母体平均数在小样本下的假设检定课件

假設檢定第10章第一節假設檢定原理假設的種類——一般假設對於一群體的未知特性，給予猜測性的描述，即為一般假設(generalhypothesis)。譬如：(1)新開發的燈泡可能品質優良。(2)新式教學法可能有助於學習。(3)新品種蘋果可能好吃。這些例子是我們常見的假設性描述，但其內容中有些語詞不夠嚴謹，含意模糊且籠統，譬如燈泡的「品質」是否指外型美觀、壽命長，或光線柔和等；蘋果「好吃」是否指果肉脆或軟、果汁甜或香等，顯然語意交代不清。故，將一般假設敘述給予明確敘述的假設，稱之為研究假設(researchhypothesis)。第一節假設檢定原理假設的種類——研究假設(1)新開發的燈泡使用壽命比一般燈泡為長。(2)新式教學法能提高全班學生的數學平均成績。(3)新品種蘋果的甜度低於一般蘋果。對照上一單元的一般假設，研究假設的用語不但明確，而且內容具有可操作性。因此依此種假設，所發展出來的後續研究內容和方向，必然是一致的，不會再因人而異了。第一節假設檢定原理設立假設的原則1.對立假設是由研究假設直接發展而來，而且不含等號在內的假設。對立假設是研究者想要支持的假設，以H1表示。譬如研究者想探討「新式燈泡平均使用壽命為，可以超過一般燈泡的使用壽命1,000小時」，其對立假設可寫成：

（不含等號）2.虛無假設是對立假設相反的假設，亦是研究者想要否定的假設，它含有等號在內，以H0表示。譬如上述新式燈泡問題的虛無假設寫成：（含有等號）第一節假設檢定原理建立統計假設的參考原則通常研究者會依照問題的內容提出兩個互斥的假設敘述，然後分派它們為虛無假設和對立假設。建立假設的步驟STEP1：依題意提出兩互斥假設敘述STEP2：分派兩互斥假設為H1和H0的原則第一節假設檢定原理

第一節假設檢定原理檢定的決策法則和錯誤率假設檢定的最終目的，是要推斷出統計假設（虛無假設和對立假設）的真偽。在進行檢定工作時，研究者在心中先選定一個基準值（又稱臨界值），並藉之推導出判斷假設真偽的規則，我們稱之為「決策法則」。假設檢定乃根據樣本資料的訊息來作判斷，樣本資料是從母體隨機抽取，具有不確定性（因每一組樣本資料的個體不相同），抽樣誤差無法避免，此誤差我們稱之為「錯誤率」。第一節假設檢定原理例2一盒中有A、B兩種外形且重量相同的硬幣各一枚，已知A為公正硬幣，其出現正面的機率為=0.5，B為不公正硬幣，其出現正面的機率為=0.7。今甲生從盒中隨意抽一枚硬幣（不知是A或B），連投20次，得到正面次數=18次。甲生將硬幣放回後，乙生也從盒中隨機抽取一枚硬幣，連投20次，得到正面次數=12次。請王老師作以下判斷：檢定甲生所投的硬幣是否公正（即p=0.5）？其錯誤率為多少？檢定乙生所投的硬幣是否公正（即p=0.5）？其錯誤率為多少？第一節假設檢定原理1.投公正硬幣之機率分配(1)若硬幣為公正，其出現正面的機率為=0.5，連投20次，令出現正面次數為X，則X的期望值為：

（次）X的可能值為0,1,2,…,20，其機率分配如表10-1所示：表10-1

p=0.5,n=20下之機率分配（查附表一）第一節假設檢定原理(2)表10-1和圖10-1是基於一枚公正硬幣(p=0.5)，連投20次的機率分配之結果。令P是投出正面次數17次或以上（即X≥17）的累積機率為：

P(X≥17｜p=0.5)=0.001反之，投出正面次數在17次以下（不含17，即X<17）的累積機率為：

P(X<17｜p=0.5)=1-P(X≥17)

=1-0.001

=0.999圖10-1在p=0.5時,p(X<17)和p(X≥17)的機率第一節假設檢定原理(3)連投公正硬幣20次，出現正面17次或以上的累積機率P(X≥17)=0.001，僅千分之一而已，機率值非常低，不過，如果我們因其機率低，就因而推斷此硬幣不是公正的（即p≠0.5），顯然這樣的推論是錯誤的，其錯誤率為0.001，請讀者注意之。2.投不公正硬幣之機率分配(1)若硬幣為不公正，其出現正面的機率為pB=0.7，連投20次。令出現正面次數為X，則X的機率分配如表10-2，其期望值為：

E(X)=μ=n×pB=20×0.7=14第一節假設檢定原理(2)表10-2和圖10-2是基於一枚不公正硬幣(p=0.7)，連投20次的機率分配表，令投出正面次數在17次以下（不含17，即X<17）的累積機率為：

P(X<17｜p=0.7)=P(X≤16｜p=0.7)=0.893連投20次得到正面次數在17次或以上(X≥17)的累積機率為：

P(X≥17｜p=0.7)=1-P(X<17)=1-0.893=0.107表10-2

p=0.7,n=20下之機率分配第一節假設檢定原理3.決策的臨界點和規則圖10-2在p=0.7時,p(X<17)和p(X≥17)的機率第一節假設檢定原理4.決策錯誤的機率計算(1)王老師基於硬幣公正的角度，看到甲生投出正面18次，因大於臨界值C（17次正面），故王老師依他預定的決策法則，拒絕H0成立，所以他判斷硬幣不公正，換句話說，拒絕硬幣的參數（機率p）等於0.5。而此判斷的錯誤率為：

P(X≥17｜p=0.5)=0.001(2)當王老師基於硬幣公正的角度看到乙生投出12次正面，因小於臨界值C，因此推論乙生所投的硬幣是公正的，接受虛無假設p=0.5成立。反之，若乙生所持硬幣是不公正的，即pB=0.7，那麼王老師所作的判斷就錯誤了，此時的錯誤率為：

P(X≤16｜p=0.7)=0.893第一節假設檢定原理(3)由此可知，當投出硬幣的X值大於或等於臨界值C，則拒絕虛無假設，可能錯誤率為0.001，我們稱之為型Ⅰ錯誤(typeⅠerror)；當X值小於臨界值C，則接受虛無假設，可能錯誤率為0.893，我們稱之為型Ⅱ錯誤(typeⅡerror)。第一節假設檢定原理5.歸納和結論(1)假設檢定是在虛無假設為真的前提下，發展出機率分配。(2)決策法則：假設檢定是以臨界值C作為判斷的基點。當X大於或等於臨界值C的區域，即X落入拒絕域(rejectionregion)內，則拒絕H0為真，此時的可能犯錯稱為型Ⅰ錯誤；當X小於臨界值C，即X落入接受域(acceptanceregion)內，則接受H0為真，此時的可能犯錯稱為型Ⅱ錯誤。

(3)在統計學上，把型Ⅰ錯誤的錯誤率，稱為顯著水準(significantlevel)，又稱作α；而把型Ⅱ錯誤的錯誤率，稱作β。第一節假設檢定原理型Ⅰ錯誤率α和型Ⅱ錯誤率β的關係表10-3第一節假設檢定原理α值和β值之決定決定α值、β值的原則是：先選定型Ⅰ錯誤率α值在可容忍的水準內，然後再選型Ⅱ錯誤率β值，並讓β值愈小愈好。應用在統計學上，α值通常分為三級：(1)α=0.01，稱極顯著。(2)α=0.05，稱很顯著。(3)α=0.10，稱顯著。第一節假設檢定原理假設檢定的三種形式1.右尾檢定(right-tailedtest)譬如某校宣稱新的英文訓練課程使學生平均成績μ高於一般學生平均（300分），則對立假設為：圖10-4右尾檢定第一節假設檢定原理2.左尾檢定(left-tailedtest)譬如新降血壓藥有效，即能使病人血壓降低。假設未服藥病人之血壓μ0=120，服藥後之血壓為μ，則對立假設為：圖10-4左尾檢定第一節假設檢定原理3.雙尾檢定(two-tailedtest)譬如工廠新機器製造的工件長度等於0.001m，則對立假設:H1：μ≠0.001是屬於雙尾檢定，如圖10-6所示：圖10-5雙尾檢定第一節假設檢定原理假設檢定的過程一般而言，我們可以應用下列五步驟來進行假設檢定的工作：(1)擬定虛無假設和對立假設。(2)選擇合適的檢定統計量（式）。(3)選定顯著水準和臨界值，並擬定決策法則。(4)依據樣本資料，計算檢定統計量值。(5)比較與結論：比較檢定統計量值和決策法則，判斷拒絕或接受虛無假設。第一節假設檢定原理母體平均數μ假設檢定的原理和決策法則Z值檢定(Z-test)的原理是：第一節假設檢定原理Z值檢定的臨界值和決策法則1.左尾檢定圖10-7左尾檢定的左邊為拒絕域第一節假設檢定原理2.右尾檢定圖10-8右尾檢定的右邊為拒絕域第一節假設檢定原理3.雙尾檢定圖10-9雙尾檢定的兩邊為拒絕域第二節母體平均數在大樣本下的假設檢定

依樣本平均數的抽樣分配為：第二節母體平均數在大樣本下的假設檢定(1)路徑①：母體分配型態不拘，在大樣本(n≥30)下，當已知，則樣本平均數可標準化成標準常態分配。因此μ的

假設檢定是，以作為檢定統計量，稱之為「

Z檢定」。

(2)路徑②：母體分配型態不拘，在大樣本(n≥30)下，當未知，則以樣本標準差代替，此時照樣可標準化成Z，因此μ的假設檢定是以作為檢定統計量，此時也稱為「Z檢定」。第三節P值檢定P值檢定的概念樣本平均數值、標準值Z值和顯著水準α值，三者的尺度單位不同，所以我們是無法比較、Z和α三者的大小關係。不過，如果能把它們轉化成同一單位，就可以比較其大小了。

(1)把轉化成標準值Z。

(2)已知顯著水準α，再透過查表獲得臨界值。

(3)因為計算的Z值和查表的臨界值，兩者是同樣的尺度單位，故可比較它們的大小。

(4)最後藉由比較Z和之差距，然後作決策。第三節P值檢定另一種檢驗法「P值檢定」，也是應用上述「相同單位才能比較的原理」，來比較和α的大小關係，其作法是：圖10-12將轉化成Z值、α值查表得Zα值，再比較大小第三節P值檢定

(1)把樣本平均數，轉化成Z值，再把Z值透過查表轉化成機率P值。

(2)原訂的顯著水準值α，因屬機率值，維持不變。(3)因為轉化的P值和α值是一樣的單位尺度，故可以比較兩者的大小關係。圖10-13把轉化成p值，再與α值比較第三節P值檢定P值檢定的原理1.左尾檢定在H1:μ<μ0下，把轉化成P值：

P值=P()（為樣本平均值）圖10-14把轉化成p值第三節P值檢定2.右尾檢定在H1:μ>μ0下，把轉化成P值：P值=P()（為樣本平均值）圖10-15把轉化成p值第三節P值檢定3.雙尾檢定在H1:μ≠μ0下，把轉化成P值：(1)當時，在右尾，P()=，則：P值=2×P()(2)當時，在左尾，P()=，則：

P值=2×P()圖10-16把轉化成p值第四節母體平均數在小樣本下的假設檢定母體常態且小樣本第四節母體平均數在小樣本下的假設檢定(1)路徑①：在常態母體、小樣本、已知等三必要條件下，轉換成Z值：所以μ的假設檢定，將以作為檢定統計量，稱之為Z值檢定。第四節母體平均數在小樣本下的假設檢定(2)路徑②：在常態母體、小樣本、未知等三必要條件下，轉換成t值：所以μ的假設檢定，將以作為檢定統計量，稱之為Z值檢定。第四節母體平均數在小樣本下的假設檢定綜合結論母數μ之樣本檢定統計量的抽樣分配：第四節母體平均數在小樣本下的假設檢定

第四節母體平均數在小樣本下的假設檢定路徑②：t分配的必要條件是：(1)母體為常態分配或母體為非常態分配在大樣本下，樣本為常態分配。(2)未知。(3)大樣本時，因為，以取代，因此標準化成Z，趨近於標準常態分配，故t分配和Z分配相接近。路徑④：當小樣本時，和相差大，所以必須採用t分配。第五節母體比率的假設檢定母體比率p的假設檢定大樣本從一母體中抽取含樣本數n的一組樣本，令其含有某一特質的個數為X，則形成樣本比率為：當樣本數夠大，即np>5且n(1-p)>5時，的抽樣分配為常態分配，即：其中。第五節母體比率的假設檢定標準化之後，就成為Z值，是標準常態分配：由以上可得，當檢定母體p時，可採用Z值檢定，而其檢定統計量為：第六節母體變異數的假設檢定樣本變異數的抽樣分配為何呢？依單元8-78所述，若母體是常態分配時，即：從中隨機抽取n個樣本數的一組樣本，求得樣本標準差，經轉化成統計量，則成為卡方分配，如下：以此統計量作為檢定統計量，就可以進行母體變異數的假設檢定。茲以下一單元的例子來說明的假設檢定過程。第七節應用SPSS求單一樣本

平均數的假設檢定

例12由某校隨機抽取10名學生，測其身高與體重，得資料如表10-4。試檢定全校學生體重在α=0.1之下，是否不同於一般學生體重46公斤。解1.擬定統計假設表10-4

第七節應用SPSS求單一樣本

平均數的假設檢定2.SPSS操作步驟(1)開啟SPSS，進入「變數檢視」工作表（圖10-24）。然後定義各「變數」的所有屬性。(2)性別變數：在「名稱」格輸入「sex」；在「類型」格選擇「字串」；在「標記」格輸入「性別」；在「數值」格輸入「1」為「男生」，「2」為「女生」。身高變數：在「名稱」格輸入「height」；在「標記」格輸入「身高」。體重變數：在「名稱」格輸入「weight」；在「標記」格輸入「體重」。

未經設定的屬性，則採用系統「內定值」。(3)按左下角切換標籤（圖10-24

），轉換叫出「資料檢視」工作表（圖10-25）。第七節應用SPSS求單一樣本

平均數的假設檢定

圖10-24界定各變數的屬性

第七節應用SPSS求單一樣本

平均數的假設檢定STEP2：輸入資料把例11中表10-4的數值資料，輸入「資料檢視」表內的儲存格（圖10-25）。圖10-25輸入數值資料

第七節應用SPSS求單一樣本

平均數的假設檢定STEP3：點選分析法：單一樣本T檢定(1)在功能表列，依圖10-26所示，點選「分析」→「比較平均數法」→「單一樣本T檢定」。(2)開