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文档简介
专题5.12函数(重难点题型检测)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2021·广东揭阳·高一期末)某同学用“五点法”画函数fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05−50根据表格中的数据,函数fx的解析式可以是(
A.fx=5sinC.fx=5sin【解题思路】根据函数最值,可求得A值,根据周期公式,可求得ω值,代入特殊点,可求得φ值,即可得答案.【解答过程】由题意得最大值为5,最小值为-5,所以A=5,T2=5π6−又2×π3+φ=所以fx的解析式可以是故选:A.2.(3分)(2022·四川泸州·一模(理))为了得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sinA.先横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移π3B.先横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移2π3C.先横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移πD.先横坐标缩短到原来的12倍,再向右平移2π【解题思路】根据三角函数图象的变换,结合函数解析式,即可直接判断和选择.【解答过程】将y=sin2x−π再向左平移2π3个单位长度得到y=故选:B.3.(3分)(2022·广西·高三阶段练习(文))将函数fx=sinπ3A.x=π12 B.x=π4 C.【解题思路】根据三角函数图象的变换,求得平移后函数的解析式,再求其对称轴即可.【解答过程】将函数fx=siny=sin令2x−2π3=kπ+所有选项中,只有当k=−1时,x=π故选:A.4.(3分)(2023·全国·模拟预测(理))已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2与函数y=gx的部分图象如图所示,且函数A.12 B.1 C.32 【解题思路】根据函数平移,利用图象上已知条件求函数解析式,求函数值,可得答案.【解答过程】由题意可知,将函数y=gx图象上的点−π3可得y=fx的图象与x轴负半轴的第一个交点为−因为y=fx的图象与x轴正半轴的第一个交点为5π所以T=2×5π12+π12又f−π12=sin−π则f(x)=sin2x+π6,故选:C.5.(3分)(2022·江西·高三阶段练习(理))函数fx=3sinωx+φ(ω>0且0<φ<π)在一个周期内的图像如图所示,将函数y=fx图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍,再向左平移πA.gx=3sinC.gx=−3sin【解题思路】根据函数图像可知周期,利用周期可求ω,最后带点即可求出f(x)=3sin43【解答过程】解:由图像可知T2=5π由T=2πω,得ω=4∵点5π8∴−3=3sin∴5π∵0<φ<π,则φ=2π∴函数解析式为f(x)=3sin将函数图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍,再向左平移π12个单位长度,得f(x)=3故选:A.6.(3分)(2022·四川省高三阶段练习(理))已知:函数fx=3A.将fx的图像向右平移π6个单位长度得B.fx在π4C.若fx1=fxD.fx的图像关于点π【解题思路】对函数化简变形得fx【解答过程】化简f对于A,将fx的图像向右平移π6个单位长度得对于B,x∈π4,π2对于C,fx的最小正周期为T=2π2=π,故fx对于D,fπ12=sin2×故选:C.7.(3分)(2022·湖北·高一期中)如图,一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为332m,设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asinωt+φ+kA>0,ω>0,−π2<φ<πA.332,π15,3,π6 B.332C.3,π15,332,−π6 D.3,【解题思路】根据dmax=A+k,dmin=k−A可构造方程组求得A,k;根据最小正周期可求得ω;根据t=0时,【解答过程】由题意知:dmax=3+3∴A+k=3+33∵筒车每分钟转2圈,∴函数的最小正周期T=30s,∴ω=2π当t=0时,d=3sinφ+332=0,即综上所述:A=3,ω=π15,k=3故选:D.8.(3分)(2022·天津市高三阶段练习)已知函数f(x)=3①函数f(x)的最小正周期为π;②π12,−1③x=π3是函数④将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度,即可得到函数y=其中所有正确的结论的序号是(
)A.①③④ B.②③④ C.①②③④ D.①③【解题思路】先得到函数fx【解答过程】解:fxT=2π2=因为sin2×π12−π因为sin2×π3−π6+将函数fx的图像向左平移π12个单位长度,即可得到函数y=sin故选:A.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·全国·高一课时练习)下列四种变换方式中能将函数y=cosx的图象变为函数y=cosA.向右平移π4个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的B.向左平移π8C.每个点的横坐标缩短为原来的12,再向右平移πD.每个点的横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移π4【解题思路】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.【解答过程】y=cos对于A,将函数y=cosx的图象向右平移π4个单位长度,得到y=cosx−对于B,将函数y=cosx的图象向左平移π8个单位长度,得到y=对于C,将函数y=cosx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12,得到y=cos2x对于D,将函数y=cosx的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=cos12故选:AC.10.(4分)(2022·山东·高三期中)函数fx=3sinA.fB.fx图象的一条对称轴方程是C.fx图象的对称中心是kπD.函数y=fx+【解题思路】首先根据题意得到fx【解答过程】由函数fx12T=3π8−−π8因为f−π8=3sin即φ=3π4+2kπ,k∈Z,因为对选项A,因为fx对选项B,f−对选项C,令2x+3π4=kπ,k∈Z所以fx的对称中心是12k对选项D,设gx则gx的定义域为R,g所以gx故选:BD.11.(4分)(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0),且fxA.ω的值为1B.fx的单调递增区间为C.x∈0,π2D.x∈0,π2时,【解题思路】利用三角恒等变换化简fx解析式,根据fx的最小正周期求得ω,根据三角函数图象变换求得【解答过程】fx由于fx的最小正周期为π,所以2π2ω=2kπ所以gx的单调递增区间是k函数fx的图象向右平移π6个单位长度后得到由于0≤x≤π所以sin2x−所以x∈0,π2时,gx的最大值为故选:AC.12.(4分)(2023·全国·高三专题练习)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(图1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则(
A.点P再次进入水中时用时30秒B.当水轮转动50秒时,点P处于最低点C.当水轮转动150秒时,点P距离水面2米D.点P第二次到达距水面1+3【解题思路】以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,则点P距离水面的高度H=2sinπ30【解答过程】解:由题意,角速度ω=2π又由水轮的半径为2米,且圆心O距离水面1米,可知半径OP0与水面所成角为π6,点P当水轮转动50秒时,半径OP0转动了50×π30=以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,设点P距离水面的高度H=Asin由Hmax=A+B=3H又角速度ω=2π60=π30弧度/秒,t=0时,∠xO所以点P距离水面的高度H=2sinπ30t−π6+1将H=1+3代入H=2sinπ30t−π6+1中,得π30所以点P第二次到达距水面1+3故选:BCD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·福建·高三阶段练习)将函数y=3sinx+cosx,x∈R图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图像向左平行移动π【解题思路】首先化简函数,再根据图像变化规律求函数的解析式.【解答过程】y=2sinx+π6,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得函数y=2sin故答案为:y=2sin14.(4分)(2022·北京市高三期中)如图为函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ【解题思路】根据图象得到,A=2,T2=2π3−π6=π【解答过程】由题中的图象知,A=2,T2所以T=π,ω=2π因为图象过点π6所以2×π解得φ=π∵φ<π函数解析式为fx故答案为:fx15.(4分)(2022·湖南高一期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M距离水面的高度H(单位:米)与转动时间t(单位:秒)满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,且【解题思路】由题意得2.25=2sinφ+54,求出【解答过程】因为t=0时,盛水筒M与水面距离为2.25米,所以2.25=2sinφ+5又φ∈0,π2所以H=2sin当t=40时,H=2sin故答案为:9416.(4分)(2023·全国·高三专题练习)把y=sinx的图象向右平移φ0<φ<π2个单位,再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍.得到函数①f(x)的一个单调递减区间为π3②f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是一个偶函数,则m的最小值为π3③f(x)的对称中心为kπ④若关于x的方程2[f(x)]2+nf(x)+1=0在区间π2,其中,判断正确的序号是①③④.【解题思路】根据平移得f(x)=2sin2x−φ,由f(x)≤fπ3和φ的范围解得φ,再根据x的范围和y=2sint的单调性可判断①;求出f(x)向右平移m(m>0)个单位的解析式,利用诱导公式和m的范围可判断②;求出f(x)的对称中心可判断③;令t=2x−【解答过程】根据题意得,函数经过平移伸缩变换后的解析式为:f(x)=2sin∵f(x)最值=fπ3∵0<φ<π当x∈π3,5π6,t=2x−π6f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是y=2sin则−π6−2m=令2x−π6=kπ⇒x=故③正确;x∈π2,7π令s=f(x),s∈0,1,则关于x的方程2f(x)2+nf(x)+1=0在区间π2设gs=2s2+ns+1,则函数与x轴有两个交点,函数对称轴为s=−n6,实数n故答案为:①③④.四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2021·全国·高一课时练习)将函数y=sin2x向右平移π(I)求y=fx(II)用“五点法”做出函数y=fx
【解题思路】(I)由平移变换得函数解析式;(II)由2x−2π3分别等于0,π【解答过程】(I)由题意f(x)=sin(II)列表:2x−0ππ3π2πxπ7π5π13π4πf(x)010−10描点连线:18.(6分)(2022·青海·高三期中)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxπ5πA05−50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求【解题思路】(1)由三角函数性质求解,(2)由三角函数图象变换得y=g(x)解析式,再由对称性列式求解,【解答过程】(1)根据表中已知数据,得A=5,T2=5π6数据补全如下表:ωx+φ0ππ3π2πxππ7π5π13πA050−50且函数表达式为f(x)=5sin(2)由(1)知f(x)=5sin得g(x)=5sin因为函数y=sinx图象的对称中心为令2x+2θ−π6=kπ,k∈由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0中心对称,令解得θ=kπ2−π3,k∈Z.由θ>019.(8分)(2021·全国·高一专题练习)已知函数f(1)求fπ(2)将函数fx的图象向左平移mm>0个单位长度,所得函数图象与函数y=cos(3)若x∈θ,π2时,fx的最小值为【解题思路】先对函数解析式化简,(1)直接代入求解;(2)利用图形变换和诱导公式求出m的最小值;(3)利用正弦型函数的定义域和值域,即可求出θ的最大值.【解答过程】f=−==sin(1)fπ(2)将函数fx的图象向左平移mm>0个单位长度,得到y=sin所以2m−π6=2kπ+π2,由m(3)当x∈θ,π2因为fx的最小值为−1,所以2θ−π6可以取到−所以θ≤−π6,即θ的最大值为20.(8分)(2022·重庆·高一阶段练习)已知函数fx(1)求fx(2)先将fx的图象纵坐标缩短到原来的12倍,再向右平移π12个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到gx的图象,求函数【解题思路】(1)根据最大值可得A,根据周期得ω,根据最高点得φ,从而可得解析式;根据余弦函数的对称中心可得f(x)的对称中心;(2)根据图象变换的结论可得y=g(x)的解析式,根据余弦函数的递增区间可得y=g(x)在x∈π12,【解答过程】(1)由所给图象知:A=2;3T4=5π12−−π∴fx=2cos2x+φ,把点即5π6+φ=2kπ,k∈Z,又∵φ<π,∴fx由2x−5π6=kπ+π2,k∈Z所以f(x)的对称中心为2π3+kπ(2)易知g(x)=1化简得g(x)=−cos当x∈π12,3π4时,由−π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,得−当x∈π12,3π4时,2x∈π6,3π2,当2x=π,即x=π2时,21.(8分)(2022·湖北·高一期中)天门是一座宜居的城市,城区内北湖公园、陆羽公园、东湖公园是人们休闲娱乐的绝佳去处,尤其是东湖公园的摩天轮,更是让人流连忘返.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图所示,摩天轮匀速转动一周需要24分钟,其中心O距离地面55米,半径为50米,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱.(1)游客坐上摩天轮的座舱,开始转动t分钟后距离地面的高度为H米,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式;(2)当摩天轮座舱不低于地面高度80米时,游客可以观赏到全园
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