复变函数论-试卷2

复变函数试卷二〔供数学教育专业使用〕一、单项选择题〔每题2分，共24分〕在每题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其前面的代码写在题干后面的括号内．不选、错选或多项选择者，该题无分．1.．〔〕A.B.〔为整数〕C.D.〔为整数〕2.以下方程中，给出的曲线是圆〔是实参数〕．〔〕A.B.C.D.3.以下函数中，在平面上处处解析的函数是〔〕A.B.C.D.4.函数在平面上〔〕A.处处可微，处处解析B.处处不可微，处处不解析C.仅在直线上可微，处处不解析D.仅在处可微，处处不解析5.()A.B.〔为整数〕C.D.〔为整数〕6.假设为单位圆周，那么以下积分中值不为零的是〔〕A.B.C.D.7.幂级数的收敛半径为〔〕A.２B.１C.D.３8.函数在零点的阶数是〔〕A.１B.２C.３D.４9.假设为的孤立奇点，且，那么是的〔〕A.解析点B.极点C.本性奇点D.可去奇点10.假设是函数的二阶极点，那么〔〕A.B.C.D.11.方程在单位圆内根的个数为〔〕A.１B.３C.５D.812.关于单位圆周的对称点是〔〕A.B.C.D.二、填空题〔每题2分，共8分〕13.方程在复数域中共有个根．14.假设在点解析，那么．15.假设在区域内解析，在上连续，那么有．16.是函数的阶零点．三、判断题〔每题2分，共10分〕你认为正确的在题后括号内划“√〞，反之划“×〞17.任何一个半平面都包含．〔〕18.假设在区域内处处可微，那么在内解析．〔〕19.函数是以为周期的周期函数．〔〕20.因为函数在圆域内解析，所以它是该圆域内的整函数．〔〕21.幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一奇点．〔〕四、计算题〔每题7分，共35分〕22.计算积分，积分路径是连接由到的直线段．23.计算积分，．24.将函数按的幂展开，并指明其收敛范围．25.计算积分．26.求将上半平面共形变换成单位圆的线性变换，使合条件，．五、证明题〔其中27题7分，28、29每题8分，共23分〕27.证明复平面上的圆周可以写成其中为实数，，为复数，且28.判断函数在平面上的可微性和解析性．29.证明方程在单位圆内恰有一个根，且为实根．试卷二参考答案一、单项选择题〔每题2分，共24分〕1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.B10.D11.C12.C二、填空题〔每题2分，共8分〕13.314.15.16.３三、判断题〔每题2分，共10分〕17.×18.√19.√20.×21.√四、计算题〔每题7分，共35分〕22.解由于从到的直线段为…………2分于是选为参数，有，得……4分……6分…………7分23.解∵在全平面上解析……2分∴在圆域内解析，在上连续，是内一点，由柯西积分公式…………4分……6分…………………7分24.解…………2分…………4分……6分由知收敛范围为．……7分25.解∵在平面上只有两个一级极点，由定理知………2分……4分由于两个奇点均在圆周的内部，由留数〔残数〕定理得………………6分…7分26.解将上半平面变成单位圆，并将上半平面上一点变为圆心的线性变换为，……2分……4分又由知，即．……6分故所求线性变换为．………………7分五、证明题〔其中27题7分，28、29每题8分，共23分〕27.证明设圆的一般方程为(1)……1分其中，且为常数，当时，即为实圆．因，，代入方程(1)有…3分即，其中为实数，，，且．……5分反之，设有方程〔为实数，，为复数，且〕，将代入即知其代表平面上的一个圆周．………………7分28.证明∵，∴，，……2分，………4分显然在平面上处处连续且满足条件，，故在平面上处处可微，也处处不解析．……8分29.证明令，显然及均