数学分析第5章-多元微分习题课课件

1、多元函数的极限与连续如果一、几个基本概念解（夹逼定理）又解（有界量与无穷小量乘积仍为无穷小量）又解化成极坐标有界量与无穷小量乘积仍为无穷小量练习2、二元函数偏导数及其几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的3、二元函数的微分:定义4、方向导数与梯度定义方向导数与梯度计算前提是函数可微梯度与方向导数的关系二、几个基本概念之间的关系1.二元函数f（x，y）在点（x，y）处两个偏导数存在是f（x，y）在该点连续的（）条件；2.二元函数f（x，y）在点（x，y）处两个偏导数存在是f（x，y）在该点可微的（）条件；3.二元函数f（x，y）在点（x，y）处可微是f（x，y）在该点连续的（）条件；4.二元函数f（x，y）在点（x，y）处两个偏导数连续是f（x，y）在该点可微分的（）条件；

A.充分B.必要C.充要D.非充分，非必要例：研究以下函数的连续性、偏导数、方向导数以及可微性解不存在．故函数在(0,0)处不连续．偏导数存在连续.在(0,0)处函数不连续;偏导数存在；不可微偏导数存在方向导数.在(0,0)处函数不连续;偏导数存在；不可微；方向导数不存在；导函数不连续。注意:(1)分段函数在分界点处，求极限，求偏导数，用定义做！(3)函数不可微时，求方向导数用定义做。(2)偏导函数不连续时，求全微分用定义做！(D)

(C)

三、偏导数、全微分的计算（B）偏导数、全微分的计算-1（显式函数）

a=3.偏导数、全微分的计算-2（隐式函数）

（D）提示:解法1

方程两边对x

求导,得解法2

方程两边求微分,得化简消去即可得解所求点为将代入第一式得，再代入第三式得，偏导数计算练习偏导数计算练习47

四、多元函数的极值多元函数的极值复习内容1.极值的定义2.函数取得极值的必要条件与充分条件3.显函数、隐函数求极值的步骤4.闭区域上的函数求最大值最小值5.条件极值（1）化为无条件极值计算（降元法）（2）拉格朗日乘数法（升元法）多元函数的极值与最值(无条件)极值小小(1)定义(2)驻点定义－－对自变量除限制在定义域内,没有其它限制。(3)判定定理>小求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：

条件极值拉格朗日乘数法：多元函数的极值举例(D)考查极值的必要条件(A)考查极值的必要条件!注意整体与局部的关系或找一个特殊的例子来加以验证!(D)

考查：多元函数的条件极值概念(A)解f(0,0)=0,可见当y=x且充分小时，可见当y=-x且充分小时，故点(0,0)不是f(x,y)的极值点考查：多元函数的极限、连续和多元函数的极值定义将其代入（1）得驻点：1.解求二元隐函数的极值问题，

，，

，

极小值极大值多元函数极值练习拉格朗日乘数法练习切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面五、微分法的几何应用微分法在几何上的应用(关键:抓住切向量)(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为(关键:抓住法向量)微分法的几何应用举例(C)

(B)

注意两平面平行垂直的条件注意直线与平面平行的条件(C)

抓住全微分概念,曲面的法向量,曲线的切向量求法解法1过已知直线l的平面束方程为

解法2：

过点处法向量

过点处切平面方程为：即由