4.3.1等比数列的概念（第2课时）（分层作业）（解析版）（人教A版2019选择性必修第二册）

.3.1等比数列的概念（第2课时）分层作业（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1数列的实际应用1.若三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是（

）A．2，4，8 B．8，4，2C．2，4，8或8，4，2 D．2，，8【答案】C【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【详解】解：设这三个数分别为，，，则由题意可得，，且，解可得，或故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．2.设数列满足，且，则（

）A．为等比数列 B．为等比数列C．为等比数列 D．为等比数列【答案】A【分析】由，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解.【详解】由，可得，所以，又由，所以，所以是首项为，公比为的等比数列.故选：A.3.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据挖去三角形的边长和个数求得正确答案.【详解】第一种挖掉的三角形边长为，共个，面积为；第二种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，第三种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，故被挖去的三角形面积之和是.故选：D4.在等比数列中，，是方程的根，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式和性质，计算即可得到所求值．【详解】等比数列的公比设为，，是方程的根，可得，即有，即有，则故选：D.5.已知在数列中，，且.设，且为的前项和，则的整数部分为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将整理变形可得到，利用等比数列的通项公式可得，进而可得，判断出的单调性可得的最小值，再利用可得的最大值，进而可得的整数部分.【详解】由得，且，故.再将等式两边同除以，得.由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列.，即，故.又，故是关于的递增数列，故；当时，故.综上有.的整数部分为故选：A.题型2等比数列的性质及其应用6.在等比数列中，，，则（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根据及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为,因为，，所以，解得.所以.故选:D.7.各项均为正数的等比数列中，，，则（

）A．1 B．9 C． D．【答案】B【解析】利用等比数列的性质：若，则可解.【详解】因为为各项为正的等比数列，，，所以故选：B【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．8.已知数列为等比数列，公比为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题中条件建立关于的等式，由此可解得的值.【详解】由题意得，，，可得，解得.故选：C．9.已知等比数列的各项都是正数，其公比为4，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】解：根据等比数列性质，有，因为，所以，解得，因为等比数列的公比为，所以，.故选：C10.在等比数列中，如果，那么这个数列的公比为()A．2 B．C．2或 D．或【答案】C【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列基本量的运算即得.【详解】设等比数列的公比为，，，可得，解得或.故选：C.题型3等比数列的判定与证明11.若数列成等比数列，则实数b的值为（

）A．－3 B．3 C．±3 D．不能确定【答案】A【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式，求得，进而求得的值.【详解】因为数列成等比数列，设等比数列的公比为，则，解得，所以.故选：A.12.已知各项均为正数的等比数列中,,,则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设公比为（），则已知条件可得，再由可求得答案.【详解】设公比为（），因为，所以，因为，所以，得，所以，故选：C.13．已知等差数列的公差不为且成等比数列，则下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得等差数列的通项公式以及前项和，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等差数列的公差为，由于成等比数列，所以，，，解得或（舍去）.所以.所以，A选项正确.，由于，所以，B选项正确.，，所以C选项正确，D选项错误.故选：D13.若等差数列的公差为(为常数且)，则下列描述正确的是（

）A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为的等比数列【答案】B【分析】利用等差数列的定义可得，进而得到结论.【详解】由题意可知，∴是以为公差的等差数列，故B正确，A错误；当不是常数列时，比如,时，明显不是等比数列，故CD错误.故选：B.14.若是等比数列的前三项，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据等比数列的性质求出，得到首项和公比进而得结果.【详解】由题意得，设等比数列公比为q，所以，故选：B.15.已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比中项即可求解.【详解】由题意可得所以，故，且，故选：D题型4等比数列的性质及其综合运用16.正项等比数列中，，若，则的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】设出等比数列的公比，得到方程，求出公比，从而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】设的公比为，则，因为，所以，解得或（舍去），，故，即，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值等于故选：D17.党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（

）．A．30％ B．35％ C．40％ D．45％【答案】C【分析】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，结合条件可得，进而即得.【详解】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，则2019年引入高科技人才的数量占比为，2022年引入高科技人才的数量占比为，依题意有，且，解得，所以2022年引入高科技人才的数量占比为．故选：C.18.分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知次分形后线段的长度为.【详解】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，则一次分形长度为，二次分形长度为，，次分形后线段的长度为，故5次分形后长度为，故选：C.19.在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解.【详解】解：因为，所以公比，则，时，，时，，又，所以，，，，则，又当时，，所以能使不等式成立的最大正整数是．故选：C．20.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可．【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，则，，解得：，，故选：A【能力提升】单选题1.与的等比中项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用等比中项公式求解.【详解】设与的等比中项为G，所以，故选：D【点睛】本题主要考查等比中项，属于基础题.2.在等比数列中，已知，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】用基本量表示出来可以求；或者考虑下标和公式.【详解】在等比数列中，，解得，则.故选：A.3.在等比数列中，，，则（

）A．12 B．-12 C．±12 D．15【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式性质直接求解.【详解】由等比数列，可知，解得：故选：C.4.等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．20 B．15 C．8 D．【答案】B【分析】由等比数列的性质计算．【详解】是等比数列，则，，，，故选：B．5.在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解.【详解】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值为9；故选：C.6.．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据等比数列和等差数列的下标性质、特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】因为是等比数列，所以，所以，所以.因为是等差数列，所以，所以，所以.所以，所以.故选：A7.已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和（

）A．5 B．45 C．55 D．110【答案】C【分析】设等差数列的公差为d（），由等比中项的性质和等差数列的通项公式求得公差，再由等差数列的求和公式即可求得结果.【详解】设等差数列的公差为d（），由题意知，，，所以，解得或（舍去），所以，所以.故选：C.8.已知等差数列的前项和为，若，，则结论错误的是（

）A．数列是递减数列 B．数列是等比数列C． D．取得最大值时，【答案】C【分析】根据等差数列前项和公式、等差数列的下标性质，结合等比数列的定义逐一判断即可.【详解】由，而，所以，由，设该等差数列的公差为，因为，，所以，因此等差数列是递减数列，因此选项A结论正确；因为常数，所以数列是等比数列，因此选项B结论正确；，所以选项C结论不正确；由，而，所以，而，所以当时，取得最大值，因此选项D结论正确，故选：C多选题9.已知各项均为正数的等差数列，且，则（

）A． B．C．数列是等差数列 D．数列是等比数列【答案】AC【分析】根据等差数列性质可以判断A正确；利用等差数列通项公式可以判断B错误；根据等差数列的概念可判断C，根据特例可判断D.【详解】设等差数列的公差为，对A，因为是等差数列，且，则由等差数列性质可得，故A正确；对B，，则，故B错误；对C，因为，则数列是等差数列，故C正确；对D，如数列为，显然数列不是等比数列，故D错误;故选：AC.10.数列为等比数列，下列命题正确的是（

）A．数列为等比数列 B．若，则C．若，则单调递增 D．若该数列前项和，则【答案】AC【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误.【详解】设等比数列的公比为；对于A，，所以数列为等比数列，A正确；对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确；对于C，因为，所以；当时，由可得，此时；当时，由可得，此时；所以单调递增，C正确；对于D，因为，所以，，，因为为等比数列，所以，即，D不正确.故选：AC.11.已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（

）A．若是等差数列，则B．若是等比数列，则C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或D．若是递增等差数列，对恒成立，则【答案】BC【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前项和求出，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.【详解】因为数列的前项和为，与是方程的两根，由韦达定理得，，，所以解得，或，；对于A选项：若是等差数列，则，故A不正确；对于B选项：若是等比数列，则，因为，所以，则，故B正确；对于C选项：若是递减等差数列，所以，，解得公差，首项，所以，故当或时取得最大值，故C正确；对于D选项：若是递增等差数列，所以，，解得公差，首项1，所以，因为对恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，当且仅当时等号成立，故，则，故D不正确.故选：BC.12.已知数列为等比数列，则（

）A．数列，，成等比数列B．数列，，成等比数列C．数列，，成等比数列D．数列，，成等比数列【答案】BD【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项.【详解】设等比数列的公比为，A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误；B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确．C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误；D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确.故选：BD填空题13.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于.【答案】27【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为，插入的三个数分别为，因为，所以，得，所以，故答案为：2714.已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则.【答案】【解析】根据等差中项和等比中项计算得到，，代入式子化简得到答案.【详解】根据题意：，，故，，故..故答案为：.【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15.设等比数列的前n项和为，且，则．【答案】【分析】由题知当时，，进而结合已知得公比为，再求得即可求解.【详解】解：因为所以，当时，，所以，即，所以，等比数列的公比为，所以，当时，，所以，解得，所以故答案为：16.已知等比数列的前项和为，且，，则．【答案】1【解析】根据题意，利用等比数列的通项公式化简求出公比，即可算出.【详解】解：由于，，且为等比数列，则：，即：，因为：，则：，，即：，又因为：，则：，

.解得：，则：.故答案为：1.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，运用到等比数列的通项公式，考查计算能力.解答题17.已知是等比数列，，且，求【答案】【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】根据等比数列的性质可知：，由于，所以.18.在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求．【答案】(1)；(2)或．【分析】(1)由等比数列的性质可知，，进而可求，然后代入等比数列的通项公式可求；(2)由等比数列的性质可求，然后代入等比数列的通项公式可求．【详解】（1）设等比数列公比为q，则，故，，（2）设等比数列公比为q，则，故或，∴或．19.在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和q；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)；(2)，，或，；(3)9；(4)±4.【分析】(1)；(2)根据等比数列通项公式进行计算即可；(3)；(4)设等比数列公比为q，根据已知条件和等比数列通项公式列出方程组即可求解.【详解】（1）等比数列中，，，；（2）等比数列中，，，，；当时，，当时，