第03讲与圆有关的角和圆内接四边形（知识解读）（原卷版）

第03讲与圆有关的角和圆内接四边形1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.3.掌握圆内接四边形的性质。知识点1圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。知识点2圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。知识点3圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴【题型1直径所对圆周角为90°的运用】【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．42°【变式11】（2023•开福区模拟）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若∠ACB＝32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°【变式12】（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（）A．48° B．56° C．62° D．68°【变式13】（2023•昆明模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（）A．43°36′ B．46°24′ C．43°46′ D．44°36′【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【典例2】（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°【变式21】（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（）A．37° B．32° C．21° D．16°【变式22】（2023•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（）​A．55° B．45° C．35° D．25°【变式23】（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【变式24】（2023•新城区校级二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（）A．40° B．44° C．50° D．55°【题型3圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】【典例3】（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【变式31】（2023•南关区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度数是（）A．16° B．24° C．32° D．48°【变式32】（2023•绥江县二模）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，则∠CBD的度数为（）A．100° B．50° C．30° D．25°【变式33】（2023•滨城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为（）A．150° B．130° C．120° D．60°【变式34】（2023•凤凰县三模）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（）A．38° B．60° C．76° D．80°【题型4利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是⊙O上三点，若OA＝AB＝BC，则∠ACB的度数为​（）A．30° B．40° C．45° D．60°【变式41】（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（）A．58° B．32° C．60° D．68°【变式42】（2023•永寿县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【变式43】（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝°．【题型5圆内接四边形的综合运用】【典例5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC为（）​A．110° B．115° C．125° D．130°【变式51】（2023•昌江县校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ACD＝40°，则∠ABC的度数为（）A．50° B．40° C．20° D．140°【变式52】（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（）A．45° B．40° C．35° D．30°【变式53】（2023•碑林区校级一模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【变式54】（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（）A．128° B．64° C．32° D．120°【变式55】（2023•市南区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为​（）A．15° B．20° C．25° D．30°【题型6运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】【典例6】（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（）A． B． C．6 D．9【变式61】（2023春•定海区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．4 B．6 C．7 D．8【变式62】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，AD＝2，则BD的长为（）A． B． C． D．4【变式63】（2023•礼泉县二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（）A．2 B．2 C．4 D．41．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°2．（2023•黔东南州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（）A．100° B．110° C．120° D．140°3．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是．4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的⊙O的弦，点C是优弧AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（）A．8 B．4 C．4 D．85．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（）A．19° B．21° C．26° D．64°6．（2023•礼泉县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，连接AD．若AB＝8，CD＝4，则AD的长为（）A．10 B．5 C． D．7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．135° C．80° D．40°9．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．1．（2023秋•文成县期中）如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且∠DCB＝30°，则∠BOD＝（）A．60° B．120° C．30° D．45°2．（2023秋•五华区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝58°，∠ACD＝40°，则所对圆心角为（）A．18° B．24° C．30° D．36°3．（2023秋•苏州期中）如图，点B，C，D在⊙O上，∠BOC＝120°，点A是的中点，则∠BDA的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2023秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角．若∠CBE＝100°，则∠D的度数是（）A．100° B．80° C．90° D．110°5．（2023秋•萧山区期中）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，使得折痕AB垂直半径OC，当AB恰好经过CO的三等分点D（靠近端点O）时，折痕AB长为（）A．8 B． C．8 D．6．（2023秋•西青区校级期中）如图，BC为⊙O的直径，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，AB＝6，AC＝8，则CD的长等于（）A．5 B．10 C． D．7．（2022秋•红桥区校级期末）如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1 B． C． D．﹣18．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠AOC＝120°，则∠ABC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°9．（2023秋•长寿区校级期中）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（）A．85° B．60° C．65° D．55°10．（2023秋•文水县期中）如图，在圆形纸片O中，AB为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为OC，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为OD，则∠DAB的度数为（）A．22.5° B．25° C．30° D．45°11．（2023秋•长沙期中）如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC．若∠COD＝40°，则∠A的度数为．12．（2023秋•玄武区期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，点E在上，则∠E＝°．13．（2023秋•杭州期中）如图，已知半圆O，OB＝，点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于．三．解答题（共5小题）14．（2023秋•南京期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB交于AG于点F，垂足为D．（1）求证：∠CAB＝∠BCD；（2）求证：AF＝FG．15．（2023秋•新沂市期中）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E．（1）求证：点D为AB的中点；（2）求证：AD＝DE．16．（2023秋•西湖区校级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一动点，AG，DC的延长线交于点P．连接BC．（1）若∠DGF＝115°，求∠BCD的度数；（2