普通物理学第15章习题答案

振

动

习

题15-115-215-315-415-515-615-715-815-915-1015-1115-1215-1315-1415-1515-1615-1715-1815-1915-2015-2115-2215-2315-2415-2515-2615-2715-2815-2915-3015-3115-3215-3315-3415-3515-3615-37习题总目录结束15-1质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律而振动，式中t以s为单位,试求:

(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值;t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多少?分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。3x

=

0.5cos(8π

t+π

)m返回结束A=0.5m =

33x

=

0.5cos(8π

t+π

)mπφω

=8π

=25.12

s-1vm

=ωA

=

8π×

0.15=12.6m/s2maA(

)0.5

=316m/s×= =

8ω

π22t

=1s3ω(

t+φ

)=

8π

+

π3=

25π3ω(

t+φ

)=

8π×

2

+

π3=

49πt

=2s3ω(

t+φ

)=

8π×10

+

π3=

241πt

=10sωT

=

2π

=

0.25s解：返回a~tv~tx~tvaxtox~t曲线3φ

=

π6φ

=

5πv~t曲线3φ

=

4πa~t曲线返回结束15-2

有一个和轻弹簧相联的小球，沿x

轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若t

=0

时，球的运动状态为:(1)x0=-A;(2)过平衡位置向x

正方向运动;

(3)过x=A/2处向x

负方向运动;2(4)过A试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表式。处向x

正方向运动;返回结束3φ

=

πA(3)xAφ

=π(1)x2φ

=

3πA(2)x4φ

=

7πA(4)x返回结束15-3

一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s，当t

=0时，位移为+24cm。求:(1)t

=0.5s时，物体所在位置;(2)t

=0.5s时，物体所受力的大小与方向;

(3)由起始位量运动x

=l2cm处所需的最少时间;(4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能和总能量。返回结束t

=0T4ω

=

2π

=

2π

=

π

=1.57s-1v

0=

0x

0=

A

=0.24m2φ

=

02振动方程为：

x

=

0.24

cosπ

tt

=0.5sx

=

0.24

cos

(2π×

0.5

)=0.17m=

0.24

cos

0.25π22=

0.24

×解：A

=0.24m返回结束f

=

ma×a

=

ω

2A

cos

(π

×

0.5

)=14π220.17

=0.419m/s2=

10×10-

3×(-0.419)=

-0.419×10-

3

Nt=0.5s20.12

=

0.24

cos

(π

t)2cos

(π

t)=

1223π

t

=

2π3t

=

2

s返回结束=-0.326m/sv

=2ω

A

sin

(π

t)=π

×

0.24

×

sinπ2

3Ek2=

2

mv1

1=

2

×10×10-3×(0.326)2=5.31×10-

4

J2=

1

kxEP22=

1

m

ω

2

x

2×-31=

2

×10×10×(0.12)2()2π2=1.77×10-

4

JEk=

Ek

+Ep=7.08×10-

4

J返回结束15-4

一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与板面间的静摩擦系数为0·50。问:要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值为若干?若令此板改作竖直方向的简谐振动，振幅为0.05m，要使物体一直保持与板接触的最大频率是多少?返回结束m

mg

=

mam=

m

ω

2A

mω

2m

g=Am(2π×2)20.5×9.8

=0.031m=(1)为使物体和板不发生相对滑动，由最大静摩擦力带动物体和板一起振动,所以有返回结束为使物体不脱离板必须满足gωA2mω=mAωgA2π=gAn

=

12π=

19.85.0×10-2Nmgmg

N=

maN≥

0(2)物体作垂直振动时有：N=0m在极限情况时有：mg=

mam2m=∴返回=2.2Hz结束15-5在一平板上放质量为m

=1.0kg的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为T

=O.5s，振幅A=O.O2m。试求:(1)在位移最大时物体对平板的工压力；

(2)平板应以多大振幅作振动才能使重物开始跳离平板。m返回结束a

m

=

Aω

2=

mam(1)当物体向上有最大位移时有：Aω

2

)0.59.8

0.02×

(2π

)2mg

NN

=

m

(g=

1.0×=6.64N=

mammg

NN

=

m

(g+

Aω

2

)=1.0(9.8+3.16)

=12.96NNmgxo当物体向下有最大位移时有：a

m

=

Aω

2返回结束(2)当物体向上脱离平板时有：mg=

m

Aω

2ωgA

=

29.8(4π

)2=0.062m=Nmgxo返回结束15-6

图示的提升运输设备，重物的质量为1.5×1O4kg，当重物以速度v

=l5m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝绳突然被轧住。此时，钢丝绳相当于劲度系数k

=5.78×1O6

N/m的弹簧。求因重物的振动而引起钢丝绳内的最大张力。m返回结束=1.5×104×9.8+0.25=2.21×105

N0

=0

0

=0.25m/s+A

=

x20v02v0ω

2T=ω

ωmgkm==

m

Aω

2+

m

Aω

2T

=

mg=

mg+

m

vt

=0：x

v0ω=

+mg

vm

k05.78×106×1.5×104解：取物体突然停止时的位置作为坐标的原点（物体的静平衡位置），并以此时刻作为计时零点。mgT返回结束15-7

一落地座钟的钟摆是由长为l

的轻杆与半径为r

的匀质圆盘组成，如图所示，如摆动的周期为1s，则r

与l

间的关系如何?lr返回结束mg

(l+r

)sinq

mg

(l+r

)qM

=»2J

=

1m

r

2

+

m

(l+r

)2sinq

»

q2d

qM

=

J

dt2mg

(l+r

)q

=21m

r

2

+

m

(l+r

)22d

qdt2q

=02

g

(l+r

)2d

qdt2

+

r

2

+

2

(l+r

)2解：rlqmg返回结束q

=02

g

(l+r

)2d

qdt2

+

r

2

+

2

(l+r

)222

g

(l+r

)r

2

+

2

(l+r

)2ω

=2

g

(l+r

)r

2

+

2

(l+r

)2可得r

与l

的关系式：6π2r

2

+

4π2l

2

+

8π2

lrgl=ω2π

=T由：=1d

q

+ω

2

q

=0dt2比较上两式得到：gr

=0

返回2dω1

215-8

如图所示，两轮的轴互相平行，相

距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为

m

的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为m

，当木板偏离对称位置后，它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期是多少?.C.ω返回结束=

m

g1

+

N

2N

1

(d

+

x

)=

Nf

1

=

mNf

2

=

mN12

=N1

=Nm

g

(d

x

)2dmm

g

(d

x

)2d1

=ff

2

=m

g

(d

+

x

)2dmm

g

(d

+

x

)2dC.o.N1N22

(d

x

)

f

1x

f

2m

g2解：N从上述四式解得：返回结束mm

g

(d

x

)2d1

=ff

2

=mm

g

(d

+

x

)2dd

2x

d

t21

f

2

=fmd

2xd

t2=mmm

g

(d

+

x

)2dmm

g

(d

x

)2d+

d

=0m

g

xd

2xd

t2ωdm

gT

=

2π

=

2π=ω2m

gd返回结束15-9

如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半径为R

转动惯量为J。(1)证明物体作简谐振动;

(2)求物体的振动周期；(3)设t

=0时，弹

簧无伸缩，物体也无初速，写出物体的振动表式。

Mkm返回结束T2

Rm

gT1

=T2kb=T1

=

kb解：在静平衡时有：T21T

T2m

g

Jkmxob静平衡位T1

R

=0T2

=0m

g=

kb返回结束T1

=

k

(b

+

x

)2T

R

T

R

=

J

a1

Jkmxo静平衡位bx取静平衡位置为坐标原点在任意位置时有：T21T

T2m

gd

2x=

R

aa

=

d

t22=0kxRd

2xd

t2ω

=2+

m

+

Jkm

+

JR返回结束x0

==m

gkbA

=

m

gk2km

+

JRt

+πx

=

m

g

cockv

0

=0由初始条件：t

=0φ

=π得：振动方程为：ω=2km

+

JRT

=

ω

=

2π2m

+

JkR2π返回结束15-10

如图所示，绝热容器上端有一截面积为S

的玻璃管，管内放有一质量为m

的光滑小球作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p

的某种气体，设大气压强为p0

。开始时将小球稍向下移，后放手，则小球将上下振动。如果测出小球作简谐振动时的周期T，就可以测定气体的比热容比热容比γ。试证明：(假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程)4π2

m

Vγ=

p2

S

4T

2返回结束解：在静平衡时：p

0p

1mgxox静平衡位置任意位置由上两式可得到：设过程是绝热的，所以：xS1V

=V0p

S

+

m

g

=

p

S1pV

γ

=

p

V(xS

)γ1

1pV

γ

=

p

V

γd

2xdt2=p

S

mpS10当小球下降x

(任意位置)时：d

2xd

t2+

=p

S

m1p

S

mg返回结束=xS

)γpγ1xSVpV

γ

=

p

V(1V1

+γ

xS»=

p

1

+γxSVxS∵+

...γ1xSVV=1

+γ

xS∴1=

V(<

V1pV

γxS

)γp1

=pγ1xSVp返回结束p

1

=

p

1

+γxSV=d

2xd

t2m前面已得到：+x

=

022ω

2

=mγ

pSV2ω

=2γ

pSm

Vγ

pSm

VγT=

ωm

Vγ

pS22π4π2

m

V=

p2

S

4T

2pSd

2xdtp

1S

=

pSp

1

+γ

VxSd

2xdt2S=p

S

mpS1返回结束15-11

1660年玻意耳把一段封闭的气柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧”如图所示，有一截面积为S

的空心管柱，配有质量为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为

p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活

塞将作上下振动，求系统的固有角频率。可利用这空气弹簧作为消振器。phm返回结束解：在静平衡时：p

0

S

+

m

g

=

p

S0d

t2+

=p

S

m1p

S

mg当活塞下降x

(任意位置)时：d

2x1由上两式得到：pS设过程是等温的x

)SV

=h

SV

1

=

(hd

2x

d

t2m=p

S1静平衡位置任意位置xxop

0p

1mgx

)SpV

=

p1V

ph

S

=

p1

(h返回结束x

)S

p=)xhph

S

=

p1

(h1(1)ph(1

+

x»(∵x<

h

)d

2xd

t2d

2xm=p

S1md

t2

0=pSpS(1

+xhd

2xd

t2=x)pSpS+

h

mpS

h

mω

==p

0

S

+

m

gh

m1p

=(h

x

)ph返回结束15-12

设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证:当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动；物体由地球表面落至地心的时间为(提示，物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似)3πG

ρ41t=式中G是引力常量。返回结束F

=

Gm

Mr

2=

Gr

2SòK

.dS

=K

4π

r

24πG

M=GrM24π

r

2=SòK

.dS

=3K

4π

r2

=

4πG

.ρ

4π

r3K

=4πGρ

r3mK

=

F

M解：由万有引力定律：和静电场类似，引入万有引力场场强K和静电场类似，引入引力场的高斯定理在地球内部作一半径为r

的高斯面得到该处的场强：返回结束4πGρ

rK

=F

=m4πρ

md

2xd

t2+4π

G

ρ33K

=

3

m

G

r

=dr2

d

t2r

=

0ω

=4πG

ρ3t

=

T4=3πG

ρ4ω=

1

3πG

ρ3×3.14=1267s6.67×10-11×5.5×1034=

1T

=

2π

=

2π

34π

G

ρ返回结束15-13一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω2>g的情形下，(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);

(2)小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。返回结束Ncosq0g=

Rω2cosq01cosgRω2q0

=0ω=

mgNsinq

=

mR

sinq02解：(1)在平衡位置时sinqω2FI

=mRqNmgFI(2)当小球偏离平衡位置时q

=

q0

+Δq小球除了受正压力N，重力作用mg

外，还受到一惯性力作用返回结束=d

2

(Δq

)dt20

0sin(q

+Δq

)cos(q

+Δq

)ω2gsin(q

+Δq

)R

0sinqω2

cosqmR=d

2q

dt

2sinq

cosqω2gRdt

dtsinqmg

sinq

=

m

dv

=

mR

d

2q因为Δq

很小sin(q

+Δq

)

sinq0

»

0cos(q

+Δq

)

cosq00

»将这两式代入上式可得：+

cosq0

Δqsinq

Δq0返回结束=dt

2d

2

(Δq

))0

0

0(sinq

+

cosq

Δq

)(cosqsinq0Δqω2gR

(sinq0+

cosq

Δq

)000ω2=

(sinq

cosqR0gsinq

)+0sin

q02(2cos

q0ω

ω22Rg

cosq

)Δqω0

=(1g2

cos

2q

)ω

2

+

R

cosq0

0(1

2

4

)ω

2

+

R

2

2R

ω2

ωg

2

g

2=R

2ω

4

g

2R

ω2

2=返回结束15-14

一长为l

质量为m的均匀细棒，用两根长为L的细线分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴oo´作小角度的摆动，试测定其振动周期。Ll

2

l

2返回结束2Lq

»

l

j2F

=

1

mg

tgqlJ

=112m

l2M

=

J»

1

mg

q

=

1

mg2

2d

t22

Lq

»

ljlj2

L4

Lmg

lj=M

=

F

×

2

×

2

=

F

l

=d

2jmg

l24

Ljd

2jd

t21

m

l2mg

l2

j4

L

=

12TmgqFqLl

2j解：当棒偏转一个角度j

时返回结束ω

=3

gLd

2jd

t21

m

l2mg

l2

j4

L

=

12+d

2jd

t2=

03g

jLωT

=

2π

=

2πL3

g返回结束15-15一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为k

现有一质量为m的物体自离盘h

高处自由落下掉在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表式。(取物体掉在盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以向下为正，)mhM返回结束ω=

m

+

Mk解：设盘子挂在弹簧下的静平衡位置为x01为中心进行振动。振动的圆频率ω为：MM

g

=

k

x

01当物体落入盘上后新的平衡位置为x02(m

+

M

)g

=

k

x

02m系统将以此平衡位置x02x01oxhmMx0返回==x

0

=

(x

02

x

01

)M

g

(m

+

M

)g

k

km

gkm

2

gh

=

(m

+

M

)v00

=m

2

gh(m

+

M

)vMx02x01oxmhmMx0设碰撞时刻(t=0)盘的位碰撞是完全弹性的，所以：得：置为x0返回结束0

=m

2

gh(m

+

M

)v+A

=

x20v02ω

2+=m

g

2k2

ghm

2

(m

+

M

)(m

+

M

)2

k=m

gk2

kh1+

(m

+

M

)gx0

=m

gk返回结束tgφ

=ωx0v0m

gkm

2

gh

(m

+

M

)

k=

.=(m

+

M

)2

kh(m

+

M

)g0

=m

2

gh(m

+

M

)vx0

=m

gkω

=

m

+

Mkk2

kh(m

+

M)g1

+x

=

m

gcoskm

+M2kh(m

+

M

)gt

+

tg

1返回结束15-16

一个水平面上的弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，所系物体的质量为M，振幅为A。有一质量为m的小物体从高度h处自由下落。当振子在最大位移处，物体正好落在

M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果小物体是在振子到达平衡位置时落在M上，这些量又怎样变化?mhMox0=

Ax返回结束m

+

Mk=ω+1

=A

x20v212AkM当物体m落下后系统的圆频率为：系统的振动周期为：T

=

2πMkω

=km

+

M11Tω=

2π

=

2π1振子的速度v1=0mohxM0

=

Ax解：(1)弹簧振子的圆频率为：ω

=当物体m落下时返回2M

v

0

=

(m

+

M

)v=2(m

+

M

)M

v

0v0vM=M

A(m

+

M

)

M=

Aω=

Ak(2)当振子在平衡位置时m

落下,由动量守恒k2

=ωA0

+

v2222ωk+

M2

=

mω=12=

Tm

+

Mk=

2πT12E

=

1

kA2112=

E12kA=系统的振

动能量为：返回结束×=(m

+

M

)kM2M

Am

+

Mk=

A+

MMmA2v

=M

A(m

+

M

)kMv2ω2A=2E

=

1

kA2222=

1

kA2Mm

+

Mω

=km

+

M2=ω12E

=

1

kA2返回结束15-17

一单摆的摆长l

=1m，摆球质量m

=0.01kg。开始时处在平衡位置。

(1)若给小球一个向右的水平冲量I

=2×10-3

kg·m/s。设摆角向右为正。如以刚打击后为t

=0，求振动的初相位及振幅；(2)若冲量是向左的，则初相位为多少?l

qm返回结束解：t=

0mvm=

I

=

l

dqd

tm=

lq

mωIm

lω=q

mlgIm

l=2×10-3=

0.01×11φ

=π20q

0

=

0dqd

t0由动量原理：I

=m

vmml

q2若冲量向左，则：φ

=π9.8

=

6.39×10-2rad

=3.660返回结束15-18

一弹簧振子由劲度系数为k

的弹

簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v0的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求振子以后的振动振幅与周期；求物块从初始位置运动到最高点所需的时间。Mx02x01oxx0m+

M返回结束Mg=

kx10=

(m

+

M

)vm

v0ω

=+

Mkm0

=xx

x02

01v

=m

v

0(m

+

M

)=k(m

+

M

)g

=

kx20m

g解：在初始位置m

+

MMx02oxx01x0(1)由动量守恒振子的频率为：得到：返回结束ω

=km

+

MA

=

x20v2+ω

2m

v

0v

=

(m

+

M

)k

v20(m

+

M

)g

21

+=+=mk

2m

gk2

g

22

20(m

+

M

)2m

v

.(m

+

M

)kx0

=m

gk返回结束tgφ

=0v0=m

+

Mm

+

M

.kkm

g=ωx

v

0gkm

+

M1

v

0gv

0gΦ

=ω

t+φ

=

2πω

t

=

2π

φ

=

tgkm

+

Mkm

+

M1tgt

=m

+

Mkω

=km

+

Mm

v

0v

=

(m

+

M

)m

v

0x0

=m

gk返回结束15-19一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如弹簧的劲度系k

=2.0N/m，所系物体体的质量m

=0.50kg。试求:(1)当动能和势能相等时，物体的位移多少？(2)设t

=0时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等处所需的时间是多少？(在一个周期内。)返回结束x

=

A

cos

(ω

t+φ

)ω

=kmx

=

0.2

cos

2

tE1

1k

=

m

v

2

=

mω

2

A

2

sin2ω

t2

21

k

x

2p

=

2E1=

2

mω

A

cosω

t2

2

2解：设谐振动方程为：t=0

时刻，物体在正方向最大处φ

=

0=20.5=

2

s-1A=0.2m当

E

k

=

E

psin2ωt=

cos2ω

t返回结束sin2ωt=

cos2ω

tt=4

2

4

2ω

=π

+

kπ

π

+

kπ2+=π

π8

4k当

k

=0,1,2,3t=

π

3π8

,

8

,5π

7π8

,

8t

=0.39s,1.2s,2s,2.7s4

2ω

t=π

+

kπ4x

=

0.2

cos

π

=0.141m返回结束15-20一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度v

=1.0m/s，周期T

=1.0s。求再经过1/3

s时间，物体的动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。返回结束)2E

k

=

2

m

v1

1=

2

mω

A

sin

(ω

t+2

2

26φ26=

1

mω

2

A

2

sin2

(π

)42=

1

mω

2

A

2

.1EE

m=

14Em

=

21

mω

A2

2解：经平衡位置向正方向运动时，最大动能为经

T/3

后，

物体的相位为

π返回结束15-21在粗糙的水平面上有一弹簧振子，已知物体的质量m=1.0kg，弹簧的劲度系数

k=100N/m，摩擦系数m

满足mg

=2m/s2，今把物体拉伸Δl

=0.07m然后释放，由静止开始运动如图所示。求物体到达最左端B点所需的时间。mkmΔlmb返回结束1k

b

221k

(Δ

l)2mkmmbAC

Δl2=21k

b

2(Δ

l)2BA→B

应用功能原理m

mg

(Δ

l+

b

)=2=1k

(b

+Δ

l)(b

Δ

l)m

mg2=1

k

(bΔ

l)解：返回结束m

mg2=1

k

(bΔ

l)=

0.072×2×1100b

=Δ

l2

m

gmk=0.03m返回结束mkmmbAC

ΔlBA→C

应用功能原理m

mg

(Δ

lx

)=1

m

v

2

+

1k

x

22

21k

(Δ

l)22(Δ

l)2=

2

mgx(Δ

l)22

mgΔ

lk

x

2

+

kmm=2

m

g

(Δ

lv

2x

)k

x

2

+

km

m返回结束v

2

=2

mgx令：(Δ

l)22

mgΔ

lk

x

2

+

kmmA

=

2

mg

=

2×2

=42

mgΔ

lmC

=

kmB

=

k=100=

1001(Δ

l)2=

100×(0.07)24×0.07

=0.21dxdt2v

2==+A

x

B

x

2C返回结束dtdx

<

0由于dx

=dtdt

=A

x

B

x

2

+

CdxA

x

B

x

2

+

CdxA

x

B

x

2

+

C=òΔ

lbt=dtòt0dxdt2v

2==+A

x

B

x

2C返回结束bΔ

l1BAA

2+4

BC=arc

sin

2B

x1BAarc

sin

2B

Δ

l=1BAA

2+4

BCarc

sinA

2+4

BC2B

bdxA

x

B

x

2

+

C=òΔ

lbt返回结束1BA2

B

Δ

larc

sint

=1BAarc

sinA

2

+2

BC2

B

bA

2

+4

BCC=0.21B

=

100A

=

4Δl

=0.07b

=0.034

2arc

sin2×100×0.07

4=

110)1

arc

sin104

24

×100

×

(

0.212×100×0.03

44

×100

×

(

0.21)arc

sin(1)-arc

sin(-1)=110=

1π

(

π

)

=

π10

2

2

10=0.314s返回结束15-22质量为m

=5.88kg的物体，挂在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。在无阻尼情况下，其振动周期为T

=0.4πs；在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中它的振动周期为T=0.5πs；求当速度为0.01m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。返回结束=3.53(kg.s-1)ωβT

=202π22=22π

2πT

T=22π

2π0.4π

0.5π02r

=

2β

m=2×3×5.88=2516

=3(s-1

)F

=

r

v=3.5×1.0×10-2

=

0.353Nβ

ω2=2

2π0

Tω2=

0β2πT22解：返回结束15-23一摆在空中振动，某时刻，振幅为A0=0.03m，经过t1=10s后，振幅变为A1=0.01m，问:由振幅为A0时起，经多长时间，其振幅减为A2=0.003m

？返回结束=20.9(s)A

=A

0

e

β

tlnA

=

lnA

0β

t=110ln

0.03

=0.1100.010t1β

=

1

ln

AA

120=β1

ln

AtA21=

0.11ln

0.030.003解：返回结束15-24

试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅：第一组：x

1

=

0.05cos(3t+π/3)mx

2

=

0.05cos(3t+7π/3)m第二组：x

1

=

0.05cos(3t+π/3)mx

2

=

0.05cos(3t+4π/3)m返回结束ΔΦ

=

4π

π

=π3

3A

=

A1-A2=

01x

=

0.05cos(3t+π/3)mx

2

=

0.05cos(3t+7π/3)mΔΦ

=

7π

π

=

2π3

3A

=

A1+A2=

0.05

+

0.05

=0.10(m)解：(1)x

1

=

0.05cos(3t+π/3)mx

2

=

0.05cos(3t+4π/3)m(2)返回结束15-25

一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:x

2

=

0.03cos(2t-5π/6)m试求其合振动的振幅和初相位(式中x以m计,

t

以s计)

。x

1

=

0.04cos(2t+π/6)m返回结束=0.01mφ

=

arc

tg2cos

(φ)+

+1

22A

A1

A22φ2

1解：A

=

A=(0.04)2+(0.04)2+2×0.04×0.03cos(-π)A1+

A2sinφ1

sinφ2A1

cosφ1

+

A2

cosφ2=

arc

tg22

20.04×

1

+

0.04×

(

1

)0.04×

3

+

0.04×

(23

)3=

arc

tg

(

1)=

π6返回结束15-26有两个同方向的简谐振动，它们的表式如下：x

1

=

0.05cos(10t-3π/4)mx

2

=

0.06cos(10t+π/4)m(1)求它们合成振动的振幅和初相位；

(2)若另有一振动x

3

=

0.07cos(10t+φ0)m问φ0为何值时x1+x3的振幅为最大；φ0为何值时x2+x3的振幅为最小。(式中

x

以

m计;

t

以

s计)返回结束2cos

(φ)+

+1

22A

A1

A22φ2

1A

=

A=(0.05)2+(0.06)2+2×0.05×0.06cos(-π/2)=0.078mφ

=

arc

tgA1A1sinφ1

cosφ1sinφ2

cosφ2+

A2+

A2解：(1)=

arc

tg22220.05×

2

+

0.06×220.05×

(2

)+

0.06×=

arc

tg(11

)

=

84048´返回结束φ3=

03π4φ3=3π44φ3π

=πφ34=

5π(2)返回结束15-27

两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅为A1=0.05m，A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.09m的简谐振动。求两个分振动的相位差。返回结束212cos

(φ)++A222φ1解：A

=

Acos

(

21A

A2)=φ

φ+A222

A1

A2A1

A221=(0.09)2-(0.05)2-

-(0.05)22×0.05×0.07=0.1)=(φ2

φ184016´返回结束15-28当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时，其振动表式为：x

=Acos2.1t

cos50.0t式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。返回结束解：x

=Acos2.1t

cos50.0t2x

=

A

cos

ω

2

ω

12t

cos

ω

2

+ω

1

t=2.1ω

2

ω

12ω

2

+ω1

=502ω

2

=52.1ω

1

=47.9ω

2

ω

1

=4.2T

=ω

2

ω

14.22π

=

2π=1.5(s)两式比较得：拍频为：返回结束15-29

三个同方向、同频率的谐振动为x

1

=

0.1cos(10t+π/6)mx

2

=

0.1cos(10t+π/2)mx

3

=

0.1cos(10t+5π/6)m试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。返回结束A´=

A

1

+

A

3A

=

A

1

+

A

2

+

A

3A2φ2φ1A3A1A

´xoφ35π6Aφ3

=π2φ2

=6πφ1

=解：

A

1

=A

2

=A

3

=

0.1==

A

2

+

A´A

=

2A

1

=

0.2πφ2x

=

0.2cos(10t+π/2)m返回结束15-30

一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动，其表式分别为:x

=

A

cos(ωt+

φ0)y

=

2A

cos(2ωt+

φ0若φ0

=π/4,试用消去法求出合振动的轨迹方程，并判断这是一条什么曲线。)返回结束πx

=

A

cos

(ω

t+

4

)=22

(cos)ωt

sinω

t22(+2

sinωt)(cos)=

2ωt

sinωtωtcosωt

sinAx2

1y====ωtcos(

+

)2222

A2

sinω

tcosω

t)π=

1

(12

A

sin(2ω

t)2

A

.2

sinωtcosω

t2

sinω

tcosω(1)y2

A(2)解：返回结束A(x

)2

=

1

1

+2y2

A=

1

+y4

A2Ay

=

4x

22

A22

sinω

tcosω

t)x

1

(1(1)=2

A(A

)

=

2y2

sinω

tcosω(2)由式(1)、(1)得：返回结束15-31

质量为0.1kg的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动表式分别为：x

=

0.06cos(πt/3

+π/3)my

=

0.03cos(πt/3

-π/6)m求:

(1)质点的运动轨迹;(2)质点在任一位置所受的作用力。返回结束2x

=

A

cos

(ω

t´+

π

)

=A

sinωt´y

=

B

cosω

t´A

=0.06+

B

=x

2

y

2A

221B

=0.03ω

=π3y

2其中解：(1)t´=

t12即：两振动方程改写为：x

2(0.06)2

+(0.03)2

=6把时间零点取在y轴振动的初相为π

处1返回d

r

=Aω

cosωt

´i

+

Bω

sinω

t´jd

tBω

2cosωt´jd2

rAω

2

sinω

t´id

t´2

==

ω

2

rF

=

mrd

2d

t´2mω

2

r9=π0.1

×=2r=0.11

rA

sinω

t´i

+

B

cosω

t´j(2)

r

=返回结束15-32

一质点同时作两个相互垂直的振动。设此两振动的振幅相同，频率之比为

2：3，初相都为零，求该质点的运动轨。返回结束t=

x

+

A改写：cos

ω22Ay

=

A2Ax

+

A

4

.x

+

A2A32

(x

+

A

)

3A=x

+

A2A=2Ax

+

A

(2

x=

A

cosω

t(4

cos

ω2

t

3

)3

cosω

t

)y

=

A

(4

cos

ω3

tx

=

A

cos

2ω

ty

=

A

sin

3ω

t改写：x

=

A

(2

cos

ω2t

1

)cosωt=解：设x

+

A2AA

)返回结束15-33

设一质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示:(1)写出这质点的速度和加速度表式；

(2)这质点的运动是不是简谐振动?(3)画出其x

~

t

图线。x

=

A

sinωt+

B

sin

2ωt返回结束x

=

A

sinω

t+

B

sin

2ω

t解：d

td

x

=

Aω

cosω

t+

2Bω

cos

2ω

t=BAω

2

sinωt

4Bω

2

sin2ω

tx~t

Ad2

xd

t2yxo返回结束15-34

把一个电感器接在一个电容器上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度而作线性变化，如果旋钮旋转1800角，振荡频率就自2.0×105Hz变到4.0×105Hz

，若L=1.0×10-3H，试绘出在转角1800的范围内，电容C与角度的函数曲线。返回结束1LCf

=2πC=4π2f

2LL

=1.0×10-3H1Δf

与Δq

成正比解：2.0×105f

(Hz)q00C(pf)6404502.5×1054109003.0×10528013503.5×10521018004.05×105160400300200100oC(pf)500q返回结束15-35

如图所示，将开关K揿下后，电容器即由电池充电，放手后，电容器即经由线圈L

放电。(1)若L=0.010H，C

=1.0mF,ε

=1.4V，求L中的最大电流(电阻极小，可略);(2)当分布在电容和电感间的能量相等时，电容器上的电荷为多少?

(3)从放电开始到电荷第一次为上述数值时，经过了多少时间?..KL.Cε返回结束解：(1)

x

L

=ωL

=1LC.L

=LC=0.011.0×10-6=100(Ω)Im=