2022年湖南省长沙市中考数学模拟试卷及答案解析

2022年湖南省长沙市中考数学模拟试卷

一、选择题（每小题3分，共27分）

已知上亘=:则七的值为（

1.)

y5y

54512

A.-B.-C.—D.—

45125

2.下列计算正确的是（）

A.2x+3y=5xyB.(〃2+2)2=〃p+4

C.(xy2)3=xy6D.ai()^-a5=a5

3.下列防疫的图标中是轴对称图形的是（）

A.

4.若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为（）

A.正八边形B.正九边形C.正十边形D.正十一边形

5.下列命题中，逆命题为真命题的是（）

A.实数“、b,若a=b,则同=|臼

B.两直线平行，同位角相等

C.对顶角相等

D.若aci>bc2,则a>b

6.若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）

A.-1B.1C.-4D.4

7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A,8在同一水平面上）.为

了测量4、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处,

在C处观察8地的俯角a为30°,则A,3两地之间的距离为（）

C.1600米D.800四米

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8.温州市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原

计划多0.2万棵，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程

()

30303030

A.=5B.--=5

Xx+0.2x+0.2X

30303030

C.=5D.--=5

X%-0.2%—0.2X

9.如图，A8为。。的直径，AB=30,点C在。0上，乙4=24°,则衣的长为（）

10.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同,

若从中随机摸出一个球为白球的概率是|,则黄球的个数为（）

A.16B.12C.8D.4

11.下列3个图形中，阴影部分的面积为1的个数为（）

12.二次函数丫=以2+法+。（aWO）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2,-9a）,下列

结论：①曲c>0；@4a+2fe+c>0：③9a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有

两个根Xi和X2,且x\<x2,则-5<xi<X2<1；⑤若方程|ar2+〃x+c|=1有四个根，则这

四个根的和为-8.其中正确的结论有（）个

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A.2B.3C.4D.5

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13.分解因式：ar2-6axy+9ay2=.

14.在平面直角坐标系中，点P（机2+],-3）关于原点对称点在第象限.

16.如图，在△4BC中，NACB=90°,CO是△ABC的中线，若NZ）C8=40°,则NA的

度数为_______

17.如图，QABCD的对角线4C、8。相交于点0,点E是48的中点，△BE。的周长是8,

则△BCO的周长为.

18.如图，在平面直角坐标系中，0A的圆心为（3,0）,半径为遥，若直线/：y=fcr-l

与。A相切，则上的值是.

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三、解答题（本题共8个小题，共66分）

19.（6分）计算g-3tan30°+（TT-3.14）°+（-）

2

5x-l„、x+5

20.（6分）解不等式组一丁，并写出它的整数解.

.2%+5<3（5—%）

21.（8分）某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单

位：分）：

七年级：89,92,92,92,93,95,95,96,98,98

八年级：88,93,93,93,94,94,95,95,97,98

整理得到如下统计表

年级最高分平均分中位数众数方差

七年级9894am7.6

八年级98n94936.6

根据以上信息，完成下列问题

（1）填空：a=；tn=；n=；

（2）两个年级中，年级成绩更稳定；

（3）七年级两名最高分选手分别记为：Ai,A2,八年级第一、第二名选手分别记为8i,

治,现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两

人分别来自不同年级的概率.

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22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B

(4,0),C(4,-4).

(1)请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△AiBiCi；

(2)以点O为位似中心，将△48C缩小为原来的去得到AA282c2,请在图中y轴右侧，

画出4A282c2,并求出乙42c282的正弦值.

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23.（9分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设

稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加.

（1）该市的养老床位数从2020年底的2万个增长到2022年底的2.88万个，求该市这两

年（从2020年底到2022年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

（2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5

万元/人，且计划赡养的老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养

老中心需申报的最高建筑投入是多少？

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24.(9分)如图，直线/：产一型+2与x轴交于点力，与y轴交于点B,C为线段的

一个动点，以A为圆心，AC长为半径作OA,OA交AB于点。，连接。。并延长交。4

于点E,连接CD

(1)当AC=2时，证明：△08。是等边三角形：

(2)当△OC0SZ^OD4时，求的半径r；

(3)当点C在线段0A上运动时，求0£>・QE的最大值.

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25.(10分)如图，已知函数y=[(A:>0,x>0)的图象与一次函数y=wu+5(/n<0)的图

象相交于不同的两点A(xi,yi),B(X2,yi),过点4作A。J_x轴于点。，连接A。，△

AO。的面积为2.

(1)求Z的值及xi=4时m的值；

(2)记㈤表示为不超过x的最大整数，例如：[1.9]=1,⑵=2,设t=OD・DC,若一|<mV

求口商值.

(3)已知线段A8的垂直平分线经过点O,P(xo,加)是函数y=((Q0,x>0)的图

象上一动点，令z=，〃yo+9；当X2WJCOWXI时，不等式3"+1004S竽Z?-3,〃Z+2015+9，"V〃

-2总是成立的，求"的取值范围.

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26.(10分)如图，点A是直线y=fcr(A>0)上一点，且在第一象限，点B,C分别是x,

y正半轴上的点，且满足/BAC=90°.

(1)如图1,当％=1时，求证：AB=AC；

(2)如图2,记NAOB=a,

①根据所学，不难得到tana=,(用含％的式子表示)；

②若k=求/的值；

(3)如图3,若仁标连接8C,OA±BC,已知抛物线y=a?+bx+c经过。，A,8三

85

点，与直线BC相交于点8,D,连接OD,AOB力的面积为r?求抛物线的函数表达式.

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2022年湖南省长沙市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共27分）

1.已知*2y=二则的值为（）

y5y

5412

A.-B.-D.

455

解：由土2.=可得：2y=5（x-2y）,

y5

解得：5x=12y,

x12

所以一的值为二，

y5

故选：D.

2.下列计算正确的是（）

A.2x+3y=5xyB.(m+2)2=/?I2+4

C.（xy2）3=孙6D.

解：4、原式不能合并，不符合题意；

B、原式=z??+4加+4,不符合题意；

C、原式=fy6,不符合题意；

D、原式=/，符合题意.

故选：D.

3.下列防疫的图标中是轴对称图形的是（

C.

解：A、不是轴对称图形，不合题意;

8、不是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

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。、不是轴对称图形，不合题意.

故选：C.

4.若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为（）

A.正八边形B.正九边形C.正十边形D.正十一边形

解：设所求正多边形边数为〃，

则36〃=360,

解得〃=10.

故正多边形的边数是10.

故选：C.

5.下列命题中，逆命题为真命题的是（）

A.实数。、b,若a=b,则|a|=|6|

B.两直线平行，同位角相等

C.对顶角相等

D.若ac2＞bc2,则a＞b

解：A、实数。、b,若a=b,则⑷=|可逆命题是若同=步|,则”=±匕，是假命题；

8、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；

C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题：

D、若4,2＞儿2,则4＞匕的逆命题是若4＞匕，则团2＞庆2,是假命题；

故选：B.

6.若关于x的一元二次方程4/-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）

A.-1B.1C.-4D.4

解：..•一元二次方程47-4x+c=0有两个相等实数根，

.•.△=42-4X4C=0,

/•c=1,

故选：B.

7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A,B在同一水平面上）.为

了测量4、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，

在C处观察8地的俯角a为30°,则A,8两地之间的距离为（）

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a

AB

800V3l

A.400米B.---------米C.1600米D.800b米

3

解：根据题意可知：

CALAB,AC=800,ZB=30°,

AC「

•♦•48=丽雨=800%(米).

答：4,8两地之间的距离为800百米.

故选：D.

8.温州市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原

计划多0.2万棵，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程

()

30303030

A.=5B.--=5

Xx+0.2x+0.2X

30303030

C.=5D.--=5

X%-0.2%—0.2X

解：设原计划每天植树X万棵，根据题意可列方.——5,

x+0.2

故选：A.

9.如图，A8为。。的直径，48=30,点C在。。上，N4=24°,则女的长为（）

A.9nB.10nC.llnD.12n

解：连接OC

♦：OA=OC,

：.ZOCA=ZA=24°,

・・・/AOC=180°-24°X2=132°,

衣的长=13：缺"=“n,

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故选：c.

c

10.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同,

若从中随机摸出一个球为白球的概率是|,则黄球的个数为（）

A.16B.12C.8D.4

解：设黄球的个数为X个，

o2

根据题意得：--=不

8+%3

解得：x=4.

故选：D.

12.下列3个图形中，阴影部分的面积为的个数为（）

二。p*

1>'=-jx-l^y=-

1y=*+l

A.3个B.2个C.1个D.0个

解:①y=L

当x=0,y=—

当y=0,x=

2।

y=-3^+1

当x=o,y=i，

・113

•'•S阴影部分=[X(1+W)x2=1;

②当x=2,)，=；=],1_1

x~2

111

・・・5明杉部分=5、X2=l；

乙22

③产-x1-1,

第13页共27页

当x=0,y=-1,

当y=0,x=±l,

1

S阴影部分=2X1X2=l；

故阴影部分的面积为1的有①②③.

故选：A.

12.二次函数y=aP+bx+c（〃W0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2,-9”），下列

结论：@abc>0；②4。+2/?+。>0；③9。-b+c=O；④若方程。（x+5）（x-1）=-1有

两个根XI和X2，且X1〈X2,则-5VX1<X2<1；⑤若方程|依2+加+（；|=1有四个根，则这

四个根的和为-8.其中正确的结论有（）个

3C.4D.5

解：•・•抛物线的开口向上，则。>0,对称轴在y轴的左侧，则〃>0,交y轴的负半轴,

则c<0,

.\ahc<0,所以①结论错误;

•・•抛物线的顶点坐标（-2,-9a）,

b4ac-b2

一«=-2,=—9i,

2a4a

・二/?=4。,c=-5a

工抛物线的解析式为y=ajr+4ax-5a

/.4a+2h+c=4a+Sa-5a=la>09所以②结论正确,

9a-b+c=9a-4a-5。=0,故③结论正确,

・・•抛物线y=o?+4以-5。交x轴于(-5,0),(1,0),

・,•若方程〃(x+5)(x-1)=-1有两个根xi和0且xi<¥2,则-5VxiVx2V1,正确,

故结论④正确,

若方程|苏+笈+,|=1有四个根,设方程“/+版+c=l的两根分别为XI,X2,则也产

可得Xl+X2=-4,

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设方程/+云+^二-1的两根分别为与，X4,则士”=一2，可得冷+工4=-4,

所以这四个根的和为-8,故结论⑤正确,

故选：C.

二、填空题(本大题共6小题，共18分)

13.分解因式：or2-6ory+9ay2=a(x-3y)2.

解：原式=〃(/-6肛+9)2)

=a(x-3y)2.

故答案是：a(x-3y)L

14.在平面直角坐标系中，点P(相2+1,-3)关于原点对称点在第二象限.

解：点P(汴+i,-3)关于原点对称点为(-m2-1,3),

V-w2-1<0,

(-机2-1,3)在第二象限.

故答案为:

第21।-1

15.计算一；一；一的结果是--.

x-11-x—x-1-

…X21X21%2+1

解：—=+=

x-11-xx-1x-1x-1

I4

故答案为：——.

x-1

16.如图，在△A8C中，NACB=90°，CD是△A8C的中线，若NOQ?=40°，则NA的

度数为50°.

解：：在△ABC中，N4cB=90°,CD是△A8C的中线,

'：BD=CD=^AB,

.•.NB=/Z)CB=40°,

AZA=90°-ZB=50Q,

故答案为：50.

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17.如图，口A8CO的对角线AC、8。相交于点。，点E是48的中点，△BE。的周长是8,

解：•.•□ABC。的对角线AC、相交于点0,

1

：.B0=D0=^BD,80=208,

；.0为BD中点、,

•.,点E是AB的中点，

：.AB=2BE,BC=20E,

•.•四边形A8CO是平行四边形，

：.AB=CD,

:.CD=2BE.

「△BEO的周长为8,

,OB+OE+BE=S,

：.BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16,

.♦.△BCD的周长是16,

故答案为16.

18.如图，在平面直角坐标系中，OA的圆心为(3,0),半径为右，若直线/：y^kx-1

与。A相切，则％的值是一1或2.

解：如图，当x=0时，y=kx-1=-1,则8(0,-1),

直线/：y=H-1与GM相切于点M、N,则ANLBN,

VA(3,0),B(0,-1),

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.,.AB=Vl24-32=V10>

：.BM=J(V10)2-(V5)2=V5,

.".△ABM为等腰直角三角形，

延长AM到M'使MM'=AM,延长AN到N'使NN'=AN,则△A8"和△ABM

都为等腰直角三角形，

:.BM'可由8A绕B点顺时针旋转90°得到，BN'可由BA绕B点逆时针旋转90°得

到，

：.M'(1,-4),N'(-1,2),

：.M(2,-2),N(1,1),

把M(2,-2)代入尸爪-1得2…=-2,解得仁-最

把N(1,1)代入y=kx-1得％-1=1,解得k=2,

A的值为一,或2.

__1

19.(6分)计算+(n-3.14)°+(-)

2

解:原式=-2-3X孚+1+2

=1—V3.

-1%+5

20.(6分)解不等式组飞一+2>丁，并写出它的整数解.

.2%+5<3(5—%)

第17页共27页

(5x-i.>x+5(<n

解：k+2?>丁①

2x+5<3(5-x)@

解不等式①，得x>7,

解不等式②，得xW2,

二不等式组的解集是：-1<XW2,

满足不等式组的整数解为0,1,2.

21.(8分)某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下(单

位:分)：

七年级:89,92,92,92,93,95,95,96,98,98

八年级：88,93,93,93,94,94,95,95,97,98

整理得到如下统计表

年级最高分平均分中位数众数方差

七年级9894am7.6

八年级98n94936.6

根据以上信息，完成下列问题

(1)填空：a=94；m=92；n=94；

(2)两个年级中，八年级成绩更稳定:

(3)七年级两名最高分选手分别记为：Ai,A2,八年级第一、第二名选手分别记为用,

82,现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两

人分别来自不同年级的概率.

解：(1)a=94；m=92,

1

〃=壶(88+93+93+93+94+94+95+95+97+98)=94；

(2)七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，

所以八年级的成绩稳定；

故答案为94,92,94；A;

(3)列表得:

A\AiB\Bi

乙

第18页共27页

甲

4(Ai,A2)(Ai,BI)(Ai,比)

A2(A2>AI)(A2,BI)(A2,B2)

B\(BI,Ai)(Bi,A2)(Bi,B2)

B2(瓦，Ai)(82,A2)(52,Bl)

共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况,

：.P(这两人分别来自不同年级的概率)=备=*

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B

(4,0),C(4,-4).

(1)请在图中，画出△A8C向左平移6个单位长度后得到的△AIBICI；

1

(2)以点O为位似中心，将AABC缩小为原来的5，得到282c2,请在图中y轴右侧，

画出282c2,并求出/A2c2B2的正弦值.

解：(1)如图所示：△AIBICI,即为所求;

(2)如图所示：282c2,即为所求，

由图形可知，/A2c2B2=NACB,

过点A作AD1BC交BC的延长线于点D,

由A(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),

故A£>=2,CD=6,AC=V22+62=2710,

..smZACB-n--而‘

第19页共27页

即sinNA2C282=

3A

iIa*Itii*

：4—1—:一

23.(9分)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设

稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加.

(1)该市的养老床位数从2020年底的2万个增长到2022年底的2.88万个，求该市这两

年(从2020年底到2022年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；

(2)该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5

万元/人，且计划赡养的老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养

老中心需申报的最高建筑投入是多少？

解：(1)设该市这两年(从2020年底到2022年底)拥有的养老床位数的平均年增长率

为X,

依题意，得：2(1+x)2=2.88,

解得：^1=0.2=20%,Jt2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该市这两年(从2020年底到2022年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.

(2)设在200人的基础上增加山人时，建筑总投入为w元，

依题意，得：w=(200+nz)(50000-200w)=-200(w-25)2+10125000,

；-200<0,

...当m=25时，w取得最大值,最大值为10125000.

答：新建该养老中心需申报的最高建筑投入为10125000元.

24.(9分)如图，直线/：产-争+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,C为线段OA的

一个动点，以A为圆心，AC长为半径作。A,0A交AB于点。，连接0。并延长交OA

于点E,连接CD.

(1)当AC=2时，证明：△08。是等边三角形；

第20页共27页

(2)当△OC£>SAOD4时，求0A的半径r；

(3)当点C在线段0A上运动时，求OZ>OE的最大值.

解：(1)•••直线/：)，=一争+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,

.•.点A(2V3,0),点B(0,2),

：.OA=2y[3,08=2,

・•・*tanN8Ao=亍0B彳=q&-,

：.ZBAO=30°,

."8=208=4,/ABO=60°,

\'AC=AD=2,

:.BD=2=BO,

且NABO=60°,

...△8D0是等边三角形；

(2)如图1,过点力作于H,

，N0£)C=N048=30°,

'：AC=AD,NBAO=30°,

第21页共27页

ZACD=15°,

AZDOH=ZACD-ZODC=45°,

DHLAO,ZDAO=30°,

：.DH=1r,AH=6DH=亭,

DHLAO,NDOH=45°,

1

：.DH=OH=y9

9

：AO=OH+AH=2>/3f

•/Q1,B

・・20V3=八

；.r=6-2g；

(3)如图2,连接EH,过点。作OGLAB于G,

'：OG±AB,N54O=30°,

：.OG=|A()=V3,AG=g0G=3,

:.GD=3-AD,

•..OH是直径，

；.NDEH=90°=/OGD,

又,：NODG=/HDE,

：.X0DGS/\HDE,

•_GD_O_D

••=,

DEDH

；・OD・DE=GD・DH=(3-AO)・2A£>=-2(AD-|)2+^,

/.当AD=|时，OD-DE的最大值为:

第22页共27页

25.(10分)如图，已知函数y=[(A:>0,x>0)的图象与一次函数y=wu+5(/n<0)的图

象相交于不同的两点A(xi,yi),B(X2,yi),过点4作A。J_x轴于点。，连接A。，△

AO。的面积为2.

(1)求Z的值及xi=4时m的值；

(2)记㈤表示为不超过x的最大整数，例如：[1.9]=1,⑵=2,设t=OD・DC,若一|<mV

求口商值.

(3)已知线段A8的垂直平分线经过点O,P(xo,加)是函数y=((Q0,x>0)的图

象上一动点，令z=myo+9；当x2,oWxi时，不等式丁+网住^z2-3mz+20}5+9m<n

-2总是成立的，求〃的取值范围.

解：(1)・・,点A(xi,yi),

OD=x],AD=y\,

1I

S^,AOD=2OD*AD=/yi=2,

^.k=x]y]=4,

...反比例函数解析式为：)=M

当XI=4时，yi=1,

・・・A(4,1),

将点A坐标代入y=nix+5中，

得4〃?+5=1,

/.m=-1；

4

(2)Vy=x

y=mx+5

/.nvP,+Sx-4=0,

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TA的横坐标为

，mi2+5XI=4,

当y=0时，蛆+5=0,

・.・5，

x=---m--

：

'0C=mOD=xi,

m2"="，•(OD•DC),

2/5、

=m*x\(——xi),

=m(-5xi-mx\2),

--47n,

35

4,

.\5<-4〃z<6,

?.[?n2,r]=5；

(3)由题意线段AB的垂直平分线经过点O,

.•.点A,点8关于直线y=x对称，

二直线A8的解析式为y=-x+5,可得A(4,1),B(1,4),

，加=-1,1WXOW4,

，z=-)。+9=-(-xo+5)+9=刈+4,

V-/7+1004<当Z2-3mz+2015+9/n<n-2总是成立的，

即一”+10044-J(xo+4)2+3(xo+4)+2015-9V"-2总是成立的,

B|J-n-1010<(xo-2)2+1V”-2016总是成立的,

1WxoW4,

(xo-2)2+lWl,

q

1

解不等式：-n-1010^0</?-2016,得到2016V"W2020,

1

解不等式：-n-1010^1<n-2016,得到2017c“W2022,

综上所述，满足条件的〃的值为：2017<〃W2020.

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y

26.