2022年甘肃省合水县高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列判断错误的是()

A.若随机变量J服从正态分布N(l,cr2),P(gw4)=().78,则2)=0.22

B.已知直线/，平面。，直线“//平面£,贝是“/_Lm”的充分不必要条件

C.若随机变量J服从二项分布：则E(4)=l

D.am>bm是a>b的充分不必要条件

2.设全集U=R,集合A={x[(x—l)(x—3)20},8=<幻(；]>；..则集合也等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

UUUU1UUL1，・..

3.在AABC中，点O是线段5c上任意一点，2AM=A£>，BM=AAB+^iAC,则彳+〃=()

11

A.----B.-2C.-D.2

22

4.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎，个位

数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则%+>=()

21

5.已知实数满足a+仁5,则一+；—的最小值为（）

ab-1

43+2返„3+4行八3+272八3+4拒

A.----------B.------------C.------------D.------------

4466

6.由曲线>=*2与曲线中二》所围成的平面图形的面积为（）

124

A.1B.-C.一D.-

333

7.已知复数z二言,则忖=()

A.1+zB.1-zc.V2D.2

8.若不等式2xlnx…-炉+"对XG[1,+OO)恒成立，则实数4的取值范围是()

A.(-℃,0)B.C.(0,+oo)D.[1,+℃)

9.已知集合4={刈-2<%<3,犬€?/},8={》|尤2>1}4，则集合人口8=()

A.{2}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,0,1,2)

10.已知函数y=log“（x+c）（«,c是常数，其中a>0且的大致图象如图所示，下列关于a,c的表述正

确的是（）

A.a>\,c>lB.a>\,0<C<1

C.0<a<l,olD.0<a<l,0<c<l

11.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等;

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

12.执行如图所示的程序框图，则输出的5=（）

2]_

A.2B.3D.

32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝的前〃项和为5,,=2田+“，且6,4，%一2成等差数列，2=，数列出｝的前

(4T)(%+iT)

2017

项和为刀,，则满足Tn>――的最小正整数几的值为—

2（）18

14.在等比数列｛%｝中，a3a4%=64,%=8,则生=

15.若四棱锥P-ABCD的侧面P4B内有一动点Q,已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k,

且动点。的轨迹是抛物线，则当二面角P-AB-C平面角的大小为30。时，《的值为.

16.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为A,B,C三组，其人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方

法从总体中抽取一个容量为20的样本，若。组中甲、乙二人均被抽到的概率是《，则该部门员工总人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设点6（-c,0）,6（。,0）分别是椭圆。：三+9=1（4>1）的左、右焦点，为椭圆C上任意一点，且

西・%的最小值为

（1）求椭圆。的方程;

（2）如图，动直线/：y="+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M,N是直线/上的两点，且入N_U,

求四边形F,MNF2面积S的最大值.

x=——t

2

18.(12分)在平面直角坐标系X0y中，己知直线/:《厂a为参数)，以坐标原点。为极点，X轴的非负半

y=l+£

I2

轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=2cos8.

(1)求曲线。的直角坐标方程；

(2)设点"的极坐标为直线/与曲线C的交点为A5,求+的值.

22

19.(12分)如图,设点居(1,0)为椭圆E:[+与=l(a>0>0)的右焦点，圆C:(x-a)2+y2=a2,过工且斜率为

a~b~

左色>0)的直线/交圆。于A,6两点，交椭圆E于点P,。两点，已知当女=出时，AB=2瓜

(2)当左时，求AP。。的面积.

20.(12分)在AABC中，A、B、C的对应边分别为a、b、c,已知。=2,c=26,cosC=-1.

(1)求A；

(2)设M为BC中点，求AM的长.

21.(12分)在三棱柱ABC-AfG中，AB=2,BC=BBt=4,ACAB,=275,且N3C£=60°.

(1)求证：平面ABC1，平面BCG百；

(2)设二面角C-AC-B的大小为。，求sin。的值.

22.(10分)如图，在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱A3CO-4&G。中，P是侧棱CG上的一点，CP=m.

（1）若m二四,求直线AP与平面所成角；

3

（2）在线段AG上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数胆，都有QQ^AP,并证明你的结论.

参考答案

-、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四

个选项加以分析判断，进而可求解•

【详解】

对于A选项，若随机变量J服从正态分布N（1，〃），P（G4）=O.78,根据正态分布曲线的对称性，有

P（^<-2）=P（^>4）=l-P（^<4）=l-0.78=0.22,故A选项正确，不符合题意；

对于B选项，已知直线^平面&，直线“〃平面夕，则当P时一定有/,机，充分性成立，而当机时，不

一定有a/R,故必要性不成立，所以，，a〃夕,是“3加’的充分不必要条件，故B选项正确，不符合题意；

,则E（4）=〃P=4x；=l,故C选项正确，不符合题意;

对于C选项，若随机变量4服从二项分布：4〜

对于。选项，w，仅当加>0时有〃>人,当〃2<0时，a>b不成立,故充分性不成立；若a>b,仅当/”>0

时有am>bm,当〃?<0时，4加>Zwz不成立，故必要性不成立.

因而atn>bm是a>b的既不充分也不必要条件，故。选项不正确，符合题意.

故选：D

【点睛】

本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查

理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.

2.A

【解析】

先算出集合华人，再与集合8求交集即可.

【详解】

因为A={x|xN3或XK1}.所以0,A={x|l<x<3},又因为5={x|2,<4}={x|x<2}.

所以@A)c8={x[l<x<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.

3.A

【解析】

设BL)=kB(j，用无瓦恁表示出两，求出的值即可得出答案.

【详解】

设丽=面=攵前—《而

UULUlULU

由2AM=AD

.-.BM^-(BA+BD\^-^-AB+^AC--AB

2、;222

,1kk

I——

,1

A+JJ.=-].

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.

4.D

【解析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.

【详解】

由茎叶图知，甲的中位数为80+x=86,故x=6；

乙的平均数为78+82+8。+），+89+91+93+97=88

7

解得y=6,所以x+y=12.

故选：D.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.

5.A

【解析】

21121

所求Z+口的分母特征'利用变形构造a+S-D=4,再等价变形a与+^^+s-D],利用基本不

等式求最值.

【详解】

解：因为。＞0力＞1满足a+/?=5,

则＞£=G+£）[“+（j）]+

++」（3+2®

4[ab-\\4

当且仅当2（'-1）=’一时取等号,

ah-\

故选：A.

【点睛】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的

技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的

定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

6.B

【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.

【详解】

玉—0%2=1

联立方程：V=X可得：\

y'=x

结合定积分的几何意义可知曲线了=必与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为：

S=Jo(4—"2)公=-X2--%3lo=-.

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.

7.C

【解析】

根据复数模的性质即可求解.

【详解】

Qz={

l+z

#|=包=去0，

11ll+zlV2

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

8.B

【解析】

转化2xlnx…+ox,xe[l,+8)为“，21nx+x,构造函数〃(x)=21nx+x,xe[l,+oo),利用导数研究单调性，求

函数最值，即得解.

【详解】

由2xlnx…-x?+ax,xe[l,+oo),可知凡2\nx+x.

,2

设〃(x)=2Inx+x,xe[1,+oo),则〃'(x)=—+1>0,

x

所以函数%(X)在[1,4W)上单调递增，

所以〃(X)min=〃⑴=1•

所以④h(x)min=1.

故。的取值范围是(Fj.

故选：B

【点睛】

本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

9.A

【解析】

化简集合A,8,按交集定义，即可求解.

【详解】

集合A={x|-2<x<3,xeN}={0,1,2},

B={x[x>l嵌<一1},则4口8={2}.

故选:A.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

10.D

【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.

【详解】

从题设中提供的图像可以看出0<a<l/og.C>0,log“(1+c)>0,

故得0<c<l,0<a<l,

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.

11.B

【解析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对

④进行判断.

【详解】

①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.

故选：B

【点睛】

本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能

力，考查数形结合思想，化归与转化思想.

12.B

【解析】

运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.

【详解】

起始阶段有，=1,S=3,

第一次循环后5=工=-<，1=2,

1-32

A0=-----1---=一2

第二次循环后.13,1=3,

1H-

2

S=_L=3

第三次循环后।j=4,

1------

3

第四次循环后5=丁1=-！，j=5,

1-32

所有后面的循环具有周期性，周期为3,

当i=2019时，再次循环输出的S=3,1=2020,此时2020>2019,循环结束，输出S=3,

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

S.,n=1

本题先根据公式°c初步找到数列｛4｝的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得'〃的值，即可

确定数列｛4｝的通项公式,代入数列仍“｝的表达式计算出数列仍,｝的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前项和T„,

2017

再代入不等式7；>茄布进行计算可得最小正整数"的值.

【详解】

由题意，当〃=1时，％=S[=+〃2=4+m.

当儿.2时，%=S〃一S,j=2H+,+机一2n-m=2〃.

贝!]q=24=16,—2=25—2=30.

・.・q,%，%一2成等差数列，

4+%-2=2%,即4+771+30=2x16,

解得m=-2.

4=2.

n

an=2,nwN*.

.入—______册______—______2__〃__________1_____1__

""(2H-l)(2"+l-l)~2n-l2"+|-1'

Tn=4+4+...+hfj

=---1--------1------1--------1----------p-I-----1----------1----

2,-122-122-123-12”—12,,+|-1

=1——J—.

2“+1一1

2017.12017

'”>2018'"-2,,+|-1>2018'

11

即nn——：——<------,

2,,+1-12018

.•.2,,+|-1>2018.即2'用>2019,

•.-210=1024<2019.2"=2048>2019.

n+1..11,即

2017

，满足Tn>丝」的最小正整数"的值为1.

"2018

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前“项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思

维能力和数学运算能力.

14.1

【解析】

设等比数列｛%｝的公比为4,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得///=1即

可.

【详解】

设等比数列｛《,｝的公比为夕.由。3a4%=64，得（4）'=64,解得q=4.又由%=8，得勺=8=2.则

%

44

>

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

1

15.-

2

【解析】

二面角P-AB-C平面角为出点Q到底面ABC。的距离为点。到定直线4?得距离为d,则4=幽.

sin。

再由点。到底面ABC。的距离与到点P的距离之比为正常数A,可得|PQ|=@",由此可得sin9=攵，则由

k

cos0=cos30°=—可求"值.

2

【详解】

解：如图，

设二面角P-AB-。平面角为。，点。到底面ABC。的距离为|Q"|,

点。到定直线A8的距离为d,贝！||QH|=dsin6,即1=刨.

sin。

丁点。到底面ABC。的距离与到点P的距离之比为正常数A,

...用=3则IP@=噌,

•••动点。的轨迹是抛物线，

：.\Pa=d,即幽=幽则sin9=A.

11ksin©

二二面角P-AB-C的平面角的余弦值为cos6=J1—sii?6=J1—二=cos300=

解得：k=-(k>0).

2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.

16.60

【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由c组中甲、乙二人均被抽到的概率是：可求得C组的总人数,

即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

AB,。三组人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，

则AB,。三组抽取人数分别10,6,4.

C2121

设C组有〃人，则。组中甲、乙二人均被抽到的概率U=1—八=77，

解得〃=12.

12

•••该部门员工总共有5x(5+3+2)=60人.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y+y2=l；(2)2.

【解析】

(1)利用两•两■的最小值为1,可得药•%=/+卜2-2=土?炉+1-2,xe[-a,a],即可求椭圆C的

a'

方程；

(2)将直线/的方程、="+〃，代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线/与椭圆C仅有一个公共点

知，A=0即可得到外人的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到&=出训，d2=\F2M\.当ZHO时，设直

线/的倾斜角为氏贝ij|4-4|TMN|x|tanq,即可得到四边形耳”叫面积S的表达式，利用基本不等式的性质，

结合当％=0时，四边形片MNE是矩形，即可得出S的最大值.

【详解】

(1)设P(x,y),则耳P=(x+c,y),F2P=(x-c,y),

2i

:.PF\*PF\^x2+y2-c2=^-x2+l-c2,xe[-a,a],

a~

由题意得，1—c2=0nc=lnq2=2,

2

椭圆C的方程为x*+y2=l；

2

(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程V+2V=2中，

得(2左2+1b2+4A777X+2/712-2=0.

由直线I与椭圆C仅有一个公共点知，△=16公机2一4(2公+l)(2m2-2)=0,

化简得：m2=242+1.

当左。0时，设直线/的倾斜角为6,

则|4—4|=|M7V|x|tanq,

•」MN|=/4-4|,

•'•舐白'也一4卜回+引=^^，

4|长|K,十1

一―2|同=4M=4

222

,.,nr=2k+\>k+]m+1।1m।,|+H1

；•当/HO时,帆>1,帆+而j>2,

：.S<2.

当人=0时，四边形片根死是矩形，5=2.

所以四边形F,MNF?面积S的最大值为2.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的

性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想.

18.(1)(%-1)2+/=1(2)73+1

【解析】

X-OCOS0

(1)由公式｛.八可化极坐标方程为直角坐标方程；

y=psin3

(2)把M点极坐标化为直角坐标，直线/的参数方程是过定点”的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C的方

程，利用参数/的几何意义求解.

【详解】

解：(1)C:p=2cos。，贝(]0?=2pcos。，，/+,2=2%,

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(X-+V=1

(2)点Mpg

的直角坐标为M(0,1),易知Me/.设AB对应参数分别为八,t2

1

x-——t

2

将/：｛r与。：/+丁2-2%=0联立得

I2

厂++1)(+1=0,Z)+(2=~>/3-1,,(2=1；.：<0,f,<0

\MA\+\MB\=\ti\+\t2\=\tl+t2\=y/3+l

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，,解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两

点间距离问题.

2240

19.(1)匕r+匕v=1(2)—

989

【解析】

|岛-闽

再根据AB=2A/6得到6+3(aT)=/,解之即得a

4

l，-|\再求得APQC的面积

的值，再根据c=l求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出P

⑴因为直线/过点6(1,0),且斜率k=

所以直线/的方程为y=G(x—l),即百x—y-百=0,

所以圆心C(a,O)到直线I的距离为

又因为A5=2#,圆C的半径为“，

2

即1、/AB丫,22Hn3（«-1）2

所以|——+d=a'>即6+=......-=a>

I2）4

解之得，a=3或a=—9（舍去）.

所以〃—a'—c1=8»

22

所以所示椭圆E的方程为工+汇=1.

98

(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为根:x=9,离心率e=£=!，

a3

10

则点p到右准线的距离为a=丝=孑=io,

e1

3

r2v28

所以9一%=10,即％=1,把全=-1代入椭圆方程］+1_=1得，%=±§，

因为直线/的斜率%>0,

所以孙=一3，；，,1,一|)

因为直线/经过鸟(1,0)和P，l,-|

4

所以直线/的方程为y=§(x-l),

y=*T）,

联立方程组《

22得3/_4》一7=0,

xy1

I98

7

解得x=T或%=§,

716

所以。

x

所以APQC的面积S=-CF2-yP）=—2xf—+-j=—0

【点睛】

本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和分析推理计算能力.

20.(1)30。；(2)币.

【解析】

(1)直接根据特殊角的三角函数值求出C,结合正弦定理求出A；

(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.

【详解】

解：(1)VcosC=-->且0<C<7T,...C=120。，由正弦定理」一=」一

2sinAsinA

--2--=------,..sinA4=一1,

sinAsin12002

VC=120°

二A锐角，，A=30°

(2)TA=30°,C=120°

=l+4-2x2xlx^--j

=7

:.AM=不

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

21.(1)证明见解析；(2)叵.

4

【解析】

(1)要证明平面ABGJ•平面BCC4,只需证明平面BCC4即可

(2)取CG的中点O,连接80,以8为原点，以前，BB],丽的方向分别为x,j,z轴的正方向，建立空间直

n•BC

利用夹角公式，麻)=}

角坐标系，分别计算平面ACC,A的法向量为n与平面ABC；的法向量为麻,cos,眄计

算即可.

【详解】

(1)在AABC中，AB2+BC2=20=AC2,

所以—ABC=90',即ABLBC.

因为=AC=ABt,AB=AB>

所以AABC丝AAB4.

所以/ABB】=NABC=90,即AB_LBBt.

又BCnB4=8,所以AB,平面BCC4.

又ABl平面ABC-所以平面ABG_L平面3CG4・

(2)由题意知，四边形BCGg为菱形，且4CG=60,

则ABCG为正三角形，

取CC的中点。，连接50,则BDLCG.

以B为原点，以丽，BB；,丽的方向分别为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系盯z,则

5(0,0,0),耳(0,4,0),A(0,0,2),0(26-2,0),C,(2^,2,0).

设平面ACC.A的法向量为n=(x,y,z),

且恁=（23-2,-2）,cq=（0,4,0）.

由覆晨得般『y=（L°网

由四边形BCCM为菱形，得BJ1BC；

又AB_L平面8CC4,所以A3,8。；

又ABCBCQB,所以4C_L平面

所以平面ABC]的法向量为（273,-6,0）.

故sin"走.

4

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量