时域离散信号和系统的频域分析(上)

第2章时域离散信号和系统的频域分析Discrete-Time

Signals

and

Systems

inthe

Transform-Domain*1SCHOOL

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U.本章主要内容7/13/2020SCHOOL

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U.2序列的傅里叶变换（DTFT）离散傅里叶级数（DFS）周期序列的傅里叶变换序列的Z变换（ZT）逆Z变换时域离散时不变系统的变换域分析2.1

引言7/13/2020SCHOOL

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U.3信号和系统的描述方法和分析工具时域——信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程直观求解难，分析困难特征不易把握设计难频域——信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶变换（DTFT）、Z变换、便于求解分析、设计易2.2

时域离散信号的傅里叶变换*4SCHOOL

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U.连续信号的傅里叶变换（FT）连续信号的傅里叶变换定义如下正变换反变换时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱7/13/2020SCHOOL

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U.52.2.1

时域离散信号的傅里叶变换的定义若

序列

绝对可和，或者说序列能量有限，即的傅里叶变换(DTFT——离散时间傅立叶变换)为则时域离散信号正变换（DTFT）其中：，T是采样间隔。表示序列的频率特性。幅频特性：

相频特性：

注意：求和上下限、变换的条件、n取整数、DTFT变换的结果是连续的，且以2

为周期。7/13/2020SCHOOL

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U.6反变换（IDTFT）定义：证明：由于于是＃7/13/2020SCHOOL

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U.7DTFT举例的傅里叶变换例2.2.1求矩形序列解：7/13/2020SCHOOL

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U.82.2.2

周期信号的离散傅里叶级数（DFS）连续周期信号的傅里叶级数（FS）周期为

基频正变换反变换7/13/2020SCHOOL

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U.9周期序列的离散傅里叶级数（DFS）周期信号不存在傅里叶变换设为以N

为周期的周期序列，则其可展开成傅里叶级数：为什么是有限项之和？如何求

？7/13/2020SCHOOL

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U.11周期序列的离散傅里叶级数（续）7/13/2020SCHOOL

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U.12周期序列的离散傅里叶级数（续）■均是以N

为周期的周期序列。反变换表达式具有明显的物理意义：它表示将周期序列分解为N

次谐波，第k次谐波的频率是谐波的幅度为，相位为7/13/2020SCHOOL

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U.14得：周期信号的频谱是离散线状谱若信号的周期为

N，则

的周期亦为

N。7/13/2020SCHOOL

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U.16四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期非周期连续

(

)

FT2.连续周期非周期离散()

FS3.离散非周期周期连续()

DTFT4.离散周期周期离散()

DFS切实理解四种FT之间的对应关系7/13/2020SCHOOL

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U.172.2.3

周期信号的傅里叶变换

序列的傅里叶变换（DTFT）的条件是序列必须绝对可和，周期序列不满足绝对可和的条件，因此严格讲傅里叶变换不存在。

但如果像连续信号那样，引入奇异函数（单位冲激函数），傅里叶变换的定义可以放松，可以用冲激函数表示其傅里

叶变换。模拟信号个冲激，强度是2的傅里叶变换是在

处的一，即7/13/2020SCHOOL

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U.191.复指数序列的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换·

连续信号

的傅里叶变换·

令：复指数序列的傅里叶变换为7/13/2020SCHOOL

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U.20复指数序列的傅里叶变换（续）是以

为周期的单位脉冲序列上式为假设，如该假设成立，其傅里叶反变换应为7/13/2020SCHOOL

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U.21求证：复指数序列的傅里叶变换（续）7/13/2020SCHOOL

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U.22一般周期序列的傅里叶变换（续）由于：于是：的周期序列的傅里叶变换由冲激函数的和组成，各冲激函数的强度为

， 是周期序列离散傅里叶级7/13/2020

SCHOOL

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TECHNOLOGY

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U.数的系数。24例2.2.3设得到周期序列，将，试求以N=8为周期进行周期延拓，的傅里叶变换解：先求周期序列的傅里叶级数周期序列的傅里叶变换为7/13/2020SCHOOL

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U.25幅频特性：7/13/2020SCHOOL

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U.26例2.2.4令换。，为有理数，求其傅里叶变解：7/13/2020SCHOOL

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U.27

余弦信号的傅里叶变换是在

处的冲激函数；强度为

；以

为周期进行周期性延拓。7/13/2020SCHOOL

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U.28，

正弦序列变换。为有理数，求其傅里叶7/13/2020SCHOOL

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U.29基本序列的傅里叶变换[P/31]7/13/2020SCHOOL

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U.302.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质1.周期性时域离散信号的傅里叶变换(频域函数)以

为周期，即，M

为整数证明：7/13/2020SCHOOL

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U.31周期性的意义·

对信号进行频域分析时，只需分析一个周期即可；在在在处，表示直流分量；附近为低频分量附近为高频分量7/13/2020SCHOOL

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U.32证明7/13/2020SCHOOL

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U.34

该定理说明，两序列卷积的DTFT，结果服从相乘的关系。

对于线性时不变系统输出的DTFT，等于输入信号的DTFT乘以单位脉冲响应的DTFT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照前式作乘积，求出输出的

DTFT，再作IDTFT求出输出信号。7/13/2020SCHOOL

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U.353.频域卷积定理设则时域相乘频域卷积7/13/2020SCHOOL

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U.36

例2.2.5设求，的傅里叶变换。解：将

序列与于移动了

，即将

信号调制到

信号上。相乘，相当于奇数序列值乘以-1，在频域上相当平移了

，即高频段与低频段互换了位置。在-

～

积分限之间只有r=-1和r=0有效7/13/2020SCHOOL

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U.387/13/2020SCHOOL

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U.393.傅里叶变换的对称性最一般地，序列

为复序列，则定义：共轭对称序列共轭反对称序列任一序列可分解成共轭对称部分和共轭反对称部分因为故有7/13/2020SCHOOL

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U.40傅里叶变换的对称性（续）频域共轭对称性频域共轭反对称性将频域函数分成共轭对称分量和共轭反对称分量因为有：7/13/2020SCHOOL

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U.41

序列的对称性与变换到频域的对称性之间的关系？——傅里叶变换的对称性序列分解为实部和虚部对实部：——即：实部（实序列）的傅里叶变换具有共轭对称性质考虑到实际上，实部的DTFT就是原序列DTFT的共轭对称分量，即7/13/2020SCHOOL

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U.42而对：——纯虚数序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质实际上有：所以：7/13/2020SCHOOL

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U.43可以得到：即有：将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分因7/13/2020SCHOOL

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U.44如果将序列傅里叶变换写成：当当当当为实序列，则

为偶对称，

为奇对称为实序列，则其傅里叶变换具有共轭对称性质；为实偶对称序列，则其傅里叶变换为实偶对称的；为实奇对称序列，则其傅里叶变换为纯虚奇对称的7/13/2020SCHOOL

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U.45小结：7/13/2020SCHOOL

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U.46时域离散信号的傅里叶变换非周期信号周期信号连续周期频谱离散周期冲激频谱时域离散周期信号的傅里叶级数·

离散周期频谱变换的物理意义离散信号傅里叶变换的性质2.3

时域离散信号的Z变换*47SCHOOL

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U.Z变换的意义7/13/2020SCHOOL

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U.48

傅里叶变换为信号提供了一种频域表示方法，便于进行频域分析及信号处理；

序列的离散时间傅里叶变换是有条件的，即需满足绝对可和条件；

很多情况下，序列的傅里叶变换不存在，无法利用其频域特征；

Z变换是傅里叶变换的推广形式，为许多信号提供了频域表示。Z变换的意义7/13/2020SCHOOL

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U.49

很多序列的离散时间傅里叶变换不存在，但其Z变换存在；Z变换是数字滤波器设计与分析的重要工具；

线性时不变离散时间系统的分析工具，如稳定性、性能指标等。2.3.1

Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系z——复变量双边Z变换：单边Z变换：Z变换的定义Z变换的定义7/13/2020SCHOOL

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U.50Z变换的定义（续）Z变换存在的充分条件：前面的幂级数收敛，使上式满足的|z|的取值域，称为X(z)的收敛域。■■收敛域的最小收敛半径收敛域的最大收敛半径7/13/2020SCHOOL

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U.51收敛的条件：得到：Z变换的定义（续）收敛域是Z变换不可缺少的一部分例2.3.1

，求其Z变换，并确定收敛域7/13/2020SCHOOL

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U.522.

Z变换与离散时间傅里叶变换之间的关系令如

则这样，Z变换变为离散时间傅里叶变换（DTFT），DTFT是单位圆上的Z变换，单位圆必须包含在收敛域中例x(n)＝u(n)的Z变换收敛域不包含单位圆，单位圆上的Z变换不存在，DTFT不存在7/13/2020SCHOOL

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U.53Table

3.8:

Some

commonly

used

z-transform

pairs.Sequencez-TransformROC1All

values

of

z7/13/2020SCHOOL

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U.542.3.2

Z变换的收敛域与序列特性之间的关系一般而言，z变换是有理函数，分子分母用z的多项式描述：Z变换的零点：分子多项式的根Z变换的极点：分母多项式的根收敛域总以极点为界有限长序列、右序列、左序列、双边序列的收敛域？？7/13/2020SCHOOL

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U.551.有限长序列Z变换的收敛域有限长序列：收敛域：取任意值7/13/2020SCHOOL

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U.563.左边序列Z变换的收敛域左序列：有序列的Z变换收敛域：第一项第二项收敛域：7/13/2020SCHOOL

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U.584.双边序列Z变换的收敛域双边序列：有序列的Z变换收敛域：第一项第二项

收敛域：7/13/2020SCHOOL

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U.59例：2.3.2

求

的Z变换及其收敛域解：有限长序列，n＝0～N-1，收敛域：Z变换：注：z＝1既是极点也是零点，抵消后单位圆仍在收敛域内。7/13/2020SCHOOL

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U.60例：2.3.3求的Z变换及其收敛域序列值非零解：收敛域：Z变换：Z变换的表达式与例2.3.1相同，但收敛域不同。7/13/2020SCHOOL

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U.61例：2.3.4求的Z变换及其收敛域解：双边序列收敛域：Z变换：两部分的收敛域分别为：该序列Z变换的收敛域分别为：7/13/2020SCHOOL

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U.62收敛域包含单位圆，其傅里叶变换存在，可直接求出7/13/2020SCHOOL

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U.63常见序列的Z变换及其收敛域：

P/39

表2.3.22.3.3

逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列方法：部分分式展开围线积分法幂级数法7/13/2020SCHOOL

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U.641.幂级数法（长除法）从定义出发原序列是z的幂级数的系数

Z变换的两个多项式之比，通过长除，可以得到z的负幂级数7/13/2020SCHOOL

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U.65例：7/13/2020SCHOOL

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U.662.部分分式法7/13/2020SCHOOL

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U.67将Z变换的有理分式分解为简单的部分分式之和，查表得到各部分分式所对应的序列，求和，获得原序列。部分分式法的一种计算方法：对X(z)仅有单阶极点的情况，可用留数方法求得部分分式。设X(z)有N个一阶极点通过留数，求取7/13/2020SCHOOL

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U.68例2.3.5用部分分式法求逆Z变换解：于是，得：7/13/2020SCHOOL

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U.69双边序列根据极点确定每个分式的收敛域第一个分式的收敛域第二个分式的收敛域查表，获得每个分式的原序列X(z)的原序列7/13/2020SCHOOL

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U.703.围线积分法基于围线积分的原序列求取公式：

c是X(z)收敛域中任意一条包含原点的逆时针旋转的封闭曲线用柯西留数定理计算围线积分7/13/2020SCHOOL

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U.71围线积分的计算令为F(z)在围线c内的极点，设有M个极点若

为单阶极点（单重极点），则若

为N阶极点（多重极点），则7/13/2020SCHOOL

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U.72

多阶极点留数的计算比较麻烦，可以改求围线以外的极点的留数之和。

如F(z)在z平面上有N个极点，围线c内有

个，围线c外有

个围线积分的计算上式成立的条件：F(z)分母的阶次≥分子的阶次＋27/13/2020SCHOOL

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U.73围线积分的计算设设P(z)、Q(z)的阶次分别为N、M，则7/13/2020SCHOOL

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U.74例子：1.已知，求其逆z变换。2.已知,求其逆z变换。7/13/2020SCHOOL

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U.75F(z)的极点为，被围线c包围，于是例2.3.6

已知，求其逆z变换。解：收敛域包含∞，是一个因果序列。求F(z)的极点F(z)的极点为 和

n

阶极点

z=0

，被围线c包围X(z)的分子、分母的阶次相等N

=M

=1，满足留数辅助定理的条件围线外无极点，用围线外的留数代替围线内的留数原序列为7/13/2020SCHOOL

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U.76例2.3.7解：收敛域为环状域，原序列是双边序列。求F(z)7/13/2020SCHOOL

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U.77所以7/13/2020SCHOOL

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U.787/13/2020SCHOOL

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U.797/13/202080SCHOOL

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U.7/13/202081SCHOOL

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U.7/13/2020SCHOOL

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U.822.3.4

Z变换的性质7/13/2020SCHOOL

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U.83Z变换的性质与DTFT的性质相似，掌握Z变换的性质，便于Z域的计算与信号分析

注意收敛域（ROC）的变化。借以揭示信号在时域与在Z域的特性之间的关系。线性2.3.4

Z变换的性质(1)7/13/2020SCHOOL

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U.842.3.4

Z变换的性质(1)7/13/2020SCHOOL

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U.85解：7/13/2020SCHOOL

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U.86序列移位7/13/2020SCHOOL

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U.872.3.4

Z变换的性质(2)解：序列移位因Y(z)有极点z=1,且y(n)为因果序列，Y(z)的收敛域为7/13/2020SCHOOL

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U.882.3.4

Z变换的性质(4)乘以指数序列7/13/2020SCHOOL

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U.90➢微分2.3.4

Z变换的性质(5)解：因此7/13/2020SCHOOL

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U.91解：利用微分性质，将非有理函数转换成有理函数表达式序列移位性质7/13/2020SCHOOL

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U.922.3.4

Z变换的性质(6)➢共轭7/13/2020SCHOOL

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U.932.3.4

Z变换的性质(7)时域卷积定理7/13/2020SCHOOL

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U.94解：利用围线积分，求输出序列y(n)7/13/2020SCHOOL

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U.95解（1）：直接简单求解方法是分别求出x(n)和y(n)，相乘后再作Z变换。7/13/2020SCHOOL

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U.98解（2）：V平面上的收敛域X(z)的收敛域7/13/2020SCHOOL

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U.99因此，V平面上的收敛域Y(z)的收敛域求围线积分：7/13/2020SCHOOL

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U.100求围线积分：V平面上的极点V平面围线c以内的极点求W(z)7/13/2020SCHOOL

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U.101W(z)的收敛域7/13/2020SCHOOL

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U.102初值定理2.3.4

Z变换的性质(9)7/13/2020SCHOOL

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U.1032.3.4

Z变换的性质(10)终值定理

x(n)为因果序列，X(z)在单位圆上只能有一个一阶极点，其它极点均在单位圆内。证明：因为x(n)是因果序列，因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限7/13/2020SCHOOL

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U.1042.3.4

Z变换的性质(10)因为因此终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，即：如果单位圆上X(z)无极点，则x()=0。7/13/2020SCHOOL

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U.105补充:

序列的Z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系¨序列的Z变换：连续时间信号的Laplace变换：¨连续时间信号的Fourier变换：理想采样信号的Laplace变换：7/13/2020SCHOOL

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U.106理想抽样信号的Laplace变换理想抽样信号：其Laplace变换：7/13/2020SCHOOL

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U.107其Z变换：7/13/2020SCHOOL

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U.108比较理想抽样信号的Laplace变换：得：抽样序列的Z变换=理想抽样信号的Laplace变换即：这是复平面S平面到Z平面的映射——S平面：(直角坐标）Z平面：（极坐标）7/13/2020SCHOOL

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U.109S平面Z平面σ

=0虚轴r=1单位圆上σ

<0左半平面r<1单位圆内部σ

>0右半平面r>1单位圆外部7/13/2020SCHOOL

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U.110插演示S平面到Z平面的映射是多值映射。S平面Z平面Ω

=0实轴零频ω=0正实轴 零频Ω

=Ω0Ω平行直线频率ω=Ω0Tω:辐射线 角度Ω:ω:7/13/2020SCHOOL

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U.1117/13/2020SCHOOL

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U.1122.4

利用Z变换对信号和系统进行分析*113SCHOOL

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U.Z变换域分析的意义便于考察信号、系统的特征便于系统的分析与设计比傅里叶变换的应用范围广7/13/2020SCHOOL

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U.1142.4利用Z变换对信号和系统进行分析2.4.1系统的传输函数和系统函数系统的时域描述——单位脉冲相应h(n)系统的传输函数（或：频率响应函数）7/13/2020SCHOOL

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U.115系统的传输函数的意义（1）加权相位为输入相位与系统相位响应之和输出同频(w

)序列0幅度受频率响应幅度设系统的输入

是单一频率的复指数序列7/13/2020SCHOOL

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U.116这里此又将仍然起着改变输入信号频谱结构的作用，因称为系统的“频率响应函数”

设计不同的频率响应函数，可以实现对信号的放大、滤波、相位均衡等功能。系统的传输函数的意义（2）如果系统的输入

是一般序列，根据傅里叶变换的时域卷积定理，有：

输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数7/13/2020SCHOOL

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U.117系统函数它表征系统的复频域特性如果H(z)的收敛域包含单位圆，则序列的傅里叶变换存在。则

和

之间的关系为

系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换，有时亦将系统函数称为传输函数定义由卷积定理：可得：7/13/2020SCHOOL

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U.1182.4.2根据系统函数极点的分布分析系统的因果性和稳定性系统函数的极点Z变换，得系统函数（a0=1）因式分解7/13/2020SCHOOL

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U.119A

影响输出信号的幅度是

的零点，

是

的极点；极点分布影响系统的因果性和稳定性零点、极点分布将影响系统的频率特性7/13/2020SCHOOL

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U.120因果性系统因果性指的是系统的可实现性

可实现系统的单位脉冲响应是因果序列[即h(n)=0,n<0

]其Z变换的收敛域为即，因果序列Z变换的极点在以

为半径的圆内结论：因果系统的极点均集中在某个圆内。7/13/2020SCHOOL

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U.121稳定性对于稳定系统，系统的h(n)绝对可和，即Z变换的收敛域：¨根据h(n)的Z变换的定义，有¨即，Z变换的收敛域包含单位圆（z＝1）系统稳定：系统函数的收敛域包含单位圆；或系统函数的极点不在单位圆上。因果稳定系统：■系统函数的极点在单位圆内！！7/13/2020SCHOOL

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U.122¨解：因果系统：¨因为收敛域包含

点；¨稳定系统：¨因为这时收敛域包含单位圆。7/13/2020SCHOOL

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U.123解：系统的极点为（1）收敛域取，是因果系统；收敛域不包含单位圆，系统不稳定。收敛域包含单位脉冲响应为（2）收敛域取收敛域不包含，不是因果系统；收敛域包含单位圆，系统稳定。单位脉冲响应为（3）收敛域取收敛域不包含，不是因果系统；收敛域不包含单位圆，系统不稳定。单位脉冲响应为7/13/2020SCHOOL

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U.1242.4.3

用Z变换求解系统的输出响应求解系统输出响应的方法：递推法：已知差分方程、初始条件，递推求解差分方程卷积：Z变换Matlab（见第一章）7/13/2020SCHOOL

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U.1251.零状态响应与零输入响应移位因果序列的Z变换（用单边Z变换）：如：7/13/2020SCHOOL

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U.126系统的差分方程为输入信号x(n)为因果序列因为差分方程的Z变换：07/13/2020SCHOOL

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U.127第一项与系统和输入信号有关，与初始状态无关，系统的零状态响应第二项与系统和初始状态有关，与输入信号无关，系统的零输入响应系统的响应：全响应＝系统的零输入响应＋系统的零状态响应7/13/2020SCHOOL

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U.128例2.4.2已知系统的差分方程为输入信号为求系统的输出。，初始条件为解：对输入信号和差分方程进行Z变换7/13/2020SCHOOL

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U.129收敛域取：系统输出：代入初始条件及输入7/13/2020SCHOOL

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U.1307/13/2020SCHOOL

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U.1312.4.5

根据系统的零极点分布，分析系统的频率特性系统差分方程：系统函数时域输出与系统函数的零极点有关，

频率特性与系统函数的零极点有关，希望根据零极点的分布进行定性的分析7/13/2020SCHOOL

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U.132M个零点，N个极点系统函数

频率特性与系统函数的零极点有关，根据零极点的分布进行定性的分析系统的频率响应的几何确定7/13/2020SCHOOL

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U.133设系统稳定，令7/13/2020SCHOOL

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U.134极点矢量矢量矢量矢量■零点■7/13/2020SCHOOL

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U.135幅频特性相频特性7/13/2020SCHOOL

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U.136c27/13/2020SCHOOL

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