5.6函数y=Asin(ωxφ)（精讲）（原卷版）

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)（精讲）一．三角函数的伸缩平移1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响横坐标平移左加右减2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响横坐标伸缩3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响纵坐标的伸缩二.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意义（1）简谐运动的振幅就是A.（2）简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).（3）简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).（4）ωx＋φ称为相位.（5）x＝0时的相位φ称为初相.一．图象平移变换的方法(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．(2)当x的系数是1时，若φ>0，则左移φ个单位；若φ<0，则右移|φ|个单位．(3)当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则左移eq\f(φ,ω)个单位；若φ<0，则右移eq\f(|φ|,ω)个单位．二．“五点法”作图1.实质：利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤第一步：列表ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．三．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式的常用方法方法一：最值法(1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|，|A|＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq\f(T,2)，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.(3)φ：以五点作图法中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y有最大值，或者由五点作图法中的第一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．方法二：“五点”对应法依据五点作图法的原理，点的序号与式子的关系如下；“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝2π.考点一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.【一隅三反】1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；(2)直接写出函数的值域和最小正周期．列表：作图：2．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）3．（2023·江西赣州·高一统考期末）设函数.（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；（2）若，求的值.考点二三角函数图象的伸缩平移变换【例21】（2023秋·湖北武汉）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【例22】（2023秋·新疆·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（

）A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度【例23】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为.【例24】（2023春·上海嘉定·高一校考期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【一隅三反】1．（2023秋·广西贵港）要得到函数的图象，需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度2．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（

）A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）3．（2023秋·河南焦作）已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023春·广东广州）要得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度考点三由图象求三角函数的解析式【例3】（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．为是偶函数D．将的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【一隅三反】1．（2023春·新疆伊犁·高一校联考期末）（多选）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的单调递增区间为D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象2．（2023秋·四川成都）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度考点四y＝Asin（ωx＋φ）的性质的综合应用【例4】（2023春·江西赣州·高一统考期末）已如函数．(1)用“五点法”作出函数在区间上的图像；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围．【一隅三反】1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若，求的值；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域．2．（2023春·江西·高一校联考期末）已知函数.(1)