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文档简介
复变函数试卷二〔供数学教育专业使用〕一、单项选择题〔每题2分,共24分〕在每题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其前面的代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多项选择者,该题无分.1..〔〕A.B.〔为整数〕C.D.〔为整数〕2.以下方程中,给出的曲线是圆〔是实参数〕.〔〕A.B.C.D.3.以下函数中,在平面上处处解析的函数是〔〕A.B.C.D.4.函数在平面上〔〕A.处处可微,处处解析B.处处不可微,处处不解析C.仅在直线上可微,处处不解析D.仅在处可微,处处不解析5.()A.B.〔为整数〕C.D.〔为整数〕6.假设为单位圆周,那么以下积分中值不为零的是〔〕A.B.C.D.7.幂级数的收敛半径为〔〕A.2B.1C.D.38.函数在零点的阶数是〔〕A.1B.2C.3D.49.假设为的孤立奇点,且,那么是的〔〕A.解析点B.极点C.本性奇点D.可去奇点10.假设是函数的二阶极点,那么〔〕A.B.C.D.11.方程在单位圆内根的个数为〔〕A.1B.3C.5D.812.关于单位圆周的对称点是〔〕A.B.C.D.二、填空题〔每题2分,共8分〕13.方程在复数域中共有个根.14.假设在点解析,那么.15.假设在区域内解析,在上连续,那么有.16.是函数的阶零点.三、判断题〔每题2分,共10分〕你认为正确的在题后括号内划“√〞,反之划“×〞17.任何一个半平面都包含.〔〕18.假设在区域内处处可微,那么在内解析.〔〕19.函数是以为周期的周期函数.〔〕20.因为函数在圆域内解析,所以它是该圆域内的整函数.〔〕21.幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一奇点.〔〕四、计算题〔每题7分,共35分〕22.计算积分,积分路径是连接由到的直线段.23.计算积分,.24.将函数按的幂展开,并指明其收敛范围.25.计算积分.26.求将上半平面共形变换成单位圆的线性变换,使合条件,.五、证明题〔其中27题7分,28、29每题8分,共23分〕27.证明复平面上的圆周可以写成其中为实数,,为复数,且28.判断函数在平面上的可微性和解析性.29.证明方程在单位圆内恰有一个根,且为实根.试卷二参考答案一、单项选择题〔每题2分,共24分〕1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.B10.D11.C12.C二、填空题〔每题2分,共8分〕13.314.15.16.3三、判断题〔每题2分,共10分〕17.×18.√19.√20.×21.√四、计算题〔每题7分,共35分〕22.解由于从到的直线段为…………2分于是选为参数,有,得……4分……6分…………7分23.解∵在全平面上解析……2分∴在圆域内解析,在上连续,是内一点,由柯西积分公式…………4分……6分…………………7分24.解…………2分…………4分……6分由知收敛范围为.……7分25.解∵在平面上只有两个一级极点,由定理知………2分……4分由于两个奇点均在圆周的内部,由留数〔残数〕定理得………………6分…7分26.解将上半平面变成单位圆,并将上半平面上一点变为圆心的线性变换为,……2分……4分又由知,即.……6分故所求线性变换为.………………7分五、证明题〔其中27题7分,28、29每题8分,共23分〕27.证明设圆的一般方程为(1)……1分其中,且为常数,当时,即为实圆.因,,代入方程(1)有…3分即,其中为实数,,,且.……5分反之,设有方程〔为实数,,为复数,且〕,将代入即知其代表平面上的一个圆周.………………7分28.证明∵,∴,,……2分,………4分显然在平面上处处连续且满足条件,,故在平面上处处可微,也处处不解析.……8分29.证明令,显然及均
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