高中数学培优讲义练习（必修二）：专题6.4 平面向量的运算（重难点题型检测）（教师版）

专题6.4平面向量的运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一期末）3(a−7bA．2a B．23b C．0【解题思路】根据向量的线性运算化简即可求解.【解答过程】3(故选：D.2．（3分）（2022·全国·高一专题练习）如图，BA等于（

）A．2e1−4e2 B．−4e【解题思路】根据向量的减法原则即可得出答案.【解答过程】由图可知BA=故选：C.3．（3分）（2022秋·河南南阳·高一阶段练习）在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为AD的是（

）A．AB+BC−C．BC→−DC【解题思路】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.【解答过程】A，AB+B，AB+C，BC−D，AE→故选：A.4．（3分）（2022·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，且OA+OB=A．点O在△ABC的内部 B．点O在△ABC的边AB上C．点O在边AB所在的直线上 D．点O在△ABC的外部【解题思路】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.【解答过程】因为OA+OB=OC，所以四边形OACB为平行四边形．从而点故选：D.5．（3分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，则下列各式一定成立的是（

）A．ABB．ACC．AOD．AO【解题思路】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.【解答过程】由图知：AB=DC=−CD，故A错误；AO=12故选：D.6．（3分）（2022秋·浙江嘉兴·高一阶段练习）在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AB上靠近A的三等分点，AB=a，AD=b，则向量A．13a+12b B．2【解题思路】根据题意作出图形，将AM用a、b的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【解答过程】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD中，∵M为BC的中点，则AM=又∵N为线段AB上靠近A的三等分点，则AN=∴NM故选：B.7．（3分）（2022秋·浙江绍兴·高一阶段练习）如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE=12EC，AD，BE交于点F，设AC=a，AD=bA．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5【解题思路】根据向量线性运算，结合线段关系，用a，b表示出AB，EB，FB，由平面向量的基本定理，即可求得t的值．【解答过程】因为D为BC的中点，且AC=a，AD=b，故又AE=12EC，可得AE=1又AF=tAD=t因为EB，FB共线，由平面向量的基本定理可知满足−1−43故选：D．8．（3分）（2022秋·江苏扬州·高一期中）已知a，b为不共线的向量，且AB=a+5b，BC=−2A．A,B,C共线 B．A,B,D共线 C．A,C,D共线 D．B,C,D共线【解题思路】根据AB，BC，CD求出AC和BD，再根据AB与BC不共线，可得A,B,C不共线，根据AB与BD共线，且有公共点B，可得A,B,D共线，根据AC与CD不共线，可得A,C,D不共线，根据BC与CD不共线，可得B,C,D不共线.【解答过程】因为AB=a+5b，所以BD=BC+因为a，b为不共线，所以a,若存在λ∈R，使得AB则a+5b=λ(−2a+8因为a，b不共线，所以1+2λ=08λ−5=0，即λ=−故AB与BC不共线，所以A,B,C不共线，故A不正确；因为AB=12BD，即AB与BD共线，又AB与BD有公共点若存在λ∈R，使得AC=λCD，则−因为a，b不共线，所以1+4λ=013−2λ=0，即λ=−故AC与CD不共线，所以A,C,D不共线，故C不正确；若存在λ∈R，使得BC=λCD，则−2因为a，b不共线，所以4λ+2=08−2λ=0，即λ=−故BC与CD不共线，所以B,C,D不共线，故D不正确.故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为AD的有（

）A．MB+AD−C．AB+CD+【解题思路】由向量的加法与减法法则逐一验证即可【解答过程】对于A：MB+对于B：AD+MB+对于C：AB+对于D：OC−故选：BCD.10．（4分）（2022·高一课时练习）已知A，B，C，是三个不同的点，OA=a−bA．AC=2AB B．AB=BC C．AC=3BC D．【解题思路】根据向量运算求出AB,【解答过程】由题可得AB=OB−OA=∴AC=2AB，故A正确；AB=由AC=2AB可得AC//AB，A为公共点，故A，故选：ABD.11．（4分）（2022春·安徽宿州·高三阶段练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，PTAT=5A．AP+SE+C．AT=5+1【解题思路】由向量的运算性质逐一计算验证即可判断.【解答过程】A选项，由图可知，AP+B选项，QC+SD=C选项，∵ATTS=25D选项，CQ−故选：AC．12．（4分）（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）点P是△ABC所在平面内一点，且AP=xAB+yA．若x=y=12，则点P是边B．若点P是边BC靠近B点的三等分点，则x=C．若点P在BC边的中线上且x+y=12，则点P是D．若x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等【解题思路】A选项转化为BP=PC，即可判断；B选项转化为BP=2PC，即可判断；C选项，分析可得点P为BC边的中线的中点，即可判断；D选项，可得点P在直线MN上，点P与点【解答过程】A若x=y=12，AP=12B当x=13,y=23时，AP=1C点P在BC边的中线上且x+y=12，点P为D设AM=2AB，AN=2AC，则AP=x2AM+y2AN，x2+y故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）求36a+b【解题思路】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得；【解答过程】解：3=18a故答案为：9a14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1→,r2→,r3→【解题思路】由向量的加法法则可得答案.【解答过程】OD→故答案为：r115．（4分）（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB825【解题思路】直接由向量的线性运算及图形关系求出x,y的值，即可求解.【解答过程】由题意可得AG=AB+所以AG=−CE，所以AG=AB+所以x=45，y=2故答案为：82516．（4分）（2022秋·全国·高一期末）在△AOB中，OC=14OA,OD=12OB，AD与BC交手M点，设OA=a,OB=b，在线段AC上取一点7．【解题思路】设OM=ma+nb，分别利用C,M,B三点共线和D,M,A三点共线求出【解答过程】解：设OM=m因为C,M,B三点共线，所以存在非零实数k，使得CM=k所以OM=所以{m=1−k4因为D,M,A三点共线，所以存在非零实数t，使得DM=t所以OM=因为OM=m所以{m=tn=1−t由n=1−m2和m=1−n4，解得因为F,M,E三点共线，所以存在非零实数x，使得FM=x因为FM=所以{xλ=17−xμ=3所以1λ故答案为：7.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·高一课时练习）化简下列各式：(1)AO+(2)MN−【解题思路】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；【解答过程】（1）AO=AB（2）MN=DN18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）计算：(1)23(2)λ+μ2【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【解答过程】（1）原式=2=(=14（2）原式=λ+μ=2==(5λ+7μ)a19．（8分）（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且AB=a，AC=b，AE=c，试用向量a,【解题思路】根据向量加法和减法的运算法则即可求解.【解答过程】解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD=BC=BD=20．（8分）（2022秋·高一课时练习）已知G是△ABO的重心，M是AB的中点，过点G作一条直线与AO边交于点P､与BO边交于点Q，设OA=a,【解题思路】根据向量的平行四边形法则以及重心表示可得OG=23【解答过程】由题意可得OG=又OP=m⋅a,OQ=n⋅所以OG=因为P,G,Q三点共线，则13m+121．（8分）（2022秋·湖北襄阳·高一阶段练习）（1）已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a=e1+2e2，（2）设a，b是不共线的两个非零向量.若8a+kb与k【解题思路】（1）由平面向量的线性运算求解即可；（2）由平面向量的共线定理求解即可【解答过程】（1）∵a=e1∴4a（2）由a，b不共线可知ka