矩阵分解在考研线代中的应用

矩阵分解在考研线代中的应用一、矩阵分解是什么？在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。二、什么时候想矩阵分解？矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示

（特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC，其中C是对应的表示系数矩阵（构思）。例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。[相关知识链接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一组数k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,则称β可以被α1，α2，···αn向量组表示。α+2β=α+2β+0γ，向量α+2β可被向量组：α、β、γ表示请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？（一）、矩阵分解在行列式中的应用例.设3阶矩阵A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解B=AC关于C=AB的理解：表示与秩的构思理解角度1：C=AB表示角度结论矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。[对比记忆]：C=AB····即AB=C，对比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。一个具体的解决解决几个问题。同理：对B,C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。例2.由于AB=C，可见C的列向量可由A的列向量表示；又因为B可逆，故A=CB-,再利用一次结论，可见A的列向量可被C的列向量表示；进而C和A的列向量可相互表示，列向量组等价。故选B定理：初等变换不改变矩阵的秩结论：可逆矩阵A可以写成一系列初等矩阵的乘积[α1α2α3，α1+2α2-α3]…→初等列变换→[α1α2α3，o]故：R[α1α2α3，α1+2α2-α3]=R[α1α2α3，o]=R[α1α2α3][A,AB]→[A,O]初等列变换；[Aα1，Aα2]=A[α1，α2]拓展点：矩阵等价与向量组等价的关系，两者没有必然关系（考生易混点）1.向量组等价：向量组能互相表示2.矩阵等价定义：如果矩阵A经过有限次初等变换化为B，则矩阵A与B等价。（文字语言，相应的数学矩阵语言如何表达呢？）判别方法：定理1：A,B是同型矩阵，且秩相等R(A)=R(B)，则矩阵A与B等价定理2：存在可逆矩阵P,Q使得，PAQ=B，则矩阵A,B等价→R(A)=R(B)3.初等变换的几点补充矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，有以下结论：A,B的行向量组等价。A,B的列向量组具有相同的线性关系→求极大线性无关组会用到。齐次方程组AX=0与BX=0是同解方程组分析：表达为数学语言，再利用有关理论研究。矩阵语言：存在初等矩阵P1,P2···Pn,使得：P1P2···PnA=B，由前文的解读分析，可知B的行向量可由A的行向量表示。又由于初等变换中初等矩阵是可逆的。即A=Pn-····P2-P1-B，此时A的行向量又可由B的行向量表示，即A,B行向量能互相表示，进而A,B的行向量组等价。解方程组是利用初等行变换：互换两行，某行K倍，把某一行加到另外一行（消元），不改变方程组的解。即初等行变换是同解变换。A→初等行变换→B，AX=0与BX=0是同解，但AX=C,与BX=C不一定是同解，反例相信你能例举出来。同理可得到初等变换有关结论。4.矩阵等价与向量组等价无必然关系1.矩阵A经过初等变换得到B,C，因此矩阵A,B,C等价；亦可从A、B、C是同型3阶矩阵，且秩相等，故矩阵A、B、C等价。2.矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，此时A的行向量组与B的行向量组能互相表示，即行向量组等价，但B的第1列不可由A的列表示，可见他们的列向量组不等价，因此初等行变换不能推出列向量组等价，但A、B的列向量组线性关系相同，A的第一列和第二列线性无关，B同样。3.矩阵B经过初等列变换得到矩阵C，此时B的列向量组与C的列向量组能互相表示，即列向量等价，但C的第一（三）行不可由B的行表示，可见行向量不等价。但行向量组间线性关系相同。4.可见矩阵等价与向量组等价并没有直接关系。相关链接回顾：利用秩判别向量组相关、无关“三秩相等理论”：R(矩阵A)=R(A行向量组）=R(A列向量组）

向量组相关无关秩的判别理论：若向量组的秩R（A）与向量组所含向量个数的关系，若相等则无关，若不等则相关。

温馨提醒：判别前要先看好是行向量还是列向量Am*n=[a1a2····an]，列向量个数为n个，判别列向量组是否线性无关，即：判别R(A)与列向量组所含向量个数n的关系：①若R(A)=n,则A的列向量组向量无关，②若R(A)＜n,则A的列向量组向量相关同理：判别R(A)与行向量组所含向量个数m的关系，若R(A)=m,则A行向量组无关，否则相关。注意体会里面为什么是判别R(A)与n,R(B)与m？(二）、矩阵分解C=AB在讨论秩中的应用，引申讨论相关无关1.若A是可逆矩阵，则R（AB）=R(ABE)=R(B)；证：单位矩阵召之即来，对比等价的定义；存在可逆A,E使得，ABE=C，则矩阵B与C等价，进而：R(AB)=R(C)=R(B)2.若Am×n矩阵的秩为R(A)=n，即A列向量线性无关，则R(AB)=R(B)证明当A列满秩，则R(AB)=R(B)秩的证明：大小夹或转化为方程组问题（同解问题）只要证明：ABX=0与BX=0同解→解向量含线性无关向量个数相等→秩相等证：设Am×n,Bn×s显然BX=0的解都是ABX=0的解，又因为A列满秩，故齐次方程组AY=0仅有零解，即BX=0，即ABX=0的解也全是BX=0的解，进而同解。S-R(AB)=S-R(B)，证毕。行的时候，转置即列3.R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(A)≤min{mn}“矩阵的秩越乘越小”思考2：ABX=0与BX=0的关系，显然BX=0的解都是ABX=0的解，（部分解不多于全部解），n-R(AB)≥n-R(B)又因为R(A)=R(AT)，转置可得另外一边。#题外话#：≤min{m,n}小于等于最小的，意味着它小于等于每一个，≤m且≤n抽象结合具体理解：3≤min{5,4}，无论4与5谁大，3≤4，3≤5是必然都成立的。[见C=AB秩的构思]：拿到矩阵先看行列数，确定是几阶。先看A,B是否有可逆矩阵（列满秩），若有可逆矩阵（列满秩），则可以得到：C与A或B的确切秩的关系。若A,B条件没有可逆矩阵，则想到“越乘越小理论”：R(AB)≤min{R(A),R(B)}再利用条件和矩阵本身的秩与行列数的性质，R(Am×n)≤min{m,n}，一大一小夹，往往可确定秩的信息。实在不行的时候转为等价方程问题，示AX=C；由此：若C的每一列向量都可以由A的列向量表示，进行矩阵分解C=AB，此时若A列线性无关或可逆，则R(C)=R(AB)=R(B),而其中B是具体的表示系数矩阵，容易判别出秩，由此就可讨论矩阵C的秩，相关无关，可逆与否，行列式。有时候要先做一步拼矩阵的工作。有关C=AB秩的结论，理解记忆即可分析：B的每一列都可由A的列表示，因此可矩阵分解为B=AC，要判别B线性无关，即判别R(B)=3与否？，根据前面定理可知晓:当A列线性无关的时候，R(B)=R(AC)=R(C)当然注意体会证明过程中的越乘越小等结论的运用。例3.分析本题B选项，要判别相关无关，即判别R(····）=4（向量个数）？因此先表达，拼矩阵，再发现矩阵分解的特征，进而B=AC，利用前面的结论：因为A列线性无关，故R(B)=R(AC)=R(C)=4，也可用R(B)=R(EAC)=R(A)=4证明抽象矩阵的秩：一大一小夹法，要会这个定秩。思考题：1.特征值与行列式，矩阵迹，可逆，齐次方程组，二次型的标准型，规范性，正负惯性指数，秩的关系是什么？2.秩可以确定那些东西，与各章如何联系的？具体的怎么求，抽象的怎么求？3.常见的等价表述有哪些？-向量与方程如何联系的？-同一个问题的不同表述有哪些常见的？-常见的文字语言翻译为数学语言：二次型A经过可逆(正交）或初等变换化为二次型B4.思考题5:线性代数中常见的参数预处理有哪些、怎样预处理的？（三）、矩阵分解思想在求特征值特征向量中的应用：An×nα=λα，α≠0的理解思维：只要出现该等式An×nα=λα，α≠0，则立马读出：A的一个特征值是λ，对应的特征向量是α。常见条件设置：方阵A的每一行元素之和为K。（四）、矩阵分解在相似中的应用，P-AP=B,AP=PB读一段评注分析,记一类构思：以后见到此结构要会这种处理。问题：已知抽象可逆P=[α1

α2α3],且f(A)=0关于A的多项式，求P-1AP=B,AP=PB中的B？分析：由于P抽象，坐标未给非具体，因此P逆不可求，故在求B的过程中，要绕开它不求P逆。那又怎样求B呢？答案当然是矩阵分解，实际这个过程的思路是论证如何找到可逆P使得P-AP=对角矩阵过程中用到的。P-AP=B→绕开P逆→变形：AP=PB程序：表达→代入已知条件→矩阵分解为：P？，进而？=BStep1:先表达AP=CStep2:带入已知条件f(A)=0Step3:对C进行矩阵分解为：C=P?，则？=B，C的列向量都可由P的列向量表示，B此时往往就是具体的表示系数矩阵。进而再利用A与B相似，B具体，通过讨论具体B，研究抽象A的行列式，特征值，特征向量，是否可相似对角化问题。例4.2001年数一考题第二问：本题A抽象未给元素，要求抽象矩阵的行列式，利用行列式，矩阵，相似的性质；第一问为第二问服务，提供了A与B相似，若B是具体矩阵，则问题就非常常规基础了，第一问：已知抽象可逆P，其逆无法求，A不知，条件有f(A)=0,要求P-1AP=B的B，要绕开P逆不求。解答：先表达AP=···→带入已知条件f(A)=0→分解出:P?,此时?=B，往往即具体的矩阵。例题5.2005年数四考题例题6.2008年数2、3例题7，