高中数学培优讲义练习（必修一）：专题5.12 函数y=Asin(ωx+φ)（重难点题型检测）（教师版）

专题5.12函数（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05−50根据表格中的数据，函数fx的解析式可以是（

A．fx=5sinC．fx=5sin【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得ω值，代入特殊点，可求得φ值，即可得答案.【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，T2=5π6−又2×π3+φ=所以fx的解析式可以是故选：A.2．（3分）（2022·四川泸州·一模（理））为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sinA．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π3C．先横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移πD．先横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移2π【解题思路】根据三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断和选择.【解答过程】将y=sin2x−π再向左平移2π3个单位长度得到y=故选：B.3．（3分）（2022·广西·高三阶段练习（文））将函数fx=sinπ3A．x=π12 B．x=π4 C．【解题思路】根据三角函数图象的变换，求得平移后函数的解析式，再求其对称轴即可.【解答过程】将函数fx=siny=sin令2x−2π3=kπ+所有选项中，只有当k=−1时，x=π故选：A.4．（3分）（2023·全国·模拟预测（理））已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2与函数y=gx的部分图象如图所示，且函数A．12 B．1 C．32 【解题思路】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.【解答过程】由题意可知，将函数y=gx图象上的点−π3可得y=fx的图象与x轴负半轴的第一个交点为−因为y=fx的图象与x轴正半轴的第一个交点为5π所以T=2×5π12+π12又f−π12=sin−π则f(x)=sin2x+π6，故选：C.5．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（理））函数fx=3sinωx+φ（ω>0且0<φ<π）在一个周期内的图像如图所示，将函数y=fx图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移πA．gx=3sinC．gx=−3sin【解题思路】根据函数图像可知周期，利用周期可求ω，最后带点即可求出f(x)=3sin43【解答过程】解：由图像可知T2=5π由T=2πω，得ω=4∵点5π8∴−3=3sin∴5π∵0<φ<π，则φ=2π∴函数解析式为f(x)=3sin将函数图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移π12个单位长度，得f(x)=3故选：A.6．（3分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知：函数fx=3A．将fx的图像向右平移π6个单位长度得B．fx在π4C．若fx1=fxD．fx的图像关于点π【解题思路】对函数化简变形得fx【解答过程】化简f对于A，将fx的图像向右平移π6个单位长度得对于B，x∈π4,π2对于C，fx的最小正周期为T=2π2=π，故fx对于D，fπ12=sin2×故选：C.7．（3分）（2022·湖北·高一期中）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为332m，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asinωt+φ+kA>0,ω>0,−π2<φ<πA．332，π15，3，π6 B．332C．3，π15，332，−π6 D．3，【解题思路】根据dmax=A+k，dmin=k−A可构造方程组求得A,k；根据最小正周期可求得ω；根据t=0时，【解答过程】由题意知：dmax=3+3∴A+k=3+33∵筒车每分钟转2圈，∴函数的最小正周期T=30s，∴ω=2π当t=0时，d=3sinφ+332=0，即综上所述：A=3，ω=π15，k=3故选：D.8．（3分）（2022·天津市高三阶段练习）已知函数f(x)=3①函数f(x)的最小正周期为π；②π12,−1③x=π3是函数④将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，即可得到函数y=其中所有正确的结论的序号是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③【解题思路】先得到函数fx【解答过程】解：fxT=2π2=因为sin2×π12−π因为sin2×π3−π6+将函数fx的图像向左平移π12个单位长度，即可得到函数y=sin故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数y=cosx的图象变为函数y=cosA．向右平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的B．向左平移π8C．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移πD．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π4【解题思路】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.【解答过程】y=cos对于A，将函数y=cosx的图象向右平移π4个单位长度，得到y=cosx−对于B，将函数y=cosx的图象向左平移π8个单位长度，得到y=对于C，将函数y=cosx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，得到y=cos2x对于D，将函数y=cosx的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=cos12故选：AC．10．（4分）（2022·山东·高三期中）函数fx=3sinA．fB．fx图象的一条对称轴方程是C．fx图象的对称中心是kπD．函数y=fx+【解题思路】首先根据题意得到fx【解答过程】由函数fx12T=3π8−−π8因为f−π8=3sin即φ=3π4+2kπ，k∈Z，因为对选项A，因为fx对选项B，f−对选项C，令2x+3π4=kπ，k∈Z所以fx的对称中心是12k对选项D，设gx则gx的定义域为R，g所以gx故选：BD.11．（4分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0)，且fxA．ω的值为1B．fx的单调递增区间为C．x∈0,π2D．x∈0,π2时，【解题思路】利用三角恒等变换化简fx解析式，根据fx的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换求得【解答过程】fx由于fx的最小正周期为π，所以2π2ω=2kπ所以gx的单调递增区间是k函数fx的图象向右平移π6个单位长度后得到由于0≤x≤π所以sin2x−所以x∈0,π2时，gx的最大值为故选：AC.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（

A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面1+3【解题思路】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度H=2sinπ30【解答过程】解：由题意，角速度ω=2π又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为π6，点P当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×π30=以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H=Asin由Hmax=A+B=3H又角速度ω=2π60=π30弧度/秒，t=0时，∠xO所以点P距离水面的高度H=2sinπ30t−π6+1将H=1+3代入H=2sinπ30t−π6+1中，得π30所以点P第二次到达距水面1+3故选：BCD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·福建·高三阶段练习）将函数y=3sinx+cosx,x∈R图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动π【解题思路】首先化简函数，再根据图像变化规律求函数的解析式.【解答过程】y=2sinx+π6，图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数y=2sin故答案为：y=2sin14．（4分）（2022·北京市高三期中）如图为函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ【解题思路】根据图象得到，A=2，T2=2π3−π6=π【解答过程】由题中的图象知，A=2，T2所以T=π，ω=2π因为图象过点π6所以2×π解得φ=π∵φ<π函数解析式为fx故答案为：fx15．（4分）（2022·湖南高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54，φ∈0,π2，且【解题思路】由题意得2.25=2sinφ+54，求出【解答过程】因为t=0时，盛水筒M与水面距离为2.25米，所以2.25=2sinφ+5又φ∈0,π2所以H=2sin当t=40时，H=2sin故答案为：9416．（4分）（2023·全国·高三专题练习）把y=sinx的图象向右平移φ0<φ<π2个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数①f(x)的一个单调递减区间为π3②f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为π3③f(x)的对称中心为kπ④若关于x的方程2[f(x)]2+nf(x)+1=0在区间π2,其中，判断正确的序号是①③④．【解题思路】根据平移得f(x)=2sin2x−φ，由f(x)≤fπ3和φ的范围解得φ，再根据x的范围和y=2sint的单调性可判断①；求出f(x)向右平移m(m>0)个单位的解析式，利用诱导公式和m的范围可判断②；求出f(x)的对称中心可判断③；令t=2x−【解答过程】根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：f(x)=2sin∵f(x)最值=fπ3∵0<φ<π当x∈π3,5π6,t=2x−π6f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是y=2sin则−π6−2m=令2x−π6=kπ⇒x=故③正确；x∈π2,7π令s=f(x),s∈0,1，则关于x的方程2f(x)2+nf(x)+1=0在区间π2设gs=2s2+ns+1，则函数与x轴有两个交点，函数对称轴为s=−n6，实数n故答案为：①③④.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）将函数y=sin2x向右平移π（I）求y=fx（II）用“五点法”做出函数y=fx

【解题思路】（I）由平移变换得函数解析式；（II）由2x−2π3分别等于0,π【解答过程】（I）由题意f(x)=sin（II）列表：2x−0ππ3π2πxπ7π5π13π4πf(x)010−10描点连线：18．（6分）（2022·青海·高三期中）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxπ5πA05−50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象．若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0，求【解题思路】（1）由三角函数性质求解，（2）由三角函数图象变换得y=g(x)解析式，再由对称性列式求解，【解答过程】（1）根据表中已知数据，得A=5,T2=5π6数据补全如下表：ωx+φ0ππ3π2πxππ7π5π13πA050−50且函数表达式为f(x)=5sin（2）由（1）知f(x)=5sin得g(x)=5sin因为函数y=sinx图象的对称中心为令2x+2θ−π6=kπ,k∈由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0中心对称，令解得θ=kπ2−π3,k∈Z．由θ>019．（8分）（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（1）求fπ（2）将函数fx的图象向左平移mm>0个单位长度，所得函数图象与函数y=cos（3）若x∈θ，π2时，fx的最小值为【解题思路】先对函数解析式化简，（1）直接代入求解；（2）利用图形变换和诱导公式求出m的最小值；（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出θ的最大值.【解答过程】f=−==sin（1）fπ（2）将函数fx的图象向左平移mm>0个单位长度，得到y=sin所以2m−π6=2kπ+π2，由m（3）当x∈θ，π2因为fx的最小值为−1，所以2θ−π6可以取到−所以θ≤−π6，即θ的最大值为20．（8分）（2022·重庆·高一阶段练习）已知函数fx（1）求fx（2）先将fx的图象纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到gx的图象，求函数【解题思路】（1）根据最大值可得A，根据周期得ω，根据最高点得φ，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得f(x)的对称中心；（2）根据图象变换的结论可得y=g(x)的解析式，根据余弦函数的递增区间可得y=g(x)在x∈π12,【解答过程】（1）由所给图象知：A=2；3T4=5π12−−π∴fx=2cos2x+φ，把点即5π6+φ=2kπ，k∈Z，又∵φ<π，∴fx由2x−5π6=kπ+π2，k∈Z所以f(x)的对称中心为2π3+kπ（2）易知g(x)=1化简得g(x)=−cos当x∈π12,3π4时，由−π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，得−当x∈π12,3π4时，2x∈π6,3π2，当2x=π，即x=π2时，21．（8分）（2022·湖北·高一期中）天门是一座宜居的城市，城区内北湖公园､陆羽公园､东湖公园是人们休闲娱乐的绝佳去处，尤其是东湖公园的摩天轮，更是让人流连忘返.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，摩天轮匀速转动一周需要24分钟，其中心O距离地面55米，半径为50米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱.(1)游客坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；(2)当摩天轮座舱不低于地面高度80米时，游客可以观赏到全园