高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.7 空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）（学生版）

专题8.7空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.(2)平面的画法

①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.

②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.(3)平面的表示方法

平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．点、直线、平面的位置关系的符号表示点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论(1)三个基本事实及其表示

(2)三个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.(2)基本事实1和2的三个推论4．空间中直线与直线的位置关系(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：(2)异面直线的画法

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.5．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：6．空间中平面与平面的位置关系(1)两种位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：(2)两种位置关系平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.7．平面分空间问题一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).【题型1平面的基本性质及推论】【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.【例1】（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（

）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022春·上海浦东新·高二期末）如图，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A,B,C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（

）A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M【变式1-2】（2022·高一课时练习）已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理中错误的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN⊂α，直线MN⊂βC．A∈α，A∈β，则α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线，则α、β重合【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2点共线、点线共面问题】【方法点拨】证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.【例2】（2022秋·上海虹口·高二阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)证明：E、F、D、B四点共面；(2)对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC,BD交于点(3)证明：BE、DF、CC【变式2-1】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D(1)求证：CE，D1(2)在（1）的结论中，G是D1E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，【变式2-3】（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥A−BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．【题型3直线与直线的位置关系】【方法点拨】1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.【例3】（2022秋·上海静安·高二阶段练习）设A、B、C、D是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是（

）.A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定【变式3-1】（2023秋·上海浦东新·高二期末）已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．异面【变式3-2】（2023·上海·统考模拟预测）如图，P是正方体ABCD−A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【变式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列判断不正确的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直线AE与DN的夹角为60【题型4直线与平面的位置关系】【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.【例4】（2022春·浙江宁波·高二学业考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行【变式4-1】（2023·陕西榆林·统考一模）若m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若m//α,α//β，则m//βB．若m⊥α,α⊥β，则m//βC．若m//n,n//α，则m//αD．若m⊥α,α//β，则m⊥β【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【变式4-3】（2022春·广东广州·高一期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，A．在正方体ABCD−A1BB．在正方体ABCD−A1BC．在正方体ABCD−A1BD．平面α截正方体ABCD−A【题型5平面与平面的位置关系】【方法点拨】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.【例5】（2023·高一课时练习）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【变式5-1】（2022·全国·高一专题练习）在四棱台ABCD−A1B1C1DA．相交 B．平行C．不确定 D．异面【变式5-2】（2022·黑龙江·高二学业考试）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【变式5-3】（2022·高一课时练习）给出下列三个命题：①若平面α/平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ②若平面α/平面β，β/平面γ，则③若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ．其中真命题的个数是．A．1 B．2 C．3 D．4【题型6平面分空间问题】【方法点拨】掌握平面分空间的几种情况，根据题目条件，进行求解即可.【例6】（2022秋·上海浦东新·高二阶段练习）三个平面不可能将空间分成（