概率论与数理统计课件第3章

二维随机变量及其分布第三章

二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布例如

E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。

不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数性质(3)(x,y)x1x2y1y2P（x1

X

x2，y1

Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二维离散型随机变量

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质

一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求的联合分布列.

的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解

见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）（X，Y）的联合分布律为yX011/301/600-101/31/1225/1200

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶柱体的体积设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；

(2)求的分布函数；；

.

(4)求例(1)所以解

(2)当时，当时，所以，(3)41或解(4)224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率解

1续解……….x+y=3思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率2241解答

二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为

上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）解（X,Y）的密度函数为y=2x+1-1/2（1）当时，分布函数为y=2x+1-1/2（2）当时，y=2x+1-1/2（3）当时，所以，所求的分布函数为0.5y=2x+1-1/2二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称服从参数为的二维正态分布

边缘分布随机变量的相互独立性边缘分布marginaldistribution二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。

问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题边缘分布marginaldistribution设二维随机变量的分布函数为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列二维连续型随机变量的边缘分布

关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为的边缘分布函数为关于的边缘分布函数为关于例2

设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由得当时关于X的边缘分布密度为113113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关于Y的边缘分布密度为当时当时当时关于Y的边缘分布密度为边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为（1）求k值(2)求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)(2)均匀分布解(1)由得当时-11当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..

-11解当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为解（3）

见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布例4设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为所以，同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于★★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意i,j对任意x,y

在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.

在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐个验证等式证

∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。解①设A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11②边缘密度函数分别为当时当时所以，同理可得③所以X与Y相互独立。例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解（X,Y）的密度函数为当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于Y的边缘分布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时所以所以，X与Y不独立。设（X,Y)服从矩形域上的均匀分布，求证X与Y独立。例4时解于是同理所以即X与Y独立。时二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布设

是二维随机变量,

其联合分布函数为

是随机变量

的二元函数

的分布函数问题：如何确定随机变量Z的分布呢？二维离散型随机变量的函数的分布设

是二维离散型随机变量,其联合分布列为

则是一维的离散型随机变量其分布列为例设的联合分布列为

YX-2-10-11/121/123/12½2/121/12032/1202/12分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解得所求的各分布列为X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122