第22章二次函数二次函数的概念与图像讲义人教版数学九年级上册

第1讲二次函数概念与图像【知识点一】二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.例1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+变式1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2变式2．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）（）A．y=13x2 B．y=x2−1 C．y=1x2变式3．若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）变式4．下列关系中，是二次函数关系的是（）A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D．正方形的周长C与边长a之间的关系变式5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数 C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对【知识点二】二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0例2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝﹣x2；④y＝﹣2x2．从图象对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？变式1．将函数y＝kx2与y＝kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（）A． B． C． D．变式2．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）【知识点三】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，例3．二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为（）A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）变式1．抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1变式2．抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，0）变式3．在直角坐标系中画山函数图象，并求出y＝﹣x2+2的对称轴和顶点坐标．变式4．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，求k，a，c的值。【知识点四】函数与函数的图象与性质的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．例4对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为， D．当时，随的增大而减小变式1二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．变式2在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（）A． B． C． D．变式3已知二次函数y=（x+1）2﹣4，写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.作业题1．下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？简要说明理由（1）y＝3（x﹣1）2+2018；（2）y=12x（3）y＝（3x﹣1）2﹣9x2；（4）y=12x2．如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y=2x2；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．当x＝﹣1时，y有最大值是2 C．对称轴是x＝﹣1 D．顶点坐标是（1，2）4．二次函数y＝x2+1的图象大致是（）A． B． C． D．5．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是