《折纸做角》教学设计及反思

折纸做角孟州市实验中学郭冬艳一、内容和内容解析1.内容本节课是《义务教育课程标准试验教科书》新人教版八年级下册第十八章《平行四边形》中的一节数学活动课，折纸做角。内容解析本节课是一节关于“折纸”的数学活动课，具有一定的趣味性和知识性。之前，课本上通过多个折纸活动研究过轴对称、全等等常见数学图形的性质。学生们也通过这些活动获得了较为丰富的折纸活动经验，本节课以动手操作，探究并解决问题贯穿始终，学生的自主活动和教师的有效指导相结合，课堂上从正方形的45°到直角三角形的30°，再由60°到等边三角形，目的是让学生在活动过程中丰富自己的空间观念，经过不断的尝试，最终探究出解决问题的方法，进一步提高动手操作能力与推理能力。基于以上分析，本节课的教学重点是：通过探究折60°,30°,15°的角，培养学生的动手能力和推理能力。二、目标和目标解析1.目标（1）通过折叠，加深对轴对称、全等图形性质的认识。（2）探索并能折出60°,30°,15°的角。（3）初步体会研究几何问题的方法.经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动过程，积累数学活动经验。2.目标解析目标（1）的具体要求是：在折叠过程中，熟练使用轴对称、全等等性质。目标（2）的具体要求是：经历折叠60°,30°,15°角的过程,能综合运用所学知识进行验证并解决相关问题。目标（3）的具体要求是：通过折叠，建立空间观念，让学生经历折叠、观察、猜想、推理、交流、反思等合情推理过程，发展学生对几何图形的认知能力、演绎推理能力，进一步提升数学活动经验。让学生积极而主动参与探索，在动手实验的过程中感受数学活动的乐趣。三、学情及教学问题诊断分析八年级学生已经具有一定的折纸经验，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣.在此之前，学生学习过轴对称变换，而且利用轴对称变换进行过折纸活动，还学习过角平分线、平行与垂直、三角形的全等、直角三角形的性质、矩形等知识，学生的抽象思维能力、识图能力等已基本形成.但由于学生空间观念发展不均衡，对所学知识不能灵活运用。所以，本节课设计遵循从易到难，从特殊到一般的认知规律，抓住学生的兴趣点，将重难点在学生的快乐学习中解决突破。基于以上分析，本节课的教学难点是：折出60°,30°,15°角的方法的探究和证明。四、教学策略分析虽然折纸做角难度较大，但它和“尺规作图”的分析方法有相似之处，这对折纸做角的思维活动有启迪作用，加之学生已经学习了“三角形”、“勾股定理”、“轴对称”“四边形”、“尺规作图”、等与活动相关的知识，有一定的推理和运算能力，并且在前面的数学实践活动中，积累了一些活动经验，可为本节数学活动提供认知支持条件；教师在教学活动中采用现代信息技术手段，把折叠问题从“平面与立体”，“静态与动态”进行对比分析，能增强教学的直观性，降低理解难度，提高学习效率。这可以为本节数学活动提供教学手段的媒体支持条件。五、教学过程设计(一)看一看多媒体放映折纸视频创设情境感受数学来源于生活。师：（导语）同学们，你们玩过折纸吗？都会折什么？多媒体出示折纸图片师生活动：学生欣赏折纸，教师引导.折纸是一门艺术形式，在折的过程中要用到很多的数学知识，比如：轴对称、全等、特殊的角度等等，我们童年在折纸中感受到很多快乐，今天我们就一起学习如何通过折纸，折出特殊的角度这节课，来感受数学的魅力。设计意图：通过观察生活中的实例,点出课题，把数学还原于生活，呈现数学与生活的联系，从数学的运用价值上，激发学生学习的兴趣和动力，为教学活动做情感铺垫。折一折教师提出问题，并引发学生思考并动手操作。(1)折45°的角师：在一张矩形纸片上,不用任何工具，怎样折出一个45°的角？大家动手做一做。生：用矩形纸片动手折纸，完成的学生回答操作过程。师：追问，矩形的顶点落在哪?折痕要过哪？师生活动：学生观察所折图形，思考教师提出的问题，口述理论依据。设计意图：从学生最熟悉的正方形为知识生长点，折出本节课第一个特殊角。师：用一张矩形纸片你还能折出那些度数的角？师生活动：通过折叠，师生共同归纳对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n等份，还可以利用角的和差得到相关度数的角。设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生的课堂参与度，经过学生互相补充得出22.5°，67.5°，112.5°等度数的角。由此引导学生发现上面的结论，此过程也让学生感受折纸可以得到角的和差倍份关系。(1)折30°的角师：你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？怎么折？生：学生动手尝试，最终会把矩形纸片的90°角折叠的接近三等分。设计意图：这个问题的提出是为了增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性，是螺旋上升的关系。师追问：你能精确的折出30°的角吗？师生活动：学生动手尝试。设计意图：问题层层深入，学生在折叠过程中出现困难，为以下问题做铺垫。师：我们学过哪些和30°角有关的知识？生：答：直角三角形中30°的直角边是斜边的一半。等边三角形的角平分线得到30°的角。师生活动：教师引导启发学生思考：折一个等边三角形麻烦，如果折一个直角三角形，使斜边是直角边的2倍，问题就可以解决，怎样得到满足条件的三角形呢？为突破重难点，教师做以下铺垫：怎样通过折，先寻找边长的二倍关系，想一想，怎么折？ AABCFDE AB=2BE设计意图：让学生体会轴对称变换的性质，为学生更加容易的去构造存在30°角的直角三角形打基础，分散难点。师：利用得出的二倍边长关系如何折出斜边等于直角边2倍的直角三角形？学生活动：自己思考，探究，小组讨论，动手折纸尝试。师：第一次折，保证什么？能得到什么？第二次折，保证什么？得到什么？引导学生自主探究。师:为突破重难点,动画演示折叠过程，问：你能试试吗？生：学生再次动手操作。折出精确的30°角。师：出示问题。生：思考，回答完成问题。对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：如图1，第一步，______矩形纸片ABCD,使AD与______重合，得到折痕______，再把纸片展平;第二步，再一次折叠纸片，使点A落在______上，并使折痕经过点______，得到折痕_______同时得到线段______。师：观察并猜想∠ABR，∠OBR和∠OBC的大小关系:_____________。生：（预设）准确回答问题。设计意图：问题层层深入，学生在折叠过程中出现困难，以具体问题引领，引导学生带着目的和兴趣来探究，培养学生的自主探究学习的能力。让学生体会轴对称变换的性质，灵活应用垂直平分线的性质，感受数形结合思想方法的运用。（四）证一证师：提出问题,引发思考:猜想出来的结论需要理论证明其正确性。为什么∠ABR=∠OBR=∠OBC=30°?你能证明前面的猜想吗？生：学生在自己的折纸顶点位置标出字母，先独立思考，再进行小组合作学习,最后用数学语言写出证明过程。对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：第一步，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF，再把纸片展平。第二步，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BR,同时得到了线段BO。求证：∠ABR=∠OBR=∠OBC=30°.设计意图：合作学习能培养学生动脑动手动口的能力，提高学习效率，能培养学生良好的合作品质和学习习惯。学生写出严密的推理过程，还能培养其推理证明的逻辑思维能力。师：对学生的表现进行总评，总结解题要点，对本课的知识要点进行总结。师生活动：各组选派代表进行全班交流，其他组的同学也可以发表见解.教师及时完善，做好补救。生：预设（方法1)如图2,连接AO,由折叠可知EF垂直平分线段AB,所以AO=BO.由折叠知AB=BO,所以AB=BO=AO,所以△ABO是等边三角形.所以∠ABO=60°.由折叠知△ABR≌△OBR,所以∠ABR=∠OBR=30°所以∠OBC=90°-∠ABO=90°-60°=30°所以∠OBC=∠ABR=∠OBR=30°(方法2)如图3，因为EF是对折矩形ABCD的折痕，所以AE=BE=1/2AB,由折叠知AB=BO,所以BE=1/2BO,又因为∠BEF=90°所以∠BOE=30°又因为EF//BC,所以∠BOE=∠OBC=30°(方法3)如图4,取BO的中点Q,连接EQ,由折叠知AB=BO,AE=BE=1/2AB，所以BE=1/2BO.在Rt△EBO中，EQ是斜边BO上的中线，所以EQ=1/2BO=BQ所以EQ=BE=BQ所以△EBQ是等边三角形.所以∠ABO=60°所以∠ABR=∠OBR=30°所以∠OBC=90°-∠ABO=90°-60°=30°所以∠ABR=∠RBO=∠OBC=1/3∠ABC=30°(方法4)如图,设RB与EF交于点P因为EF是对折矩形ABCD的折痕，所以点E是AB的中点所以点P是BR的中点又因为∠RAB=∠ROB=90°,所以PO=1/2BR=BP,所以∠POB=∠PBO,因为EF//BC,所以∠POB=∠OBC所以∠PBO=∠OBC由折叠可知,∠ABP=∠OBP所以∠ABP=∠PBO=∠OBC=1/3∠ABC=30°(方法5)延长RO交BC于点M,因为EF是对折矩形ABCD的折痕，所以点E是AB的中点所以点O是RM的中点又因为∠RAB=∠ROB=90°所以∠BOM=90°所以BO是RM的垂直平分线所以△BOM≌△BOR因为折叠，△BOR≌△BAR所以△BOM≌△BOR≌△BAR所以∠ABP=∠PBO=∠OBC=1/3∠ABC=30°设计意图：把课堂真正还给学生.在同学讲解的过程中，发表自己的意见，虚心向他人请教，使合作学习成为一种比较学习，让学生学会正确地评价自己和他人，让班级形成民主和谐的合作氛围，有利于学习的顺利发展.教师要总结解题要点，发展学生的归纳总结能力.通过一题多解培养学生的发散思维。训练学生综合运用知识的能力，达到对知识的融会贯通，体现数学学习的灵活性。师：大家思考，谁还有不同的折法折出30°的角？ABCFDEMABCFDEMNQPABCFDEMNQPOBE=2ME学生回答讲解怎样折出30°的角，动手操作，展示图片。找一找多媒体出示图形。师：在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗?生：学生观察图形，回答教师提出的问题.并用白板自己标出30°的角。教师重点关注学生回答问题是否完整。设计意图：培养学生识图的能力和严密的思维习惯。师：怎样折15°的角呢？你还能得到哪些度数的角？生：学生独立操作。设计意图：巩固折30°角的方法，使学生再次感受折纸可以得到角的倍分关系。（六）测一测诊断目标达成情况，发现问题，及时处理。教师准备好的小测试卷发给学生，学生完成后，用白板讲解。1、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°,求∠AEF的度数？设计意图：培养学生识图的能力和严密的思维习惯。2、将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图①）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点H处，折痕为EG（如图②）；再展平纸片（如图③）。求图③中∠1的大小?EEDCFBA图①EDCABFGADECBFG图②图③H1设计意图：通过观察，培养学生识别图形的能力与探索意识.让学生再次体会折叠中蕴含的数学知识，体会知识间的联系。（七）理一理畅谈感悟，反思成长。（1）通过这一节课的学习，你利用折纸可以折出那些角？（2）在推理论证过程中，我们用到了哪些以前学过的知识？总结：1、折纸问题实质是轴对称变换，折痕是对称轴，对应角、线段相等，对应图形全等。2、解决折纸类问题，可以动手折一折，认真观察分析，用学过的数学知识解决它。

3、数学学习需要动手与思考相结合。师生活动：学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善，教师重点关注不同层次学生对本节知识的理解和掌握程度。设计意图：让学生对折叠的数学本质有一个深刻的认识，重构知识结构，培养学生整理归纳的能力。作业：通过折叠，自己制作一副三角