读以下材料，完成任务．分子、分母含小数的一元一次方程的解法我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：解：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．任务：(1)该同学由变形到是利用了（

）A．等式的基本性质1

B．等式的基本性质2C．分数的基本性质

D．去分母(2)请仿照上述方法解方程：．解题关键．题型7绝对值方程例7先阅读下列解题过程，然后回答问题．解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．原方程的解是或．根据上面的解题过程，解方程：．举一反三1（2022上·山西太原·七年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）探究发现阅读下列解题过程并解答下列问题：解方程.解：①若时，原方程可化为一元一次方程，∴；②若时，原方程可化为一元一次方程，∴；③若时，则原式中，这显然不成立，∴原方程的解是或.(1)解方程.(2)若方程的解也是方程的解，求的值.举一反三2解方程：．题型8已知错解求原方程的解例8（2021上·江西吉安·七年级校考阶段练习）某同学在解方程时，方程右边的没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为．求a的值，并求出该方程正确的解．举一反三1（2023上·河北保定·七年级统考期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（

）A． B． C． D．举一反三2（2022上·湖北恩施·七年级校考期末）小军同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为，则m的值和方程的正确的解分别为（

）A．2，2 B．，3 C．， D．3，3举一反三3（2022上·安徽芜湖·七年级统考期末）小马虎在解关于的方程去分母时，方程右边的“”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．(1)求的值；(2)求该方程正确的解．题型9特殊解最值问题例9（2021上·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定：min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．按照这个规定，解决下列问题：（1）填空：min{|﹣5|，2}＝．（2）解方程：min{﹣4，x²+1}＝min{x﹣1，3﹣2x}．举一反三1（2023下·重庆·七年级统考期末）我们常用符号表示小于或者等于x的最大整数．例如，，，．由此可以知道，当x为整数时，．请根据以上信息，解决下列问题：(1)______；______；______．(2)计算并找规律______；______

______；______根据以上计算，可归纳出：①当x为整数时，______．②当x不为整数时，______．(3)计算：(4)解关于x的方程：举一反三2（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知当时，代数式的值为0；关于y的方程的解为；(1)求的值；(2)若规定表示不超过a的最大整数，例如：，请在此规定下求的值．题型10巧算解方程例10解方程：．举一反三1（2022上·云南昆明·七年级校考期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体．令，得：，去括号，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：，故，解得．阅读以上材料，请用同样的方法解方程：举一反三2（2019上·河南许昌·七年级校联考竞赛）解方程，（2）举一反三3（2021上·湖南郴州·七年级校考阶段练习）将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，例如：，解方程：．举一反三4解方程：．题型11整体思想之换元法解方程例11（2023上·七年级课时练习）解方程：．举一反三1（2021上·山西忻州·七年级统考期末）阅读材料，完成任务．七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：，，．，解，得．上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．任务：参照材料中的解题方法解方程．举一反三2先看例子，再解类似的题目.例：解方程：.解：设，则原方程化为.解得.所以.解得.问题：用你发现的规律解方程：.举一反三3解方程．题型12利用方程思想求代数式的项和系数例12（2022上·河北·七年级校联考阶段练习）方程中被阴影盖住的是一个常数，若该方程的解是，则这个常数是（

）A． B． C． D．举一反三1（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）已知两个关于x的整式，其中系数□被污染(1)若□是，化简；(2)若时，的值为28，求原题中系数□所表示的数举一反三2（2023上·河北唐山·七年级统考期末）已知两个整式，，其中系数■被污染．(1)若■是，化简；(2)若时，的值为18．①说明原式中■是几？②若的倒数等于本身，的值是多少？（2）①把代入，解方程即可求解；②根据倒数的定义求得，分别代入求解即可．【详解】（1）（2）∵的倒数等于本身，∴，∵，∴或.【点睛】本题考查整式的加减混合运算，解一元一次方程，掌握基本的运算法则和顺序，并注意题中要求，是解题关键．题型13裂项相消法解方程例13下列求和方法，相信你还记得：+++…+＝（1﹣）+（）+（）+…+（）．请利用这个方法解方程+++…+＝2017，得x＝．举一反三1（2022上·广东惠州·七年级统考期中）解方程：举一反三2（2021上·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）解方程：．题型14利用框图解方程例14（2022上·江苏南京·七年级统考期末）阅读下面解方程的途径．(1)按照上述途径，填写下面的空格．(2)已知关于的方程的解是或（、、均为常数），求关于的方程（、为常数，）的解（用含、的代数式表示）．举一反三1（2023上·江苏南京·七年级统考期末）阅读下面解方程的途径．解方程方程的解是，→(1)按照上述途径，填写下面的空格．解方程方程的解是，→(2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）．举一反三2（2023下·四川内江·七年级统考期末）阅读解方程的途径：按照图1所示的途径，已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），则关于x的方程（k、m为常数，）的解为（

）A． B．C． D．题型15新定义之和差积商型解方程例15（2022下·四川资阳·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；(2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______(3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．举一反三1（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________．（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．举一反三2（2022上·江苏扬州·七年级统考期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“积解方程”．例如：的解为且，则称方程是“积解方程”，请回答下列问题：(1)判断一元一次方程是不是“积解方程”，并说明理由．(2)若关于的一元一次方程是“积解方程”，求的值并求出该方程的解．举一反三3（2022上·河南驻马店·七年级统考期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．题型16方程其他新定义问题例16（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）已知关于的一元一次方程（其中，、为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程的解为，恰好为，则方程为“恰解方程”(1)已知关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为______(2)已知关于的一元一次方程是“恰解方程”，且解为．求的值；(3)已知关于的一元一次方程和都是“恰解方程”，求代数式的值．举一反三1（2022上·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______；(2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值．举一反三2（2022上·江苏南通·七年级统考期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程是妙解方程，则．举一反三3（2021上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义：对于一个有理数x，我们把称作x的“青一值”．若，则有理数x的“青一值”；若，则有理数x的“青一值”．例：；．（1）求有理数和的“青一值”；（2）已知有理数，，且它们的“青一值”相等，叫，试求代数式的值；（3）解方程：．举一反三4（2023上·安徽淮北·七年级淮北市第二中学校考期中）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若方程与方程互为“反对方程”，则______．(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值．(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值．举一反三5（2020上·山西吕梁·七年级统考期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的2倍，则这个方程叫做另一个方程的倍解方程.如一元一次方程的解是，的解是.10是5的2倍，因此一元一次方程是的倍解方程.已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值.题型17题型解比例方程例17（2022上·湖北黄石·七年级统考期末）解比例或解方程．(1)(2)(3)举一反三1（2022上·黑龙江大庆·六年级统考期末）解方程．(1)；(2)；(3)举一反三2（2022下·黑龙江绥化·六年级校考期末）解比例：(1)(2)3.6∶x(3)15∶3＝12∶x(4)34∶210＝x∶35举一反三3（2021上·广东珠海·七年级统考开学考试）解方程或解比例．(1)(2)(3)题型18题型定义新运算例18（2023上·黑龙江绥化·七年级校考期中）定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有，应用新运算计算：(1)求的值；(2)如果，求x的值．举一反三1（2023上·广东广州·七年级校考阶段练习）广大附中的学生们不仅喜欢钻研数学问题，他们还喜欢自己命题相互考．下面是小张同学命制的试题，对于任意四个有理数，，，，我们给它一个规定：，例如：请根据上述规定的运算解决下列问题：(1)计算：；(2)计算：；(3)若有理数，求的值．举一反三2（2023上·北京西城·七年级北京市第十三中学分校校考期中）是新规定的这样一种运算法则：，例如．(1)求的值；(2)若，求x的值．举一反三3（2023上·江苏南京·七年级校考阶段练习）课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子：第一组：；；第二组：；；第三组：；；；．小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则：(1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分：①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；②异号两个数进行☆运算时，____________；③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______；(2)填空：______；______；(3)若，求的值．题型19解方程纠错问题例19（2023上·山西太原·七年级校考期末）下面是小愉同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．解方程：解：去分母，得．…第一步去括号，得．…第二步移项，得．…第三步合并同类项，得，…第四步方程两边同除以，得．…第五步(1)以上求解过程中，第三步的依据是；(2)从第步开始出现错误，具体的错误是；(3)该方程正确的解为．举一反三1（2023上·山西太原·七年级统考期末）（1）解方程：；（2）下面是小亮同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．解方程：．解：去分母，得．

第一步去括号，得．

第二步移项，得．

第三步合并同类项，得

第四步方程两边同除以，得．

第五步填空：①以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是_____________________________；②该方程正确的解为________．举一反三2（2023上·河北张家口·七年级统考期末）嘉琪同学在解方程：时，步骤如下：嘉琪的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程．举一反三3（2022上·河南郑州·七年级校联考期末）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：．解：去分母，得，⋯第一步去括号，得，⋯第二步___________，得，⋯第三步合并同类项，得，⋯第四步方程两边同除以3，得，⋯第五步(1)以上求解步骤中，第三步进行的是___________，这一步的依据是___________；(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误原因是___________；(3)请写出正确解方程的过程．举一反三4（2023下·河南南阳·七年级统考期末）老师让同学们解方程，某同学给出了如下的解答过程：解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并得：，两边都除以7，得，

根据该同学的解答过程，你发现：(1)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是______________________；(2)请你给出正确的解答过程．题型20解一元一次方程分类讨论问题例20（2014上·七年级课时练习）已知方程的解满足，则．举一反三1（2020上·浙江杭州·七年级统考期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为．举一反三2（2022下·上海·八年级校考阶段练习）解关于x的方程：．举一反三3（2022上·浙江湖州·七年级统考期末）定义一种对正整数的“”运算：．以表示对正整数进行次“”运算．例如，表示对2进行2次“”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答：(1)求的运算结果；(2)若为偶数，且的运算结果为8，求的值；(3)求的运算结果．一、单选题1．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为时，输出的值为，输入值为1时，输出值为()A． B．1 C．3 D．