选修不等式选讲

考情快讯·权威解读高考必考热点·解题技法

突破能力梯级提升·思维

高效训练考

情快讯·权威解读高考

必

考热点·解题技法突破能力

梯级提升·思维高效训练考情快讯·权

威解读高考

必考热点·解题技法突破能力梯级

提升·思维高

效训练考

情快讯·权威解读高考

必

考

热

点·解

题技法突破能力

梯

级提升·思维高效训练热点考向1

绝对值不等式的求解【例1】设函数f(x)=|x-2|+x.(1)求函数f(x)的值域；(2)若g(x)=|x+1|，求g(x)<f(x)成立时x的取值范围.【解题指导】(1)先去掉绝对值，将函数转化为分段函数的形式，然后求解；(2)可用零点分析法去掉绝对值，转化为分段函数求解.【规范解答】(1)f(x)=高考必考故f(x)的值域为[2,+∞)．热点·解考情(2)∵g(x)<f(x),题技法快

讯·∴|x+1|<|x-2|+x,突破权威解∴|x-2|-|x+1|+x>0,能力读①当x≤-1时，-(x-2)+(x+1)+x>0,梯级提

升·思∴x>-3,维高效训∴-3<x≤-1.练考情

快

讯·权威解读高

考必考热点·解题技法突破能

力梯级提升·思维高效训练②当-1<x<2时，-(x-2)-(x+1)+x>0,∴x<1,∴-1<x<1.③当x≥2时，(x-2)-(x+1)+x>0,∴x>3,综上,x∈(-3,1)∪(3,+∞).考情

快

讯·权

威

解

读高考

必

考

热

点·解

题技法突破能力

梯

级

提

升·思维高效训练绝对值不等式的分类型求解方法：(1)|ax+b|≤c，|ax+b|≥c型不等式的解法①c>0，则|ax+b|≤c可转化为-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c可转化为ax+b≥c或ax+b≤-c，然后根据a,b的取值求解即可.②c<0，则|ax+b|≤c可转化为Ø，|ax+b|≥c的解集为R.③c=0,则|ax+b|≤0可转化为ax+b=0,然后根据a,b的取值求解即可；|ax+b|≥0的解集为R.考

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必考热点·解题技法突破能力

梯

级

提

升·思

维高效训练(2)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法解决此类含绝对值的不等式的一般步骤为：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根.②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间.③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集.④这些解集的并集就是原不等式的解集.考情

快

讯·权威解读高考必考热点·解题技法突破能力

梯

级

提

升·思

维

高

效

训

练(1)已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].求m+n的值；(2)若函数f(x)=2|x+7|-|3x-4|的最小值为2，求自变量x的取值范围.【解析】(1)由不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1，得1≤x≤2.∴m=1,n=2,m+n=3.考

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必

考

热点·解题技法突破能力

梯

级

提升·思维高效训练(2)依题意，2|x+7|-|3x-4|≥2,∴|x+7|-|3x-4|≥1,当x>

时，不等式化为x+7-(3x-4)≥1，解得x≤5,即

<x≤5,当-7≤x≤

时，不等式化为x+7+(3x-4)≥1，解得x≥

,即

≤x≤

；当x<-7时，不等式化为-x-7+(3x-4)≥1，解得x≥6，与x<-7矛盾.∴自变量x的取值范围为≤x≤5.升·维高效训练热点考向2

与绝对值不等式有关的参数范围问题高考必考热点·考【例2】(2011·福州模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.解题技情快(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3；法突破讯·权威(2)如果关于x的不等式f(x)≤2有解,求a的取值范围.能解读【解题指导】(1)a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|，用零点分析力梯级提法解不等式；(2)可利用绝对值的几何意义求出f(x)的最小值，思然后求a的范围.【规范解答】(1)当a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|.高考

必考由f(x)≥3，得|x-1|+|x+1|≥3.热点·解考情①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3,题技法快讯·即x≤

.突破权威解所以，原不等式的解集为x≤

.能力读②当-1<x<1时，不等式化为1-x+1+x≥3,梯级提

升·思即2≥3.维高

效训所以，原不等式无解.练min③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3,高考必考即x≥热点·解考情快所以，原不等式的解集为x≥题技法突

破讯·权综上，原不等式的解集为威解读(2)因为关于x的不等式f(x)≤2有解，能力梯级所以，f(x)

≤2.提升·思维因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之高效训练和，考

情快讯·权威解读高

考必考热点·解题技法突破能力梯级提升·思维高效训练所以，f(x)min=|a-1|.∴|a-1|≤2,解得，-1≤a≤3.所以，a的取值范围为[-1,3].考

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必

考热点·解题技法突破能力

梯级提升·思维高效训练解决含参数的绝对值不等式问题，常有以下两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围.考

情快讯·权

威

解读高考

必

考

热点·解题技法突破能力

梯

级

提

升·思维高效训练解绝对值不等式时要综合考虑,选择最简捷的解法,“绝对值的几何意义”往往是首选方法.高考必考热点·解考

情设f(x)=ln(|x-1|+m|x-2|-3)(m∈R)．题技法快讯·(1)当m=1时，求函数f(x)的定义域；突破权威解(2)若当1≤x≤

时，f(x)≥0恒成立，求实数m的取值范能力读围．梯级提升·思【解析】(1)当m=1时，|x-1|+|x-2|-3>0，等价于维高效或

或

解得x<0或x∈Ø或x>3，训练故函数f(x)的定义域是{x|x<0或x>3}．(2)当1≤x≤

时，f(x)=ln[x-4+m(2-x)]，高考必f(x)≥0恒成立等价于考热点·解考

情x-4+m(2-x)≥1恒成立，题技法快讯·即

对

x∈[1,

]恒成立，突破权威解令

则g(x)在区间[1,

]是增函数，能力读所以g(x)max=梯级提

升·思维高效所以m≥13，故实数m的取值范围为[13,+∞)．训练高考必考热点考向3

不等式的证明问题热点·解考

情【例3】(2011·宿迁模拟)设f(x)=x2-x+13，实数a满足|x-题技法快

讯·a|<1，求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)．突破权威解【解题指导】因为题目条件中有|x-a|<1,故应考虑先对能力读f(x)-f(a)分解因式，即提取公因式x-a，然后利用绝对值不梯级提

升·思等式的性质证明即可.维高效训练高考必考【规范解答】∵f(x)=x2-x+13，热点·解考情∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|题技法快讯·=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|,突破权威解又∵|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|能力读<1+|2a|+1=2(|a|+1)．梯级提

升·思所以不等式成立.维高效训练考情

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必考热点·解题技法突破能力

梯

级提升·思维高效训练证明不等式的基本方法：(1)证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法.(2)不等式证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结考情

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梯级提升·思维高效训练论中考察.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.存在性、惟一性等问题或题目中带有“至少有一个”、“至多有一个”、“不能都”等字样的问题,都可以用反证法.高考必考热点·解考情设x,y,z为正数，证明：2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+题技法快讯·z2(x+y).突破权威解【证明】因为x2+y2≥2xy＞0,能力读所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y).梯级提升·同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x).思维高效三式相加即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x).训练考情快

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必

考

热

点·解题

技法突破能力

梯

级

提

升·思

维高效训练又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y),所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).考情

快

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必

考

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点·解题技法突破能力

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级

提

升·思维高效训练热点考向4

不等式的综合问题【例4】(10分)(2011·新课标全国卷)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3x+2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值.考情

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梯

级提升·思维高效训练【解题指导】第(1)问，将a=1代入函数f(x)解析式，利用解绝对值不等式的公式求解，第(2)问f(x)≤0⇒|x-a|+3x≤0，然后分x≥a和x＜a两种情况去掉绝对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得f(x)≤0的解集，最后利用待定系数法求得a的值.考

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突破能力

梯级提升·思维高效训练【规范解答】(1)当a=1时，f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.……………………1分由此可得x≥3或x≤-1.

……2分故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.…………3分考

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必

考

热点·解题技法突破能力

梯级提升·思维高效训练(2)由f(x)≤0得,|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组或

……………5分即

或

…………6分因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤

}……………8分由题设可得

=-1，故a=2.………………10考

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考必考热点·解题技法突破能力

梯级提升·思维高效训练解不等式的基本思路：解不等式的基本思想是转化、化归.不等式的性质是实现“转化”的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解，特别是含有参数的不等式