第4章-弹性波场数值模拟课件

计算地球物理地球物理与信息工程学院物探系周辉2013年第四章弹性波场数值模拟内容提要第一节波动方程的交错网格有限差分模拟

第二节二阶波动方程的有限差分模拟引言

地震数学模型分类：

1)根据地质构造形态、特征的不同假设分：①一维地质模型：地层是水平的，沿横向地层参数是不变的，也即水平层状介质模型。在地面上任何一点得到的地震记录是一样的，是一道地震记录。②二维地质模型：地质体是一个二度体，沿某个方向无限延伸，在垂直于延伸方向得到的地震剖面是一样的。③三维地质模型：真正的地质体一般都是三维的。这时沿地面上不同方向的测线得到的地震响应一般是不同的。引言地震数学模型分类：

2）根据对地层物性参数的不同假设，可以是只考虑各层在速度上的差别，设每层速度是常数或连续变化；考虑各层速度和密度都不一样；给出各层的弹性参数，甚至吸收系数等参数,即构造模型和岩性模型。

3)按照所依据的地震波理论，可以是运用运动学理论（射线理论）计算波的旅行时；考虑波的动力学特点，把界面的反射系数、透射系数、各种多次波、吸收损失、波前扩散等的影响都考虑进去，在计算出的地震响应中反映波的传播时间、振幅、相位和方向性等特点。在实际的计算方法上分别用射线法、绕射叠加（即物理地震学）法和解波动方程法。引言主要优点：改变模型参数很方便，也可以灵活地按具体要求选用不同的理论和公式，特别适用于人机联作解释过程中反复修改模型和计算模型的地震响应。在理论研究中也很有用处。缺点：由于各种地质现象往往是非常复杂的，理论计算难以精确地反映真实情况，不可避免地要忽略了许多因素。特别是要研究各种构造形态复杂的地层圈闭、岩性的变化都有不少困难。在解决这些问题时，地震物理模型技术有其独特的优点，有时是很好的配合和补充。地震数学模型技术的特点三维声波方程vx,

vy,vz为质点的振动速度，P为压力，K为体积模量，ρ为密度，v为地震波速度。第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法各个物理量的空间配置关系——按一定的规律三维情况下，各物理量在节点上和网格边上的配置情况如上右图所示。编号1为压力和体积模量的位置，编号2为密度和x方向速度分量的位置，编号3为密度和y方向速度分量的位置，编号4为密度和z方向速度分量的位置。三维规则网格二维交错网格三维交错网格2411111112223333444第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法交错网格解法的优点：精度高能求解非均匀介质中的波场，而不需要特别处理两种不同介质之间的边界条件(应力、位移连续)第一节波动方程的交错网格有限差分模拟设P(i,j,k,n+1/2)，如何配置其它各变量？1.1二阶精度交错网格法交错网格差分格式：用中心差商近似声波方程中的一阶偏导数第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法将差商代入声波方程第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法整理上述方程得各量的更新式第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法加上源项后第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法或第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法速度模型Distance（km）32546879023Depth(km)1第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法模拟实例模拟实例一个共炮集模拟记录（已消除了直达波）3254687900.20.40.60.81.01.22.41.61.82.0Time(s)Distance(km)第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.1二阶精度交错网格法1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟在节点上，在面的中心点上，在楞上。

1.2弹性波动方程的交错网格有限差分模拟第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法

地震波方程的离散化必将涉及到地震波场的数值逼近问题。地震波场的数值模拟精度一方面依赖于剖分网格的形状和大小，另一方面取决于离散波场的时间微分和空间微分的逼近误差。这里主要讨论规则网格和交错网格上的差分算子的高阶近似，截断误差，差分系数的收敛速度以及与虚谱差分算子精度的对比。第一节波动方程的交错网格有限差分模拟推导函数

一阶导数的6阶精度差分系数。设

有7阶导数，则

在

和

处的7阶泰勒展开式为第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法同理得：第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法由于一阶导数6阶精度中心差分近似式可表示为则有为误差项，其系数为（即不含导数项和Δx）的系数，项的系数。例如该例中的第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法化简可得系数方程求解系数方程得第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法任意2L阶精度中心有限差分系数计算公式推导如下。设有2L+1阶导数，则在处的2L+1阶泰勒又有由于一阶导数2L阶精度中心差分近似式可表示为展开式为第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法将上述L个方程代入、化简，有式中，差分系数由以下方程确定解得第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法中心差分近似的截断误差系数为中心差分近似的极限，即时，有于是有其中，一阶导数的中心差分算子长度为2L。第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶规则网格法推导函数交错网格一阶导数的6阶精度差分系数。一阶导数的6阶精度差分系数计算由离散点确定。交错网格上第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法要确定网格点上的一阶导数，取，于是有在的一阶导数由离散点确定。根据泰勒展开式，有第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法jj+1j+2j-2j-1j+3j-3j-5j-4j+4j+5系数方程求解该线性方程可得于是若算子的对称点为i，则上式可改写为第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法同理，可以推导出交错网格任意2L阶精度有限差分系数计算公式。设有2L+1阶导数，则，在处的2L+1阶泰勒展开式为由于交错网格一阶导数2L阶精度差分近似式可表示为第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法其中，差分系数由以下方程确定将上述L个方程代入、化简，有第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法当截断误差系数为第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法当于是第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法交错网格法规则网格法截断误差系数比较第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法截断误差系数比较第一节波动方程的交错网格有限差分模拟1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法阶数a1a2a3a4截断误差系数25.0000000×10-11.6666667×10-146.6666667×10-1-8.3333333×10-2-3.3333333×10-267.5000000×10-1-1.5000000×10-11.6666667×10-27.1428571×10-388.0000000×10-1-2.0000000×10-13.8095238×10-2-3.5714286×10-3-1.5873015×10-3阶数a1a2a3a4截断误差系数21.00000004.1666667×10-241.1250000-4.1666667×10-2-4.6875000×10-361.1718750-6.5104167×10-24.6875000×10-36.9754464×10-481.1962891-7.9752604×10-29.5703125×10-3-6.9754464×10-4-1.1867947×10-4规则网格一阶导数的偶数阶精度有限差分格式系数表交错网格一阶导数的偶数阶精度有限差分格式系数表第一节波动方程的交错网格有限差分模拟2L=6KA1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法第一节波动方程的交错网格有限差分模拟2L=6KA1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法

（a）频率Nyquist频率（b）频率不同长度的中心差分算子（a）和交错网格差分算子（b）的振幅谱与虚谱差分算子的振幅谱的对比。图中的线条从下到上对应L=1-10。误差比较第一节波动方程的交错网格有限差分模拟##1.3高阶交错网格法——高阶交错网格法2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.1三维声波方程规则网格有限差分模拟2.2三维弹性波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.2三维弹性波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.2三维弹性波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.2三维弹性波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.2三维弹性波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2.2三维弹性波方程规则网格有限差分模拟第二节二阶波动方程的有限差分模拟2