高中数学培优讲义练习（必修二）：专题7.2 复数的概念（重难点题型检测）（教师版）

专题7.2复数的概念（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．实数集与复数集的交集是空集B．任何两个复数都不能比较大小C．任何复数的平方均非负D．虚数集与实数集的并集为复数集【解题思路】利用复数的基本概念与性质，结合反例判断选项的正误即可．【解答过程】解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；任何复数的平方均非负，反例i2=−1，所以虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确故选：D．2．（3分）（2022·安徽·高二学业考试）已知复数z=a+a−1i，其中a∈R，若z是实数，则a=（A．0 B．1 C．−1 D．i【解题思路】由复数为实数，则虚部为零即可.【解答过程】因为复数z=a+a−1i，且则a−1=0⇒a=1，故选：B.3．（3分）（2022春·上海浦东新·高一期中）下列命题一定成立的是（

）A．若z∈C，则B．若x,y,z∈C,C．若a∈R，则(a+2)D．若p,q∈C,p>0且q>0，则pq>0【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.【解答过程】对于A，当z=i时，z2=−1<0对于B，当x−y=i,y−z=1时，(x−y)2+(y−z)对于C，若a+2=0，则(a+2)i并不是纯虚数，故选项C对于D，因为p,q∈C,p>0且q>0，所以p,q为正实数，则pq>0且p+q>0，故选项故选：D.4．（3分）（2022春·云南文山·高二期末）已知3−iz=3+2i，则A．−1−32iC．32+i【解题思路】根据复数模长运算可直接化简等式求得结果.【解答过程】∵3−i=3+1故选：C.5．（3分）（2023春·安徽·高三开学考试）已知复数z满足z=1−ii（i为虚数单位），则复数zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限.【解答过程】因为z=1−ii=1−故选：C.6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知a，b∈R，复数z1=−1+ai，z2=b−3i（i为虚数单位），若A．1 B．2 C．－2 D．－4【解题思路】根据复数相等的定义列方程求解即可．【解答过程】解：由z2z2∵z∴−1=b解得a=3b=−1∴a+b=2．故选：B．7．（3分）（2023·高一课时练习）与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，它们对应的复数分别是（A．e1对应实数1，e2B．e1对应虚数i，e2C．e1对应实数1，e2D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i【解题思路】根据题意可得e1=1,0,e【解答过程】解：由题意可知e1所以在复平面内e1对应实数1，e2对应虚数故选：A.8．（3分）（2022春·广东东莞·高一期末）复数z在复平面内对应的点为Z，若1≤z≤2，则点Z的集合对应的图形的面积为（A．π B．2π C．3π D．4π【解题思路】由题意可知，点Z的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积【解答过程】因为复数z在复平面内对应的点为Z，且1≤z所以点Z的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环，所以所求面积为π×2故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（

）A．若a∈R，则(a+1)iB．若x2−1+C．若a≤0，则z=aD．若a,b∈R，且a>b，则b【解题思路】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，当a=−1，可得的(a+1)i对于B中，当x=−1，可得x2+3x+2=0，此时对于C中，当a≤0时，可得a+a=0，所以z=对于D中，由i2=−1，且a>b，所以故选：CD.10．（4分）（2022·高一课时练习）（多选）若z1=−3−4i,z2=A．4 B．−4 C．2 D．0【解题思路】根据z1【解答过程】因为z1=−3−4i所以n2−3m−1=−3n2−m−6=−4所以m+n=4或0．故选：AD.11．（4分）（2022秋·江西·高二开学考试）设复数z=i+2iA．z的共轭复数为2−i B．zC．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|z+1|=【解题思路】根据共轭复数的定义即可判断A选项；根据虚部的概念即可判断B选项；根据复数的几何意义可以判断C选项；根据复数模的计算公式可以判断D选项.【解答过程】由题得，复数z=i+2iz的虚部为1，故B正确；z在复平面内对应的点为(−2,1)，位于第二象限，故C正确；|z+1|=|−1+i故选:BCD．12．（4分）（2022秋·江苏苏州·高三阶段练习）设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（

A．z⋅z=1 C．z−1=2|z+1| D．【解题思路】设z=x+yi，根据选项条件求出x,y【解答过程】令z=x+yi对A，z⋅z对B，|z−1=z+1|，则x2对于C，z−1=2|z+1|，则化简得x2对于D，z+1+故选：AC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022秋·上海黄浦·高二阶段练习）2−2i的虚部是−【解题思路】利用复数的概念求解.【解答过程】解：因为复数为2−2所以其虚部是−2故答案为：−214．（4分）（2022秋·四川德阳·高三开学考试）已知z1=m2+m+1+m2+m−4【解题思路】根据充分条件，必要条件的定义即得.【解答过程】当z1=z2时，必有m2+m+1=3且显然“m=1”是“z1故答案为：充分不必要.15．（4分）（2022秋·北京·高二阶段练习）已知i为虚数单位，复数z=3+mim∈R且z=5，z【解题思路】根据复数的模列出方程求m，再由复数对应的点在第四象限舍去4即可得解.【解答过程】∵z∴z=3∵z在复平面内的对应点位于第四象限，∴m<0故答案为：-4.16．（4分）（2023·高一课时练习）已知z1=3，z2=5，z1+【解题思路】设z1=a+bi，z2=c+d【解答过程】设z1=a+bi∵z1=a2+b∴z解得：ac+bd=1，∴z∴z故答案为：42四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·山东临沂·高一阶段练习）已知复数z=m(m−3)+(m−3)i，其中i为虚数单位.若z满足下列条件，求实数m(1)z为实数；(2)z为纯虚数；(3)z在复平面内对应的点在直线y=x上.【解题思路】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实部为0，虚部不为0；点在直线y=x上，其实部与虚部相等；【解答过程】（1）∵z为实数，m−3=0，解得：m=3；（2）∵z为纯虚数，m(m−3)=0,m−3≠0,（3）∵z在复平面内对应的点在直线y=x上，∴mm−3=m−3⇒m=1或18．（6分）（2022·高二课时练习）求满足下列条件的实数x与y的值．（1）(3x−4)+(2y+3)i（2）(3x+2y)+(5x−y)i【解题思路】根据复数相等列方程组，求x与y值即可.【解答过程】（1）由题意，{3x−4=02y+3=0，解得（2）由题意，{3x+2y=175x−y=−2，解得19．（8分）（2023·全国·高一专题练习）设复数z1，z2满足z1=z【解题思路】设复数z1，z2所对应的点为Z1,Z2,OP=【解答过程】如图，设复数z1，z2所对应的点为Z1，Z由已知，|OP∴平行四边形OZ1PZ2∴∠ZZ1∴z120．（8分）（2022春·山东青岛·高一期末）已知复数z=m2−7m+10+m(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限，求m的取值范围；(3)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x−y−14=0上，求m的值．【解题思路】（1）根据z为纯虚数得出关于m的方程组，从而得出答案.（2）根据复数z的点位于第二象限则m2（3）将复数z对应的点坐标代入直线方程，从而可得出答案.【解答过程】(1)z为纯虚数,则m2−5m+6≠0(2)复数z的点位于第二象限则m2−5m+6>0(3)复数z的点位于直线2x−y−14=0上，则2解得m=0或m=9.21．（8分）（2022·高一课时练习）设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=5(2)2<|z|≤3．【解题思路】根据复数的几何意义可求解.【解答过程】（1）因为|z|=5，即|OZ|=5，所以满足|z|=5的点Z（2）不等式2<|z|≤3可化为不等式组|z|>2,|z|≤3,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有的点组成的集合，不等式|z|≤3的解集是圆|z|=3因此，满足条件2<|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界，如图②．22．（8分）（2022春·河南安阳·高一期末）已知复数z=m2+5m−14在①z在复平面中对应的点位于第一象限，②zi∈R，③(1)若___________，求实数m的取值集合；(2)若复数z−7m+16−2i的模为1，求实数m注：若选择多个条件解答，则按所选第一个条件计分.【解题思路】（1）选择①：解不等式组m