平面问题有限元法课件

第5章平面问题有限元法

第一节弹性力学有关知识

第二节平面问题有限元法

第一节弹性力学有关知识载荷(load)应力(Stress)应变(Strain)位移(Displacement)一、弹性力学中的物理量loadConcentratedforceSurfaceforceVolumeforce{Pv}={pvxpvy

pvz}T

{Pc}={pcxpcy

pcz}T

{Ps}={psxpsy

psz}T

外界作用在弹性体上的力，又称为外力

载荷StressNormalStress:σx、σy、σz

ShearStress:τxy、τyz、τzx

应力{σ}={σx

σyσzτxyτyzτzx}T

6个应力分量StrainNormalStrain:εx、εy、εzShearStrain:νxy、νyz、νzx

应变d

z

ydydz

yzOd

xd

xd

yd

yOyyzzxx{ε}={εxεyεzνxyνyzνzx}T

6个应变分量Displacementxaxis:uyaxis:vzaxis:w{d}={u

v

w}T

位移变形(deform,deformation){Pv}={pvxpvy

pvz}T

{Pc}={pcxpcy

pcz}T

{Ps}={psxpsy

psz}T

{σ}={σx

σyσzτxyτyzτzx}T

{ε}={εxεyεzνxyνyzνzx}T

{d}={u

v

w}T

平衡方程

几何方程

物理方程二、弹性力学的基本方程Relationshipamongload,stress,strainanddisplacement1、平衡方程应力~载荷2、几何方程应变~位移3、物理方程应变~应力平衡方程：3几何方程：6物理方程：61515=Stress：6Strain：6Disp.：3基本未知量stresses

力法Displacements

位移法stress,displacements

混合法definitionofplaneproblem3DPlaneproblemsimplifiedPlanestressPlanestrain四、平面问题定义

平面应力问题一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布3DmodelplanemeshingMucheasier位移载荷平衡方程应变应力几何方程物理方程基本未知量解题思路ProcedureofStaticAnalysisofPlaneStressProblem第二节平面问题有限元法平面应力问题的线性静力分析LinearStaticAnalysisstaticloadlinearstress,deformation一、结构离散ProcedureofStaticAnalysismeshingElement(mesh)node单元编号（elementlabel）节点编号（nodelabel）(ui,vi)(uj,vj)(um,vm)ElementlabelNodelabelNodelocationDisp.Components:已知未知(ui,vi)、(uj,vj)、(um,vm)二、单元分析(ElementAnalysis)目的：形成单元位移、应变、应力表达式形成每个单元的刚度矩阵1、位移函数(displacementfunction)位移插值函数真实位移分布近似位移分布

单元内的位移插值表达式分片插值节点位移，单元内任一点的位移Ni、Nj、Nm形函数矩阵节点位移列阵形函数形函数物理意义ijm1NiRequirementsfordisplacementfunction(1)常数项(2)线性项(3)位移连续性

(4)几何各向同性

1

xyx2

xyy2

x3

x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4x5x4yx3y2x2y3xy4y5收敛(convergence)位移函数应满足的条件必要条件充分条件位移载荷平衡方程应变应力几何方程物理方程基本未知量解题思路2、单元应变和应力(elementstrainandstress)(l=i，j，m)

应变矩阵bi、bj、bmci、cj、cm常数矩阵与单元形状有关应力矩阵基本未知量数量有限！质点位移d(x,y)数量无穷多数量有限微分方程代数方程节点位移3、单元刚度矩阵(elementstiffnessmatrix)单元刚阵单元材料板的厚度单元面积单元形状常数矩阵单元平衡方程单元刚阵的性质(2)奇异性(singularity)(1)对称性(symmetry)二、单元分析(ElementAnalysis)目的：形成单元位移、应变、应力表达式,形成每个单元的刚度矩阵Question?Canyouobtain{q}e

bysolvingtheequationabove?Why?线性方程组Purpose:

单元

整体assemble三、总刚集成globalstiffnessmatrixofthestructure内力抵消known总刚矩阵(s=i，j，m)

1、总刚集成原理i[K]结构平衡方程单元平衡方程[k]e{q}e={F}e总刚矩阵(GlobalStiffnessMatrix)2、总刚集成过程（1）扩阶过程（2）叠加过程3、总刚矩阵的特点

对称性（Symmetry）

[K]T=[K]

稀疏性（Sparse）

带状性（Band）

奇异性（singularity）

|K|=0

四、载荷移置[K]{q}={R}

Nodalforce:Concentratedforce

atnodesConcentratedforceSurfaceforceVolumeforce1、集中力的移置=2、面力的移置3、体力的移置Question?Canyouobtain{q}

bysolvingtheequationabove?Why?[K]{q}={R}

线性方程组[K]{q}={R}

F五、约束处理消除结构的刚体运动，从而消除[K]的奇异性Timeconsuming!

六、求解线性方程组七、计算其它物理量

位移法

节点位移

无穷数量的质点位移有限数量的节点位移八、计算结果处理

1=(

+

)/2

2=(

+

+

+

+

+

)/6

1=(

+

)/2

2=(

+

)/2九、结果显示、打印、分析procedureofstaticanalysisDiscretionGlobalstiffnessmatrixLoadTranslationResultsProcess&DisplayCalculateOtherQuantitiesRestrainProcessSolveEquationsElementanalysisDiscretionPatchinterpolationDisplacementfunction

——de