4.3.1等比数列的概念（第2课时）（教学设计）（人教A版2019选择性必修第二册）

.3.1等比数列的概念第2课时教学设计课时教学内容等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比中项，等比数列与函数的关系，学习等比数列的必要性课时教学目标理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.理解等比数列的常用性质.掌握等比数列的判断及证明方法．教学重点、难点1、教学重点运用等比数列的知识解决简单的实际问题.2、教学难点根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质，教学过程设计环节一创设情境，引入课题例4用10000元购买某个理财产品一年．（1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）?（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)?分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，，…构成等比数列．解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以所以，12个月后的利息为(元)．（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是．因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元．解不等式，得所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．环节二观察分析，感知概念例5 已知数列的首项．（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；（2）若为等差数列，公比，证明数列为等差数列．分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．证明：（1）由，，得的通项公式为设，则．又，所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．（2）由，，得两边取以3为底的对数，得所以又所以，是首项为1，公差为的等差数列．环节三抽象概括，形成概念思考：已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列?环节四辨析理解深化概念例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内?分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法．解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．由题意，知，，其中，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是．由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)．表4.3-1n1234567anbn105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314anbn106.4105.5104.2102.6100.698.195.0环节五概念应用，巩固内化观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可．由，得．所以，当时，递减．又，所以，当时，．所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．为什么？环节六归纳总结,反思提升问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？1．知识清单：(1)等比数列的实际应用．(2)等比数列的常用性质．(3)等比数列的判定和证明．2．方法归纳：方程和函数思想．3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一.(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值．相同点(1)都强调每一项与前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1、d或a1、q确定．联系(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列；(2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.环节七 目标检测，作业布置完成教材：第34页练习第1，2，3,4题练习（第34页）1．求满足下列条件的数：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列．1．解析：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，设等比数列的公比为，则，解得，所以在9与243中间插入2个数为27、81．（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，设等比数列的公比为，则，解得．所以在160与中间插入4个数为、、、．2．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由．（1）数列，其中； (2)数列，其中．2．解析：（1）由，则，所以数列为等比数列．（2）由，则．所以数列为等比数列．3．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆．如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）?3．解析：根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为，则，公比，所以，则2025年全年约生产新能源汽车为（辆），故2025年全年约生产新能源汽车128145辆．4．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达