2022年北京海淀清华附中初一（上）期末数学试卷（教师版）

1/12022北京海淀清华附中初一（上）期末数学（清华附中初21级）2022.01一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.下列图形中，属于立体图形的是（）A. B. C. D.2.目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约万个，将数据用科学记数法表示是（）A B. C. D.3.单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（）A.3，2 B.-3，2 C.3，3 D.﹣3，34.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A.69° B.111° C.141° D.159°5.下列各组式子中，是同类项的为（）A.与 B.与 C.与 D.与6.如果与互为相反数，那么的值是（）A B. C. D.7.下列等式变形正确的是（）A.若2x＝1，则x＝2B.若2（x﹣2）＝5（x+1），则2x﹣4＝5x+5C.若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1D.若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝18.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.9.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（）A.10x﹣6＝12x＋6 B.10x＋6＝12x﹣6C. D.10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转°（0＜＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（）A.∠AOD B.∠AOC C.∠EOF D.∠DOF二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11.用四舍五入法将3.1415精确到百分位约等于_____．12.已知关于的方程的解是，则__________．13.若关于的多项式不含二次项，则__________．14.如图，点在线段上，若，，是线段的中点，则的长为_______．15.已知关于的方程是一元一次方程，则的值是__________．16.比较大小：__________（填“>”，“<”或“=”）．17.已知代数式，则代数式的值为_________．18.甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．甲商场：全场均打八五折；乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中500元打八八折，超过500元的部分打八折．（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择_____（填“甲”或“乙”）商场更划算；（2）当购物总额是_____元时，甲、乙两商场实付款相同．三、解答题（本大题共54分，第19，20题，每小题8分，第21~25题，每小题5分，第26题7分，第27题6分）19.计算：（1）；（2）．20.解下列方程：（1）；（2）．21.先化简，再求值:，其中.22.如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，请根据下列语句画出图形：（1）直线BC与射线AD相交于点M；（2）连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；（3）在直线BC上找一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小，作图的依据是：．

23.定义一种新运算“”，其规则为．例如，．（1）计算值为；（2）已知，求的值；（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．24.如表是某次篮球联赛积分榜的一部分球队比赛场次胜场负场积分前进光明远大钢铁备注：积分=胜场积分+负场积分（1）观察积分榜，胜一场积分，负一场积分；（2）设某队胜场，则胜场总积分为分，负场总积分为分（用含整式填空）；（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值．25.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，已知．（1）原点在第部分；（2）若，，，求的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点表示的数为，若，直接写出的值．26.已知，，，分别平分，．

（1）如图1，当，重合时，度；（2）若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且．①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案．27.给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为（为正整数），如下而这列数，，，，中，，，，，，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面的一列数中，．（1）已知一列数，，，，，，，，，，那么，；（2）已知这列数，，，，，，，，，，…，按照规律可以无限写下去，那么，；（3）在（2）的条件下，若存在正整数使等式成立，直接写出的值．四、附加题（本大题共20分，第28-30题每题3分，第31题4分，第32题7分）28.若实数，，满足，则的值等于__________．29.一个角的补角比它的余角的3倍少，这个角的度数是_______度．30.若，则__________．31.对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个，数中最小的数．例如：，，如果，那么__________．32.对于数轴上的点和正数，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中．例如：原点表示，原点的对称数是．（1）若点表示，则点的对称数，则，；（2）若，求点表示数及的值；（3）己知，，若点、点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的倍，当时，请直接写出点表示的数．

参考答案一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.下列图形中，属于立体图形的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据立体图形定义：是各部分不都在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是立体图形，符合题意；B、不是立体图形，不符合题意；C、是立体图形，符合题意；D、是立体图形，符合题意；故选ACD．【点睛】本题主要考查了立体图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握立体图形的定义．2.目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约万个，将数据用科学记数法表示是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】=故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（）A.3，2 B.-3，2 C.3，3 D.﹣3，3【答案】D【解析】【分析】根据单项式的系数是单项式的数字因式，而次数是所有字母指数的和，据此求解即可．【详解】解：其系数为，次数为，故选：D．【点睛】题目主要考查单项式的相关概念，包括单项式的系数及次数，理解单项式的基础知识是解题关键．4.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A.69° B.111° C.141° D.159°【答案】C【解析】【分析】根据方向角，可得∠1，∠2，根据角的和差，可得答案．【详解】如图，由题意，得∠1=54°，∠2=15°，由余角的性质，得.由角的和差，得∠AOB=∠3+∠4+∠2=故选：C.【点睛】本题考查方向角和角度的计算，熟练掌握方向角的定义是关键.5.下列各组式子中，是同类项的为（）A.与 B.与 C.与 D.与【答案】B【解析】【分析】根据同类项的概念判断即可．【详解】解：A、2a与2b，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；B、2ab与−3ba是同类项，符合题意；C、a2b与2ab2，相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意；D、3a2b与a2bc，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是同类项的概念，掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．6.如果与互为相反数，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“互为相反数的两个数的和为0”，可列出方程，求解即可．【详解】解：由题意可知，，则，，故选：A．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，相反数，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键，在解题时还应注意解方程易错点：去分母时保留括号，等式左右每一项都要乘最小公分母，移项要变号等．7.下列等式变形正确的是（）A.若2x＝1，则x＝2B.若2（x﹣2）＝5（x+1），则2x﹣4＝5x+5C.若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1D.若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1【答案】B【解析】【分析】根据解一元一次方程的方法即可依次判断．【详解】A.若2x＝1，则x＝，故错误；B.若2（x﹣2）＝5（x+1），则2x﹣4＝5x+5，正确；C.若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，故错误；D.若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故错误；故选B．【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟知去分母的方法．8.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由数轴得，，，再逐个选项分析判断即可.【详解】根据数轴可知：，，∴A.，正确；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D.，故D选项错误；故选A【点睛】本题考查利用数轴比较实数大小以及实数的乘法，熟练掌握相关知识点是解题关键.9.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（）A.10x﹣6＝12x＋6 B.10x＋6＝12x﹣6C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意：若每个快递员派送10件，还剩6件，则快递总数是：件，若每个快递员派送12件，还差6件，则快递总数是：件，据此即可列出方程．【详解】解：根据题意：若每个快递员派送10件，还剩6件，则快递总数是：件；若每个快递员派送12件，还差6件，则快递总数是：件；可得：，故选：B．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转°（0＜＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（）A.∠AOD B.∠AOC C.∠EOF D.∠DOF【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，结合平角的定义可求解∠EOF=90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．【详解】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠EOD+∠DOF=90°，即∠EOF=90°，∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF的度数是解题的关键．二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11.用四舍五入法将3.1415精确到百分位约等于_____．【答案】3.14【解析】【分析】把千分位上的数字1进行四舍五入即可．【详解】解：3.1415（精确到百分位）是3.14．故答案为：3.14．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．12.已知关于的方程的解是，则__________．【答案】7【解析】分析】把代入原方程，再解方程即可．【详解】解：把代入得，，解得，故答案为：7．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，熟练地解方程．13.若关于的多项式不含二次项，则__________．【答案】-1【解析】【分析】令x的二次项系数等于零列式求解即可．【详解】解：∵于的多项式不含二次项，∴2m+2=0，∴m=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了整式的加减无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．14.如图，点在线段上，若，，是线段的中点，则的长为_______．【答案】3【解析】【分析】根据线段中线性质可得BM＝5，线段BM的长度减去BC的长度即是MC的长度．【详解】解：∵M是线段AB中点，，∴BM＝5，∵，∴MC＝BM－BC＝5－2＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，掌握线段中点性质和线段的计算方法是解题关键．15.已知关于的方程是一元一次方程，则的值是__________．【答案】1【解析】【分析】根据一元一次方程一次项系数不为0，未知数的次数为1求解即可．【详解】解：关于的方程是一元一次方程，所以，且，解得，，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题关键是明确只含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程．16.比较大小：__________（填“>”，“<”或“=”）．【答案】>【解析】【分析】根据角度的大小来判断角的大小．【详解】∵∴故答案为：>．【点睛】本题考查角度大小比较，解题的关键是根据度分秒把两个角度统一成一样的形式．17.已知代数式，则代数式的值为_________．【答案】8【解析】【分析】根据得，，整体代入计算即可．【详解】∵，∴，∴=3+5=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了条件型代数式的求值，根据条件，适当变形，整体代入计算是解题的关键．18.甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．甲商场：全场均打八五折；乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折．（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择_____（填“甲”或“乙”）商场更划算；（2）当购物总额是_____元时，甲、乙两商场实付款相同．【答案】①.甲②.【解析】【分析】（1）根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算；（2）设购物总额是x元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解即可【详解】解：（1）甲商场需要：（元）乙商场需要：（元）该顾客选择甲商场更划算；故答案为：甲（2）设购物总额是元时，甲、乙两商场实付款相同，当时，，此方程无解，当时，则，此方程无解当时依题意，解得故答案为：【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键．三、解答题（本大题共54分，第19，20题，每小题8分，第21~25题，每小题5分，第26题7分，第27题6分）19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）-1（2）1【解析】【小问1详解】解：==-1【小问2详解】解：===1【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟记有理数运算法则，按照有理数运算顺序和乘法运算律进行计算．20.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据解一元一次方程的一般步骤求解即可．【小问1详解】移项，得：合并同类项，得：系数化为1，得：【小问2详解】去分母，得：去括号，得：移项，得：合并同类项，得：【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．21.先化简，再求值:，其中.【答案】（1）；.【解析】【分析】先化简，再代入求值即可.【详解】解:（1）原式=当时，原式=.【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，注意求值时底数是负数代入时要加上括号.22.如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，请根据下列语句画出图形：（1）直线BC与射线AD相交于点M；（2）连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；（3）在直线BC上找一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小，作图的依据是：．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形即可；（2）根据线段的延长线的定义以及中点的定义画出图形即可；（3）连接AF交直线BC于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，直线BC，射线AD即为所求作．（2）如图，线段BE即为所求作．（3）如图，点P即为所求作．理由：两点之间线段最短．

故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.定义一种新运算“”，其规则为．例如，．（1）计算值为；（2）已知，求的值；（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．【答案】（1）5（2）（3）不满足，举例见解析【解析】【分析】（1）按照新运算“”规则进行计算即可；（2）按照新运算“”的规则建立方程，解方程即可；（3）按照新运算“”的规则计算，举例说明不满足即可．【小问1详解】解：，故答案为：5．【小问2详解】解：由得，，解得，．【小问3详解】不满足，举例：；．【点睛】本题考查了新定义运算和有理数计算，解题关键是正确理解题意，按照新定义运算法则进行计算．24.如表是某次篮球联赛积分榜的一部分球队比赛场次胜场负场积分前进光明远大钢铁备注：积分=胜场积分+负场积分（1）观察积分榜，胜一场积分，负一场积分；（2）设某队胜场，则胜场总积分为分，负场总积分为分（用含的整式填空）；（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值．【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分（2），（3）3【解析】【分析】（1）设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积分，根据光明队胜9场负5场积23分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设胜了x场，则负了（14-x）场，由胜一场积2分负一场积1分即可得出结论；（3）根据负场总积分是胜场总积分的n倍即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，再根据x、n均为正整数即可得出n的值．【小问1详解】设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积分，∴由光明队可得：解得：∴∴胜一场积2分，负一场积1分【小问2详解】设胜了x场，则负了（14-x）场，∴胜场总积分为分，负场总积分为（）分【小问3详解】∵负场总积分是胜场总积分的倍∴解得：x=∵x和n均为正整数，∴∴解得（舍去），（舍去）、（舍去）、x=1n=132（舍去）故答案为：3【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．25.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，已知．（1）原点在第部分；（2）若，，，求的值；（3）在（2）的条件下，数轴上一点表示的数为，若，直接写出的值．【答案】（1）③（2）-3（3）-5或3【解析】【分析】（1）因为bc＜0，所以b，c异号，所以原点在第③部分；（2）求出AB的值，然后根据点A在点B左边2个单位求出a的值；（3）先求出点C表示的数，然后分2种情况分别计算即可．【小问1详解】解：∵，b<c，∴b<0，c>0，∴原点在第③部分，故答案为：③；【小问2详解】解：∵AC=5，BC=3，∴AB=AC-BC=5-3=2，∵b=-1，∴a=-1-2=-3；【小问3详解】解：∵a=-3，，∴c=-3+5=2，∴OC=2，当点D在点B的左侧时，∵，∴-1-d=2×2，∴d=-5；当点D在点B的右侧时，∵，∴d-(-1)=2×2，∴d=3；∴若，的值是-5或3．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，有理数的乘法法则，以及一元一次方程的应用，体现了分类讨论的数学思想，做到不重不漏是解题的关键．26.已知，，，分别平分，．

（1）如图1，当，重合时，度；（2）若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且．①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案．【答案】（1）（2）①；②时，；时，【解析】【分析】（1）由题意得出，，由角平分线定义得出，，即可得出答案；（2）①由角平分线定义得出，，求出，即可得出答案；②由①得，，当时，求出，，即可得出答案；当时，求出，，即可得出答案．【小问1详解】，重合，，，平分，平分，，，；【小问2详解】①；理由如下：平分，平分，，，，；②由①得：，，当时，如图2所示：

，，，∴当时，如图3所示：，，；∴综上所述，时，；时，【点睛】本题考查了角的计算、角平分线定义等知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．27.给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为（为正整数），如下而这列数，，，，中，，，，，，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面的一列数中，．（1）已知一列数，，，，，，，，，，那么，；（2）已知这列数，，，，，，，，，，…，按照规律可以无限写下去，那么，；（3）在（2）的条件下，若存在正整数使等式成立，直接写出的值．【答案】（1）5，3（2）-2022，-1011（3）4043【解析】【分析】（1）根据题目中给出的材料，求出和前5个数的和即可；（2）按照题目中的规律写出第2020个数，根据规律求出它们的和即可；（3）根据（2）中规律，列出方程求解即可．【小问1详解】解：这列数中第5个数是5，故；，故答案为：5，3．【小问2详解】解：按照规律奇数为正，偶数为负，则，，==-1011，故答案为：-2022，-1011．【小问3详解】解：由可知，是奇数，则，解得，．【点睛】本题考查了新运算和有理数计算，一元一次方程的应用，解题关键是明确题意，按照题目给出的信息进行计算，根据题目中的等式列出方程．四、附加题（本大题共20分，第28-30题每题3分，第31题4分，第32题7分）28.若实数，，满足，则的值等于__________．【答案】4【解析】【分析】先根据非负数的性质得到关于x、y值，然后代值计算即可．【详解】解：∵∣x+2∣+(x+y)2=0

∵|x+2|≥0，(x+y)2≥0∴x+2=0,x+y=0∴x=-2,y=2∴xy=(−2)2=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考考查了绝对值和平方的非负性，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．29.一个