高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线适考素能特训 文-人教版高三全册数学试题

专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线适考素能特训文一、选择题1．[2015·陕西质检(一)]已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D．2答案B解析因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝eq\f(p,2).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－\f(p,2)＝0,y2＝2px))得，x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝eq\f(3,2)，故选B.2．[2016·沈阳质检]已知P是双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))的值是()A．－eq\f(3,8) B.eq\f(3,16)C．－eq\f(\r(3),8) D．不能确定答案A解析令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是eq\f(x,\r(3))－y＝0，eq\f(x,\r(3))＋y＝0，所以可取|PA|＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,\r(3))－y0))),\r(\f(1,3)＋1))，|PB|＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,\r(3))＋y0))),\r(\f(1,3)＋1))，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)，所以eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))＝|eq\o(PA,\s\up16(→))|·|eq\o(PB,\s\up16(→))|·cos∠APB＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),3)－y\o\al(2,0)))),\f(4,3))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,8)，选A.3．[2016·南昌三模]已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2)＋2 B.eq\r(5)＋1C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(2)＋1答案D解析本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，又因为AF⊥x轴，所以点A的横坐标为eq\f(p,2)，因为点A为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A位于第一象限，则yA＝eq\r(2pxA)＝p，即点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，又因为点F为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c＝eq\f(p,2)，则点A的坐标为(c,2c)，代入双曲线的方程得eq\f(c2,a2)－eq\f(4c2,b2)＝1，结合c2＝a2＋b2，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，解得双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)＋1，故选D.4．[2016·黄冈质检]在以O为中心，F1，F2为焦点的椭圆上存在一点M，满足|eq\o(MF1,\s\up16(→))|＝2|eq\o(MO,\s\up16(→))|＝2|eq\o(MF2,\s\up16(→))|，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(2),4)答案C解析延长MO与椭圆交于N，因为MN与F1F2互相平分，则四边形NMF1F2为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＋|NF1|2＋|NF2|2，又|MF1|＋|MF2|＝2|MF2|＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝eq\f(2,3)a，|NF2|＝|MF1|＝eq\f(4,3)a，|F1F2|＝2c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2＋(2c)2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，故e＝eq\f(\r(6),3).5．[2016·重庆测试]若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(3,2) D.eq\r(3)答案B解析由题意知c＝3，∴e＝eq\f(3,a)，∴a越大e越小，而双曲线为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,9－m)＝1，把直线y＝x－1代入化简整理得(9－2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0，由Δ＝0得m＝5，于是a＝eq\r(5)，e＝eq\f(3,a)＝eq\f(3\r(5),5)，故选B.6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系xOy中，以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(5)－1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))答案A解析本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率．由题意可得，圆心Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，r＝eq\f(b2,a)，由三角形ABC是锐角三角形得∠BAC<90°，则c＝r·coseq\f(∠BAC,2)>r·cos45°，即c>eq\f(\r(2),2)r.又依题意c<eq\f(b2,a)，即eq\f(\r(2),2)<eq\f(c,\f(b2,a))<1，化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＋\r(2)ac－a2>0，,c2＋ac－a2<0，))两边同时除以a2，关于离心率e的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e2＋\r(2)e－1>0，,e2＋e－1<0，))解得eq\f(\r(6)－\r(2),2)<e<eq\f(\r(5)－1,2)，故选A.二、填空题7．[2016·唐山统考]焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．答案eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1解析设所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝－λ(λ>0)，即eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案eq\f(9,4)解析易知直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，与y2＝3x联立并消去x，得4y2－12eq\r(3)y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3eq\r(3)，y1y2＝－eq\f(9,4).S△OAB＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(3,8)eq\r(27＋9)＝eq\f(9,4).9．[2015·山东莱芜一模]已知圆G：x2＋y2－2eq\r(2)x－2y＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M(m,0)(m>a)，倾斜角为eq\f(2π,3)的直线l交椭圆于C，D两点，若点N(3,0)在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(2\r(30),3)))解析∵圆G：x2＋y2－2eq\r(2)x－2y＝0与x轴，y轴交点为(2eq\r(2)，0)和(0,2)，∴c＝2eq\r(2)，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12，∴椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，设直线l的方程为y＝－eq\r(3)(x－m)(m>2eq\r(3))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得10x2－18mx＋9m2－12＝0.由Δ＝324m2－40(可得－eq\f(2\r(30),3)<m<eq\f(2\r(30),3)，∴2eq\r(3)<m<eq\f(2\r(30),3).设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝eq\f(9m,5)，x1·x2＝eq\f(9m2－12,10)，eq\o(NC,\s\up16(→))·eq\o(ND,\s\up16(→))＝(x1－3，y1)·(x2－3，y2)＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝4x1x2－(3m＋3)(x1＋x2)＋9＋3化简得2m2－9m＋7>0，解得m>eq\f(7,2).∴m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(2\r(30),3))).三、解答题10．[2016·贵阳质检]设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且eq\o(PF1,\s\up16(→))·eq\o(PF2,\s\up16(→))的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S解(1)设P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up16(→))＝(－c－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up16(→))＝(c－x，－y)，∴eq\o(PF1,\s\up16(→))·eq\o(PF2,\s\up16(→))＝x2＋y2－c2＝eq\f(a2－1,a2)x2＋1－c2，x∈[－a，a]，由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程eq\f(x2,2)＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(化简得m2＝2k2＋1.设d1＝|F1M|＝eq\f(|－k＋m|,\r(k2＋1))，d2＝|F2N|＝eq\f(|k＋m|,\r(k2＋1)).①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，∴|MN|＝eq\f(1,|k|)·|d1－d2|，∴S＝eq\f(1,2)·eq\f(1,|k|)·|d1－d2|·(d1＋d2)＝eq\f(2|m|,k2＋1)＝eq\f(4|m|,m2＋1)＝eq\f(4,|m|＋\f(1,|m|))，∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋eq\f(1,|m|)>2，即S<2.②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.11．已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝eq\f(9,2).(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C的准线为l，焦点为F，点P为直线m：x＋y－2＝0上的动点，且点P的横坐标为a，试讨论当a取不同的值时，圆心在抛物线C上，与直线l相切，且过点P的圆的个数．解(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px，得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(9p,4)＝eq\f(9,2)，∴p＝2，∴抛物线C的方程是y2＝4x.(2)解法一：由题意知l：x＝－1，F(1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与直线l相切，则圆过焦点F，又圆过点P，∴圆心在线段PF的中垂线上，设P(a,2－a)，则线段PF中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)，\f(2－a,2)))，当a≠1，a≠2时，kPF＝eq\f(2－a,a－1)，∴线段PF的中垂线方程为y＝eq\f(a－1,a－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋1,2)))＋eq\f(2－a,2)，化简得y＝eq\f(a－1,a－2)x＋eq\f(－2a2＋4a－3,2a－2)①圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将x＝eq\f(y2,4)代入①得eq\f(a－1,4a－2)y2－y＋eq\f(－2a2＋4a－3,2a－2)＝0，判别式Δ＝1－4·eq\f(a－1,4a－2)·eq\f(－2a2＋4a－3,2a－2)＝1＋eq\f(a－12a2－4a＋3,2a－22)＝eq\f(2a－22＋2a3－6a2＋7a－3,2a－22)＝eq\f(2a3－4a2－a＋5,2a－22)＝eq\f(a＋12a2－6a＋5,2a－22)，∴当a＝－1时，交点有1个，圆有1个；当a<－1时，交点有0个，圆有0个；当a>－1且a≠1，a≠2时，交点有2个，圆有2个．而当a＝2时，易验证有2个交点，圆有2个；当a＝1时，易知交点有1个，圆有1个．综上所述：当a<－1时，圆有0个；当a＝±1时，圆有1个；当a>－1，且a≠1时，圆有2个．解法二：设圆心Q(x0，y0)(yeq\o\al(2,0)＝4x0)，P(a,2－a)，由于准线l：x＝－1，故若存在圆Q满足条件，则r＝|PQ|＝eq\r(x0－a2＋y0＋a－22)，且r＝|x0＋1|，∴(x0－a)2＋(y0＋a－2)2＝(x0＋1)2，即a2＋yeq\o\al(2,0)＋2(a－2)y0＋(a－2)2＝(2＋2a)x0＋1＝(2＋2a)eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1，整理得(1－a)yeq\o\al(2,0)＋(4a－8)y0＋4a2－8a＋6＝0(*)，当a＝1时，(*)式即－4y0＋2＝0，有1个解．当a≠1时，(*)式中Δ＝(4a－8)2－4(1－a)(4a2－8a＋6)＝16a3－32a2－8a＋40＝8(a∵2a2－6a＋5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,2)))2＋eq\f(1,2)>0，∴当a>－1时，Δ>0，(*)式有2个解；当a＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解；当a<－1时，Δ<0，(*)式无解．综上，当a<－1时，圆有0个；当a＝±1时，圆有1个；当a>－1，且a≠1时，圆有2个．12．[2016·山西太原二模]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq\r(6)＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，直线AE与x轴相交于点Q，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求eq\o(OM,\s\up16(→))·eq\o(ON,\s\up16(→))的取值范围．解(1)∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a2＝b2＋c2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).据另一个题设条件得：b＝r＝eq\f(\r(6),\r(12＋－12))＝eq\r(3).∴a＝2，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设B(x1，y1)，E(x2，y2)，据题意A(x1，－y1)，且y1≠0.设直线PB的方程为x＝my＋4，把它代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，∴y1，y2是该方程的两根，∴y1＋y2＝－eq\f(