2023年山东省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学试卷（含解析）

2023年山东省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟

数学

（考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.设全集。=1<,集合A={x|-l<x<2},8={x|x>l},则图中阴影部分表示的集合为（)

{x|-l<x<l}D.{x|-l<x<2}

2.若复数z满足(2—i)z=i2m,则z=()

3.已知awR,则“a=-1”是“>-i+g-Di为纯虚数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.如图，点A,8在函数y=log2X+2的图象上，点c在函数y=log2X的图象上，若△ABC

为等边三角形，且直线BC〃y轴，设点A的坐标为（九"），则机=（）

A.2B.3C.丘D.73

5.为了得到曲线y=cosx,只需把曲线y=sin（2x+/J上各点的横坐标伸长到原来的2倍,

纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移（）

A.三个单位长度B.丁个单位长度

C.?个单位长度D.二个单位长度

/、8

6.（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））%___的展开式中

日

Ny2的系数为

A.70B.80

C.-1D.-80

7.若tana,tan夕是方程f-6x+7=0的两个根，则tan(a+/?)=()

A.-1B.1C.-2D.2

；V2Lh

8.己知产是双曲线C：r-2=l(“>0/>0)的右焦点，点A(0,&),连接所与渐近线丫=—x

a-b-a

交于点M,kAt.-kOM=-2,则C的离心率为（）

A.&B.38C.好D.叵

223

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,

有多个选项符合要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。

9.下列命题为真命题的是（）

A.ac2>be2,贝

9

B.函数y=hir+"—中最小值为6

Iinx

C.若a>0,b>0,则向之上

a+b

D.若a>6>0,则

Igb

10.在平面直角坐标系X。），中，A（u）、6（—1,0）、鸟（1,0）,动点仕满足|P耳|+山闾=4,

则（）

A.|阳+|尸制<5

B.|M+|P闾>1

C.有且仅有3个点尸，使得VPAK的面积为3:

D.有且仅有4个点户，使得△PAg的面积为g

II.已知等差数列｛”“｝的首项为1,公差为d(deN*),若81是该数列中的一项，则公差d可

能的值是()

A.2B.3C.4D.5

12.对于定义域为。的函数/(x),若存在区间的，川之。，同时满足下列条件：①/Xx)在

［m,网上是单调的；②当定义域是［加,川时，f(x)的值域也是［如n］,则称［加，川为该函

数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间''的有()

2/、

A.f(x)=2x3+lB./(x)=-C.f(x)=ex-2D./(x)=lnx4-l

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.不共线的三个平面向量两两的夹角相等，且I沁M=1,同=4.则K+5+W=.

14.关于函数/(x)=『+；x-7,有如下四个结论：

①函数〃x)不仅有极小值也有极大值；

②的在x=0处的切线与9y-x+l=0垂直；

③若函数g(x)=〃xi有三个零点，则&H；

④若xw［0j］时,④x)111ax吟,则f的最小值为3.

其中所有正确结论的序号是.

15.已知三棱锥A-AC。中，侧棱ZIA，底面AC。，ADLCD,AA,=AD=CD=2,则三

棱锥A-AC。的外接球的表面积为.

16.己知尸是抛物线丁=©的焦点，过歹作一直线/交抛物线于A8两点，若丽=3而，

则直线/与坐标轴围成的三角形的面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17.在AABC中，"c分别为内角A,8,C的对边，且2osinA=(2Z?+c)sin8+(2c+0)sinC.

(I)求A的大小；

(II)求sinB+sinC的最大值.

18.某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄

花的概率都是从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是g,开黄花的

概率是彳2，若上一代开黄花，则这一代开红-花的3概率4是开黄花的概2率是《，记第〃代开

红花的概率是P,,第〃代开黄花的概率为必，

(1)求。2；

(2)试求数列{2}(〃£%+)的通项公式；

(3)第〃(〃6乂,〃上2)代开哪种颜色的花的概率更大.

19.四棱锥中，四边形48C。是矩形，平面ECOJ_平面A8CD,四棱锥

的体积为12,AABE的面积为6点，平面平面8CE,且8C=3.

(1)求C到平面ABE的距离；

⑵求二面角3-AE-C的余弦值.

20.中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种

子选手M与用，层，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M

获胜的概率分别3为彳2，；I，且各场比赛互不影响.

432

(1)若“至少获胜两场的概率大于5，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不

予入选，问M是否会入选最终的大名单？

(2)求M获胜场数X的分布列和数学期望.

丫2v2

21.如图，椭圆C：q+2=l(a>6>0)的上、下顶点分别为A,B,右焦点为F,点尸在

ah'

椭圆C上，且OPJL4F.

(1)若点P坐标为(1,6),求椭圆C的方程;

(2)延长AF交椭圆C与点。，若直线。尸的斜率是直线BQ的斜率的3倍，求椭圆C的离心

率；

(3)是否存在椭圆C,使直线质平分线段OP?

22.己知函数/(%)=xlnx.

(1)求曲线y=〃x)在点(1J(1))处的切线方程;

(2)当f(x)<ax2-a,求a的取值范围.

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数学.参考答案

1.c

解析：•.•全集U=R,集合A={x|-l<x<2},8={x|x>l},

所以①8={x|x41}

,图中阴影部分表示的集合为：Ap|(^e)=k|-l<x<2}Q(A^j)=k|-l<x1).

故选：C.

2.B

j2O22i22+i21.

解析：由(2-1”=遭2得:z------=------------1

2-i2-i2-i(2T)(2+i)55,

故选：B.

3.C

解析：。2一1+(。-1»为纯虚数可得。2—1=0,。—1工0.。=-1,所以“。=—1，,是“。2一1+(。一1»

为纯虚数”的充要条件

考点：充分条件与必要条件

4.D

解析：根据题意，设3(%，2+log2x0),A(m,n),C(x0,log2x0),

•・・线段8C//y轴，❷川?。是等边三角形，

n2

ABC=2,2+log2w=z?,..m=2',:Am=T;

又X。-m=币,/n=x0-73,

;.Xo=m+6;X2+log2x0-w=l,

「.log?%)=〃-1,x0=2"T；

:.m+6=2'i；2m+2/=T=4m,

m=，

故选：D.

5.A

解析：把〉=血（2*+.）上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

再把得到的曲线），=揄向右平移三个单位长度,

得到曲线―中+V-引,

gpy=cosx,

故选：A.

6.A

8

（\8-r/丫8_3

解析：因为［亍一句的展开式的通项公式为“C；年）［-定J=C；（T）'x丁尸

令8-；「=3芸=2,得/■=%所以N炉的系数为C；（-l?=70.故选A.

7.A

解析：由于tana,由夕是方程f-6》+7=0的两个根,

所以tana+tan4=6,tana•tan4=7,

tana+tan,61

所以tan(a+£)=-------------------=—=-1

1-tancr-tanfi-6

故选：A

8.A

解析：由题可知，尸（c,0）,所以直线4尸的方程为y=-叵x+技.

C

:.&-0=2ac,同除/可得：,♦.戊2-20-行=0

解得2=6或2=（舍）.

3

故选：A.

9.AC

解析：由ac2>be2可得c?〉。，所以。>Z?,A对，

I,,Q

当工=-时，函数y=lnx+*；—的函数值为-10,故B错，

eInx

r\t

当a>0,6>0时，a+b>2^b>所以，vW而，C正确,

a+h

取a=2,6=《，则兽=T，D错,

2Igb

故选：AC.

10.BC

解析：因为|P制+|帆|=4>忻闾=2,

所以，点户的轨迹是以点”、尼为焦点，4为长轴长的椭圆，

(2a=4Y2v2

所以，cC，可得4=2,C=i,则b=6，故点P的轨迹方程为二+乙=1.

2c=243

对于A选项，四+附|=附+4-|叫W4+|AE|=5,

当点尸与点鸟重合时，等号成立，A错；

对于B选项，|网+附|=|网+4-闸24-防=4-6>1,

当点户与点6重合时，|阳+归闾取最小值4-正，B对；

对于c选项，设点尸到直线期的距离为4,S^M=gb用,4=¥4=|，所以，4二手.

直线A6的斜率为砥6=5=(，直线A£的方程为y=g(x+l),即x-2y+l=0,

设与直线AF,平行且距离为乎的直线的方程为尢-2丫+〃?=0,

|/w—113^5

则(2)2=可，可得根=-2或m=4,

所以，点P在直线x_2y_2=0或x_2y+4=0上.

fx-2y-2=0

联立彳3/；4)，2=12'消去，可得步->2=0'解得户一1或2,

fx-2y+4=0

联立。，I，S，消去y可得Y+2X+1=0,解得X=—L

[3x+4/=12

综上所述，有且仅有3个点P,使得VPAK的面积为：，C对；

对于D选项，设点尸到直线A6的距离为4,则S△叩可得4=1，

与直线AK：x=l平行且距离为1的直线的方程为*=2或x=0,所以点P在直线x=2或x=0

上，

直线x=0与椭圆《+.=1相交，直线x=2与椭圆片+*=1相切，

4343

综上所述，有且仅有3个点尸，使得的面积为D错.

故选：BC.

II.ACD

解析：

•.•81=1+(〃-1)",

on

n-\

Q〃和d都为正整数，

.•.〃=41时，d=2,故选项A正确；

当4=3时，"=三，不成立，故选项B错误；

〃=21时，(1=4,故选项C正确；

”=17时，d=5,故d选项D正确.

故选：ACD.

12.BC

解析：易知，(x)=2f+l单调递增，故〃加)=2加+l=m,f(n)=2n3+l=n,

解得机=〃=-1,故不满足;

取风用=［1,2］,〃力=；在［1,2］上单调递减，故"X)1n^="2)=1,

/(x)a=/⑴=2,故满足•

〃x)=e，-2,易知函数单调递增，故/(，句=*一2=加，/(〃)=/一2=〃，

设g(x)=e'—x—2,贝i」g'(x)=e»-l,函数在(0,+少)上单调递增，在(—,()］上单调递减，

g(0)=-l<0,g(2)=e2-4>0,g(—2)=/>0,故函数有两个零点，故满足.

/(x)=lnx+l在(0,+功上单调递增，故/■(咐=ln/w+l=m,/(n)=lnn+l=n,

设Nx)=lnx—x+l,则《(x)=q,函数在(0,1)上单调递增，在［1,田)上单调递减.

故刈力1rax=乂1)=0,故函数只有一个零点，不满足；

故选：BC.

13.3

解析：・•・不共线的三个平面向量两两的夹角相等，，任意两个向量的夹角为当，

:.ab=|a|-|^|cos-^-=-^,a-c=|iz|•|c|cos=-2,91=忖•同cosg=-2,

.­.^a+h+c^=a2+h2+c2+2a-b+2a-c+2b-c=l+l+l6-\-4-4=9,

,+5+^=3.

故答案为：3.

14.①③④

解析：由已知r(x)=&叱2)叱(储上2.・7更.=”匚，

*ex

则八x)=0nx±3

当xV-3或x>3时，/(x)<0,-3VxV3时，/(l)>0,所以/(工)在(-8,-3)和

(3,+oo)上递减，在(-3,3)上递增，

Q

f(X)极小值/(-3)=-4/,/(X)极大值为f(3)=F，①正确；

e

“X)在x=0处的切线斜率前=/'(0)=9,直线9y-x+l=o斜率右=，kik2t-1,两直线

不垂直，②错误；

Q

当X--8时，/(x)->+00,当X—时，F(x)f0,若/(x)=上有三个实根，则上e(0，F),

③正确；

Q

若x£[0,小时，盘X(x)=/，则仑3,♦的最小值为3,故④正确.

故答案为：①③④

15.12TI

解析：如图所示，三棱锥A-ACO可补形为一个边长为2的正方体，则三棱锥A-AC。的

外接球的半径为R=gV22+22+22=也.

2

故三棱锥A-ACD的外接球的表面积为S=4兀甯=41tx(6)=12兀.

故答案为：12万.

解析：尸(1,0),设4(与％),5(孙力)，则而=0ff),丽=(",%)，

依题意有广।:①由②得：y；=9y；=4x,=9x4X|=x,=9%，③

%二一3%②

由①③可得：占=：,毛=3,8(3,26)或8(3,-26).

当网3,2⑹时，/方程为y=6(x-l),与坐标轴交点为(L0),(0,Z5)

当8(3,-2括)时，/方程为y=-括(x-l),与坐标轴交点为(1,0),(0,退)

.•.直线/与坐标轴围成的三角形的面积为走.

2

17.(I)120°；(11)1.

(I),,,2^zsinA=(2Z?+c)sinB+(2c+/?)sinC,

2a2=(2b+c)b+[2c+b)ca2=b2+c2+bc.

.b2+c2-a21.

/.cosA=--------------=——，.-.74=1l2o0n°o.

2bc2

(II)sin8+sinC=sinB+sin(60°-8)=*cosB+gsin8=sin(60°+B),

­.-0°<fi<60°,，当60。+8=90。即8=30。时，sinB+sinC取得最大值1.

18.

解(1)第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄

花而第二代开红花，

故由Pi=；,得：

1z.X37

P2=P「l+(l_pJ.1=行.

(2)由题意可知，第〃代开红花的概率与第n-l代的开花的情况相关，故有

1Z,\343

P„=Pn-\+=P„-l+-

94(9、

则有P“一历=-百必-西I，

…9191

由于Pi---=------=—，

'1921938

所以数列［4一2］是以!为首项，为公比的等比数列.

Iiy］3o15

rrhI91(4丫“rrrI91(4丫“

’1938I15；19381⑸

a1(4911

(3)由(2)p=---1---x----—+—=~,

〃1938115)19382

故有当〃eN+时，亿,4；,因此第〃代开黄花的概率更大.

19.解：(1)过C作CH_L5E,交BE于4点，

:平面ABE工平面BCE,平面ABEc平面8CE=8E,CHu平面BCE,

CH_L平面ABE,C到平面ABE的距离为C”,

即C”_LA8,而BC_LA8,BCC\CH=C,BC、CHu平面BCE,

平面BCE,

又：矩形ABC。，CD_L平面BCE,ECu平面BCE,所以CDLEC,

又•.・平面ECD1平面ABCD,

EC_L平面ABCQ,

即丫…=也口反=12,可得MR=12,

由=6夜，可得=

而9+82=8炉，，AB=4,EC=3,8E=3&，

即由等面积法CH•BE=BC•EC=>C”==应，故C到平面ABE的距离为:应；

22

（2）由（1）可知，EC,CD,3c两两垂直以C为原点，CZ）为x轴，CB为），轴，建系如

图，

则4（4,3,0）,8（0,3,0）,C（0,0,0）,£>（4,0,0）,£（0,0,3）

设平面ACE的法面量勺=（&y,zj,

n.•CA=04%+3y=0

由,2_可得

??!CE=0Z1=0

可取%=一3,=4,/.nx=(-3,4,0),

设平面4BE的法面量〃2=（x2,y2,z2）,

由收吁一3%+3z=0

可得2

?84=0x2=0

取%=1,22=1,.,•巧=(0,1,1),

%•%_4_2>/2

由图可得二面角8-AE-C的平面角为锐角,

故所求二面角B-AE-C的余弦值为述.

5

20.解：（1）记M与四，B2,纥进行对抗赛获胜的事件分别为A,B,C,M至少获胜

两场的事件为。，

321

则尸(A)=：,P(B)=~,P(C)=~,由于事件A,B,C相互独立,

432

所以

P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=—X—X—+—X—x(l—)+—x(l)x—+(1---)X—X—=—,

43243243243224

由于17奈7所以例会入选最终的大名单.

(2)依题意M获胜场数X的可能取值为0、1、2、3,

贝lJP(X=0)=尸(.月C)=(l-g)x(l-g)x(l-；)=g

一一__3213213216

P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)4-P(ABC)=-X(1--)X(1--)4-(1--)X(1--)X-+(1--)X-X(1--)=—

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x(l-l)+-x(l--)xl+(l--)x-xl=—,

43243243224

A

P(X=3)=P(ABC)=-x-x-=—,

43224

所以“获胜场数X的分布列为：

X0123

16116

P

24242424

所以E(X)=0XL1X£+2XU+3X9=23

2424242472

21.(1)由题意得4(0/),尸(—。,0),点P坐标为(1,6),OPLAF,

,b11-

故以卜==-7-=--五,:.c=yJ3ba2=b2+c2,

C^OP75

...〃=*又p(l,a...J+亳=1,

.・方=；，/=i3,...椭圆方程为百+百=1

4-

4

"=1—+^-=1

(2)由题意可得反方程为:cb与/b2联立,

得，。(用八解得位热，3与升

.7)+力

又B(O「b),