2022版河南数学中考练习第五章圆

2022版河南数学中考专题练习

第五章因

§5.1圆的性质及与圆有关的位置关系

五年中考

考点1圆的有关概念与性质

1.（2020海南,10,3分）如图，已知28是。。的直径。是弦若N80=36测〃8。等于（）

A.54°B.56°C.64°D.66°

答案A根据圆周角定理的推论得N80=n4n8636:2/1=36;根据直径所对的圆周角是直角可

彳导N/Z?8=90:,.N力孙90236°=54结嬷A.

2.（2019吉林,5,2分）如图，在O。中，⑪所对的圆周角50。若。为部上一点"。=55测”08的度

数为（）

A.30°B.45°C.55°

答案B由题意可得N/08=2N/C6=100：

.."08=100°-55°=45。.故选B.

3.（2021吉林,5,2分）如图,四边形Z8C。内接于OQ点户为边力。上任意一点（点P不与点4。重合），连接

C睹上120:则N/IPC的度数可能为)

A.30°B.450C.50°D.65°

答案D..•国内接四边形对角互补"•.N/6CN/IOU=180：又•.•N/8C=120：，N/OU=180JN

ABC=180°-120°=60°：：^APC=^ADC+^DCP,：.^APC>^ADC,^APC>eQ。.故选D.

4.（2019山东潍坊,11,3分）如图,四边形力8。内接于为直径//?=C，过点。作于点£连

接力。交小于点喏sinNC48=|,OF=5,则比■的长为（）

A.8B.10C.12D.16

答案C连接8。如图,

.为直径,，NZO8=N/6=90°,

：AD=CD,：./.DAC-/.DCA,

又乙DCA=^ABD〃..4DAC=LABD.

,:DELAB,

:/ABD+4BDE=90°,

又4ADE+4DE=90°,

：.Z.ABD=Z.ADE,

：.z.ADE-z.DAC,

:.FD=EA=5.

在Rt"E尸中,.sinN91f="三

AF5

:.EF=3,

：.AE=y/AF2-EF2=V5^=4,DE=DF+EF=5+3=&

:^ADE=zDBE‘乙AED=LBED,

.“ADES^DBE.

:.DE:BE=AE-。£即8:BE=4:8,

:.BE=16,

:.AB=AE+BE=4+16=20,

在RtA/8C中,•.・sinNC48=啜出，

AD5

.♦.8C=20x|=12.故选C.

5.（2019安徽,13,5分）如图,内接于。CUC48=30Z曲=45于点。若O。的半径为2,则

。的长为.

答案V2

解析如图，连接OC、。氏则/。8=2/06=60：。0=。5"。6为等边三角形,..60=2..2曲=45：。

±AB,.'.CB=y/2CDr'.CD=V2.

c

解题关屣连接。U06得到△是等边三角形是解答本题的关键.

6.（2018湖北黄冈,11,3分）如图,△/比•内接于0。力6为。。的直径/。8=60滋/。平分若AD=6,

则AC=.

答案2V3

解析连接8。因为AB为。。的直径，所以:因为NC48=60滋AD平分zd氏所以N

加630:因为空=cos30:所以/8=-3=盘=4b.在RtA/8C中,ZC=/8cos60^4V3xl=2V3.

ABcos30v32

T

7.（2021北京,24,6分）如图,。。是⑼比•的外接圆,2。是。。的直径,221比•于点£

⑴求证：N826Nd。

（2）连接6。并延长，交力。于点£交0。于点G连接GC若。。的半径为5,。£=3,求GC和。尸的长.

解析（1）证明:是。。的直径/。JL8c于点E.

:.BD=cb,:./.BAD=^.CAD.

（2）如图,

B

是。。的直径,/O_L8c于点E,：.BE=CE.

•.在ABGC中，点。、点£是分别是边8G8c的中点

OF是△6GC的中位线,O£=gGC，GU=2。£=6.

在叱8。£中,。8=5,。£=3,

由勾股定理可得BE=>JOB2-OE2=4.

：^BEA=^BCG=2Q°,

：.AE\\CG,：.乙FOA=LFGC,乙OAF=4GCF,

—A/嗡嘿磊

又：OF+FG=5/.OF噂

思路分析Q)由"垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧"和"同弧或等弧所对的圆周角相等"

可证.

⑵易证W是A8GC的中位线，可得30=2。£=6;易证^。3跖£得第嘿,结合OF+FG=5可得OF=^.

解后反思如果不使用中位线定理，还可以利用垂径定理求出8c=28£=8.在Rb&7G中，由勾股定理可得

GC=>/GB2-BC2=6.

8.(2019河南,17,9分)如图，在"8c中,BA=BC/ABC3。.以力8为直径的半圆。交/C于点。点£是同上

不与点民。重合的任意一点，连接力£交6。于点£连接8f并延长交ZC于点G

(1)求证:围A8OG

(2)填空：

①若46=4,且点£是的的中点则。尸的长为_______；

②取靠的中点〃当的度数为时,四边形OBEH为菱形.

解析（1）证明:.必=8CN/8U=90：

.-.zC45=zC=45°

•.48为半圆。的直径,

:.上ADF=4BDG=9B°.

:.z.DBA=^DAB=AS0,

:.AD=BD.（3分）

•204尸和NZ?8£都是应所对的圆周角,

:.z.DAF=Z.DBG.

,-AAD^BDG.（5分）

（2）①4-2V1（7分）

②301注:若填为30,不扣分）.（9分）

详解:①如图过尸作FMLAB于M,

•.・点£是命的中点，

:.乙BAE=LDAE,

:FDlAD,FMlAB,

:.FM=FD,

・*sir)N/™=sin45。=名

BF2'

.•第=号即BF=<2FD.

■：AB=A,

.•.孙4cos45。=2或，

:.BF+FD=2近脚电0FD=2也

皿黑=4-2班.

②连接OH,EH,

••四边形。8£”为菱形，

：.BE=OH=OB=\AB,

.•.sinz£45=g=l

:.AEAB=3Q°.

考点2与圆有关的位置关系

1.（2020重庆A卷,5,4分）如图,28是。。的切线/为切点，连接O4Q8若28=20；贝吐ZO8的度数为

()

A.4O0B.5O0C.6O0

答案D•.28是。。的切线"。46=90：

又.28=20；

.•.〃。8=90。-20。=70：

故选D.

2.（2019福建,9,4分）如图,阴%是O。的两条切线48为切点点C在O。上，且"8=55测N/%等于

()

A.550B.70°C.110°

答案B连接。406.

•.必1/6是。。的两条切线

:.OA±AP,OB±PB.

：.AOAP=^OBP=90°.

06=2NZCB=2x55°=1101

：.AAPB=36Q°-^OAP-AOBP-^AOB

=360、90?90^110°=70。.故选B.

方法总结在应用切线性质时，一定要抓住"垂直"这一4e征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆中通

过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.

3.（2021福建,9,4分）如图，48为。。的直径，点。在48的延长线上，叱也与。。相切，切点分别为C,D若

/8=6,PC=4,则sinzd。等于（

答案D连接OCOA

・•・PC也与。。相切，

:QC'PCQDLPD.

■：OP=OP,OC=OD,

.•.RtAP3Rt"0aHL）,

:.乙POC;乙POD.

:乙PAC之POCzPAD=^POD,

：.z.PAC-z.PAD,

:.乙CAD=2ZPAC=4POC.

：AB^,:.OC^AB=^=3.

在RtAQOC中,由勾股定理得OP=^OC2+PC2=y/32+42=5,

.•.sinNOlAsinNP。瑞='故选D.

方法总结在应用切线的性质时，一定要抓住"垂直”这一特征，故连接圆心与切点是常作的辅助线.

4.（2019内蒙古包头,18,3分）如图,8。是。。的直径，力是。。外一点，点C在O。上与O。相切于点J

08=90:若80=6/8=4,陷NCB。则弦8c的长为

答案2V6

解析连接.8。是直径，

"DCB=90：

又NC48=90。，4ABC=4CBD,

△CAB-△DCB,

'''BC~AB'

睚当，

BC-V4x6=2V6.

5.（2020河南,20,9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而"利用尺规作图三等分一个任意角"曾是

数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三

分角器.图1是它的示意图，其中48与半圆。的直径8c在同一直线上，且48的长度与半圆的半径相等;。8

与/C垂直于点氏。6足够长.

图1

D

ROC

使用方法如图2所示,若要把N/V/£7V三等分，只需适当放置三分角器，使经过N/V/£7V的顶点£点/落在边

加上，半圆。与另一边£7V恰好相切,切点为£则心任。就把/用”三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，并写

出"证明"过程.

已知如图2,点48。。在同一直线上,用，2C垂足为点B,.

求证:________.

解析已知:如图，点48。）在同一直线上，砥_L/C垂足为点切半圆。于点F.（2分）

求证N1=N2=N3.（3分）

证明:连接。耳4分）

:EB工AC,：zABE=aOBE=9G°,

文：AB=OB,EB=EB,

:aAB住足OBE.

.-.zl=z2.（6分）

•・•£7V切半圆。于点F,

:.OFA.EF,

又.且OF=OB,

:.EO平分/BEF,

.,.z3=z2,

.".zl=z2=z3.（9分）

[说阻若"已知”未补充完整，而"证明”过程正确，仅在"已知处扣分"]

6.（2021河南,20,9分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用"石磨"，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长

度的"连杆"推动"连杆"带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为"曲柄连杆机构".

小明受此启发设计了一个"双连杆机构"，设计图如图L两个固定长度的“连杆"4?6。的连接点。在。。

上，当点Q在。。上转动时,带动点48分别在射线。例。/7上滑动,。用_1ON当2。与。。相切时，点夕恰好

落在0。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

⑴求证N必1。=2/必。

（2）若G）。的半径为求6P的长.

图2

解析（1）证明:连接。？（1分）

••,/P是。O的切线

:.OPrAP,：.^OPA=2Q°.

：.^PAO+APOA=3QO.

:OAV也."。4+/1=90°

：.^PAO=z.l.（3分）

OP=OB,：.AOPB-乙PBO.

"\=2NPBO.

"PAO=2/PBO.6分）

⑵过点。作PC1直线02垂足为C.（6分）

在叱。。4中,8=5/代与

Q

「.tan/%色；.

4

：/.l=z.PAO,

・••tan"啜/

设QU=3%OC=4%则OP-\joc24-PC2-5x.

.\x=l,：.PC=3,OC=4.

.•.80=5+4=9.

在Rt△PBC^,BP=y/PC2+BC2=V32+92=3V10.（9分）

7.(2018河南,19,9分)如图,/8是。。的直径,。。_1/8于点。连接交0。于点C过点C作O。的切线交

。。于点£连接BC交。。于点F.

⑴求证:旧历

(2)连接4尸并延长，交。。于点G填空：

①当N。的度数为时,四边形尾改7为菱形；

②当N。的度数为时,四边形式PG为正方形.

解析（1）证明:连接。C

..,%是。。的切线,，。八任

:.^FCO+^ECF=2G°.

■：DO^-AB,：.AB+ABFO=2Q

•:乙CFE=乙BFO,：.乙B+乙CFE=9D（3分）

OC-OB,:./.FCO-zB.

:.AECF=ACFE.：.CE=EF.（5分）

（2）①30：（注:若填为30,不扣分）（7分）

②22.5。.（注:若填为22.5,不扣分）（9分）

详解:①当/。=30时ND4O=60

•."8为直径,

.•."CB=90:

,.26=30：

.­.zl=z2=60：

■：CE=FE,

CE尸为等边三角形，

:.CE=CF=EF,

同理可得NG生=60：

利用对称得FG=FQ

:.FG=EF,

.“用G为等边三角形，

：.EG=FG,

：.FC=FG=GE=CE,

，四边形ECFG为菱形.

②当NA22.5时,N"O=67.5。.

■：OA=OC,：.AOCA=AOAC=e7.S°,

.•.Z/OG180267.5久67.5°=45:

...zCOF=45：

利用又寸称得N£OG=452•.NUOG=90°,

易证40£合0跖

:.OC=OGzOGE=zOCE=90;

，四边形FC0G为矩形，

又OC=OG

，四边形ECOG为正方形.

故答案为30。22.5：

8.（2017河南,18,9分）如图,在“跋中/5=力。以/8为直径的。。交/「边于点。过点。作614比与过

点8的切线交于点£连接BD.

（1）求证:孙

⑵若力8=10,。=4,求6c的长.

解析⑴证明:•・•/8MC

：.^ABC=^ACB.

■：CF\\AB,

：.^ABC=^FCB.

.♦.N4CB=N/<8即C8平分n。。？（3分）

是。。的直径,「2/08=90：即BDLAC.

「8尸是0。的切线，

:.BF^AB.（5分）

■：CF\\AB,：.BFA.CF.

:.BD=BF.（6分）

（2）./C=/8=10,0=4,./Z?=2（S。10-4=6.

在Rf/ISZ?中,80=/用-/O=102-62=64.（8分）

222

在RtABDC^,BC=>JBD+CD=V64+4=4V5,

即8c的长为4V5.（9分）

三年模拟

A组基础题组

一、选择题（每题3分，共18分）

1.（2021洛阳洛宁一模,4）下列关于圆的说法，正确的是（）

A.弦是直径，直径也是弦

B.半圆是圆中最长的弧

C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴

D.过三点可以作一个圆

答案C弦不一定是直径，但直径是弦，选项A说法错误;半圆小于优弧，所以半圆不是圆中最长的弧，选项B

说法错误;圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，选项C说法正确，符合题意;过不在同一直线上的三点

可以作一个圆，选项D说法错误.故选C.

2.（2020驻马店一模,3）以。为中心点的量角器与直角三角形/8C按如图方式摆放，直角顶点6在零刻度线

所在直线上,且量角器与三角板只有一个公共点户若点。的读数为35:则NCBD的度数是（）

A.55°B.45°C.35°D.25°

答案C由题意知是。。的切线,.•.n。户8=90：；NPO8=35：..NP8(9=90

CBD=180。-乙ABC-乙PBO=35做选C.

3.(2021洛阳汝阳一模⑼如图，已知。。中N/IO8度数为100〈是劣弧Z6上的一点厕N/C6的度数为

)

A.1300B.1000C.80°D.50°

答案A在优弧48上取点，连接力，8。

2"力。8=、100°=50：

.-.z/1675=180^£>130,：

故选A.

4.(2020平顶山一模,9)如图，若"8c内接于半径为/?的OQ且NZ=60：连接OB、OC则边跋的长为

A&R吟R*RD.V3/?

答案D如图，延长8。交。。于点，连接。贝N80=90：N。=N4=60”.N

08630；8£5=2尺，。0=尺..80=百/?.故选D.

5.（2021安阳一模,9）如图，必1是0。的切线/为切点，连接。。交O。于点C点6在0。上，且NZ比'=24测

N/PC等于（）

A.31°B.42°C,53°D.64°

答案B连接2。贝（U<9=2/6=48：•勿是0。的切线"•.N3A90”.N代90久/<9=90J48°=42：故选

B.

6.（2020周口沈丘一模,8）如图,四边形26。是半圆。的内接四边形28是直径虎若NC=110测N

力80的度数等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

答案A连接瓦才./6为直径,

ft.

B

"408=90”."+/1=90：

•.z/+zC=180°

：.^A=180o-110o=70°,

.21=90°-70°=20：

:DC=CB,

.•(/?=6C"2=N3=35：

"48-2=55：

故选A.

二、填空题（共3分）

7.（2021洛阳洛宁一模,12）如图所示为。。的直径过圆外一点C作。。的切线8c连接4C交弧于点

。连接8。若48=5,20=2,则BC=.

答案5V21

2

解析,.AB为。。的直径「2/08=90；为0。m^r.ABl.BC,：.^ABC=9QBAD=zCAB,A

8aA力西•.黑黑即/I，解得/吟.・在Rt”8C中,8仁

思路分析利用圆周角定理得到//。8=90:根据切线的性质得到N/A7=90：则可判断根据

相似的性质可计算出力。的长，然后由勾股定理可计算出8c的长.

三、解答题（共24分）

8.（2021郑州二模20）马老师带领同学们复习《圆》的内容时，展示出如下内容："如图,△，比•内接于G）。直径

力8的长为6,过点C的切线交力8的延长线于点A"马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题

目,并解答问题.

⑴若添加条件2630。’，则2。的长为；

(2)小亮说："我添加的条件是N/=30:可以得到20=00,你认为小亮的说法是否正确?请说明理由.

解析(1)9.

(2)小亮的说法正确.

连接OC

是。。的切线，

:.z.DCO=9Q°,

•・,/8是。。的直径，

.•.N/C8=90：

:.z.ACB-z.DCO,

••,NZ=30：

.-.AABC=60°,

又OB=OC,

."080为等边三角形，

:.CO=CB/ABC=4DOC=6G

/.ABC=/.DOC,

在“比■和A。。。中,CB=CO,

/ACB=/.DCO,

.•."gAOOqASA）,

:.AC=DC.

9.（2021开封一模,19）如图是。。的直径，点C为。。上一点点P是半径上一动点（不与点重合）,

过点P作射线江力氏分别交弦BC,前于两点,在射线/上取点£使FC=FD.

Q）求证:/＜是。。的切线；

（2）当点F是我的中点时，若NMG60:判断以为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由.

解析（1）如图，连接0c

,:PFLAB,：ZBPD^O°,

：.4OBC+乙BDP=9Q°,

■：FC=FD,：.AFCD=^FDC,

：^BOP=^FCD,

：ZOBC+4FCD=90,

.OB-OC,：./.OBC-/.OCB,

：.^OCB+^FCD=9Q°,：.OCYFC,

••,OU是oo的半径，

・•/C是oo的切线.

(2)以8为顶点的四边形是菱形.

连接OE.BE.CE.

••2所4=60：

."800=120：

,•点£是我的中点，

"BOE=4COE=乙BAC=6G°,

■：OB=OE=OC,

：aBOE,3。8均为等边三角形，

:.OB=BE=CE=OC,

••・四边形80%是菱形.

10.(2021郑州外国语学校模拟,18)如图是。。的直径。是。。夕一点。8和”"都与。。相切，切点分别

是点B、C连接交O。于点£连接2C

(1)求证:力。1。。

(2)如果/8=2,

①当BD=时,四边形04%是菱形；

②当BD=时,四边形是正方形.

A

解析Q)证明:连接8coe

・「。氏。0是0。的切线

OC-OB,：.OD1.BC,

..乂8是直径，

：.^ACB=2Q°,^ACA.BC,

：.AC\\OD.

(2)@V3；01.

提示:①当8P=百时,四边形3々是菱形.

理由:连接EC.

「8。是0。的切线，

：.BD±.OB,：.£OBD^9G0,

.,.tann。08二

OB=

.•2008=60：

：AC\\OD,：.乙OAC=LDOB=64°

是等边三角形，

：.AC=OA=OE,

：AC\\OE,

二四边形是平行四边形，

■：OA=OE,

04%是菱形.

②当BD=1时,四边形。。8是正方形.

理由:是。。的切线，

:.DB=DC=1,

:OB=OC=1,

:.OB=BD=DC=OC,

，四边形是菱形，

•2。8P=90：

二菱形是正方形.

思路分析Q）根据切线的性质,圆的性质及圆周角定理的推论证明ZdBC.ODA.BC即可判断.（2）①当

旧时，可得四边形O4CE四条边相等，所以四边形04々是菱形;②当8。=1时，可得四边形是菱

形，根据有一个角是90:可得菱形是正方形.

B组提升题组

一、选择题（每题3分洪12分）

1.（2021洛阳汝阳一模,6）若是。。的直径z/C8=90测点C一定在（）

A.0。内B.。。外

C.O。上D.0O内或。。上

答案C.Z8是0。的直径,二力6所对的圆周角为90:而"6=90•.点。在。。上.故选C.

2.（2020南阳二十一校模拟,6）如图所示，等腰直角三角形/8C的斜边48与量角器的直径重合，点。是量角器

上60刻度线的外端点，连接CD交28于点£则/CEB的度数为（）

A.60°B,65°C.70°D.75°

答案D.N/CB=90：

.•.点C在以48为直径的圆上，

..2/10=360°=30：

：AC=BC,

"C46=45：

:.乙CEB=LCAER乙ACE=75

故选D.

3.（2021许昌长葛一模,8）如图，点4B、。在＜3。上04,连接8。并延长，交。。于点。连接AC.DC^

〃=25测N。的大小为（）

A.25°B.30°C.40°

答案C-：BC\\OA,：./.ACB=AA=25O,^B=^AOB=2^ACB=SQ°；：BDg0（9B$jgg,.-.z5CZ?=90:/.z

Z?=90J8=90久500=40做选C.

4.（2021南阳镇平一模,8）如图是。。的弦，点U在过点8的切线上，且OCJLCZ,。。交28于点g已知N

026=22测NCO为（）

A.22°B,44°C.48°D.68°

答案B连接08.

：OA=OB,：.^A=z.OBA=22°,

.•.z/(95=180°-22°-22°=136：

又O_L0G.N/OU=90：

.♦.N8OC=136?90。=46：

・•.8C是0。的切线外

:.^OBC=90O,:.^OCB+ABOC=90O,

；/OC8=90M60=44:故选B.

二、填空题(每题3分，共6分)

5.（2021洛阳汝阳一模,14）如图在。£中，弦力8与Q9相交于坐标原点。已知加0,-3）,。-2,0），6,0）,则点力

的坐标是.

答案(0,4)

解析连接力，8c

..40,-3),q-2,0),以6,0),

：.OB=3QC=2,OD=6,

由圆周角定理得nDAO=4BCO,

：z.AOD-z.BOC,

：AAOD-^COB,

.OA_OD.OA_6

'''OC~'OB'''~-3'

解得,04=4,

；点力在y轴上，二点力的坐标是(0,4).

6.(2020河南联考,15)如图，点C是半圆。上一动点，连接ZC6C点。是比•的中点将以比•沿直线28对折

得到连接U'A已知28=4若45。为直角三角形，则ZC的长为.

答案2或2近

解析如图1，当N%?U=90时，连接CC.

由题意知C'。垂直平分BC,

：.CC,=BC,

又BC=BC',：.BC=BC'=CC,

"Ua"为等边三角形

:.zCBC'=60°,

"ABC="CBC'=3G°,

是直径,.2/6=90：

.-.AC=^AB=2.

c

困2

如图2,当NO60=9O下寸,N/8已^NC'8p=45心力8sinN/8G2或.故答案为2或2V2.

三、解答题(共37分)

7.(2021洛阳汝阳一模,17)如图,四边形28。内接于。。8。是。。的直径/心。于点E.DA平假乙BDE.

(1)求证:力£是◎。的切线；

(2)如果48=4,2£=2,求。。的半径.

解析⑴证时如图，连接04

：OA=OD,：.Z.X=A2.

:DA平分乙BDE,

.•.z2=z3,/.zl=z3,/.Cl4iiDE.

■：AEA.CD,：.^CEA=90°.

.,.NO4E=18（T-NCE4=90：即OAvAE,

.04是。。的半径〃是G）。的切线.

cOF.

(2)如图,•••8。是OO的直径，

..•/加。=90：

■,•zC£4=90\..乙BAD=4CER.

丈：/2=3；aBA'&AED.

'''AD~'AE'

■.BA=A,AE=2,:.BD=2AD.

在RbBAD中，根据勾股定理得,BD=lV3.

.•©O半径为

思路分析(1)连接利用已知条件求得OAII。£进而证明可得至IJZF是O。的切线.⑵通过证明

△8/8”他再利用相似的性质得到Rt”8。的边的比例由勾股定理求出。。直径的长，即可得出半径长.

8.(2020郑州二模,18)如图，在Rt“比中/ZC8=90似斜边上的中线。为直径作。。分别与AC.BC

交于点££过点尸作0。的切线交Z6于点M.

⑴求证:用氏

(2)若。。的直径是6.填空：

①连接OFQM当FM=时,四边形。例8尸是平行四边形；

②连接DEQF当/C=时,四边形“门是正方形.

解析⑴证明如图，连接。打

:CD是Rf/ISC斜边上的中线,

：.CD=AKBD,：.乙DCB=KDBC.

■：CO=OF,：.AOCF^AOFC.

:.ADBC=^OFC.

:.OF\\AB.

:尸加是。。的切线,.2附4=90:

:.AFMB=9Q°,:.MF±AB.（5分）

（2）①3.（7分）

②6或.（9分）

提示:①••四边形。例8尸是平行四边形，

文:CO=OD,：.CF=FBQF=；BD,

.•/=是△8。的中位线，

:.FM《CD=Wx6=3.

22

②当四边形CEDF是正方形时，NCDE=45*DELAC,又：DC=DA,:,zCDE=zADE=^S°,则z

ADC=2G°,：.AC=y/2CD=6y[2.

9.（2021平顶山二模,20）顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图①所示,P7■切。。于

点7；必交。。于点48/P厉就是。。的一个弦切角经研究发现:弦切角等于所夹弧所对的圆周角.下面给出

了上述命题的"已知"和"求证"，请写出"证明”过程,并回答后面的问题.

（1）已知，如图①/7■是。。的切线,7■为切点，射线留交。。于