2023年中考数学压轴强训：待定系数法求二次函数解析式（能力提高）

2023年中考数学压轴专题强训：待定系数法求二次函数解析式

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1.如图，抛物线与X轴交于人与，。），B®，。）两点，且西＜々，与y轴交于点C（0,-5）,

（1）求这条抛物线的解析式;

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点交AC于点N,连接CM,当

CMN的面积最大时，求点〃的坐标；

⑶点。（4,左）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在％轴是否存在点E,

使以A,D,E,/四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有

满足条件的点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

2.在平面直角坐标系中，抛物线y=*+法+c*、C为常数）的对称轴为直线x=i,

且经过点A（2,3）.点尸在该抛物线上，其横坐标为，

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

⑵当0VXV3时，求函数），的最大值和最小值；

（3）将此抛物线上尸、4两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G,当图象G与

直线y=2,”+1只有一个公共点时，求，”的取值范围；

（4）设点。的坐标为（-1，3-加），当尸。不与坐标轴平行时，以尸。为对角线构造矩形

PMQN,且PM_Ly轴.当抛物线与矩形PMQN的边只有两个交点，且交点的纵坐标

之差为，时，直接写出机的值

3.综合与探究

如图1,抛物线＞=症+阮+3（"。）与口轴交于A（-2,0）,8（4,0）两点，与y轴交于点C,

点。是抛物线在第二象限内的一个动点，过点。作PD〃y轴交直线BC于点。，连

接PC,PB,设点。的横坐标为W1.

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵①请用含m的代数式表示,PBC的面积.

②当PBC的面积为日时，求点。的坐标.

(3)如图2,在(2)②的条件下，点。是射线co上的一个动点，射线尸。交直线BC

于点G,当aCQG是等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的点。的坐标.

4.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8S的三个顶点8(4,0),C(8,0),0(8,-8),抛

物线尸加+法经过A,C两点.动点尸从点A出发，沿线段向终点B运动，同时

点。从点C出发，沿线段。向终点。运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运

动时间为/秒，过点P作交AC于点E.

(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式；

⑵过点E作瓦于点尸，交抛物线于点G,当/为何值时，线段EG的长有最

大值？最大值是多少？

(3)连接E。，是否存在，的值使-ECQ为等腰三角形？若存在，请求出，值；若不存

在，请说明理由.(参考公式：平面内两点6&，乂)、鸟(々，％)间的距离

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-X2)+(y,-y2))

5.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=；x-2与％轴交于点8,与y轴交于

点C抛物线的对称轴是直线x=|且经过3、C两点，与％轴的另一交

点为点A.

⑴①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式.

(2)如图2,若点P为直线8c下方的抛物线上的一点，连接PRPC.求一PBC的面积

的最大值，并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点〃，过点M作MN垂直工轴于点N,使得以点A、M.N

为顶点的三角形与.A5C相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

6.如图，已知抛物线丫=—-+法+。与X轴交于A、B两点(点A在点8的左侧)，与

y轴交于点。(。，3),且点。到点c距离是点。到点B距离的3倍，点M是抛物线上一

点，且位于对称轴的左侧，过点M作MN//X轴交抛物线于点N.

⑴求抛物线的解析式；

(2)若点〃沿抛物线向下移动，使得8WMV49,求点M的纵坐标加的取值范围；

(3)若点尸是抛物线上任意一点，点户与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3,请直

接写出P点横坐标号的取值范围.

7.如图，已知抛物线广加+法+c("0)的图像与％轴交于点A(-1,0)和点3(3,0),与

3轴交于点。(。，-3).

⑵如图，点M是直线8c下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴

于点"，交BC于点、N,求线段MN最大时点M的坐标；

⑶在(2)的条件下，该抛物线上是否存在点。，使得NQC8=NC3M.若存在，请

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，已知抛物线y=Y+bx+c经过点A(-2,7),与入轴交于点8、C(5,o).

⑴求抛物线的顶点M的坐标；

(2)点石在抛物线的对称轴上，且位于X轴的上方，将8CE沿直线3E翻折，如果

点。的对应点尸恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；

⑶点尸在抛物线的对称轴上，点。是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ为

等边三角形时，求直线时的表达式.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=加+2>6与X轴交于两点A8(3,0),与y

轴交于点。0,3).

(1)求抛物线的函数解析式及顶点。的坐标；

⑵连接B£>,若点E在线段BZ)上运动(不与点A£>重合)，过点E作E/Fx轴于点F,

对称轴交x轴于点兀设EF=m,当机为何值时，与BEC的面积之和最小？

(3)将抛物线广加+2X+6在y轴左侧的部分沿y轴翻折，保留其他部分得到新的图

象L,在图象L上是否存在点P,使△BDP为直角三角形？若存在，直接写出所有

符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

a

10.已知：抛物线丫=-届/+法+。与％轴交于点A(4,o)和点8(-3,0),与)轴交于点C.

O

图⑴1*1(2)

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵如图(1),点尸是第一象限内抛物线上的点，连接。P,交直线4c于点D设

点尸的横坐标为相，器=＞，求y与相之间的函数表达式；

⑶如图(2),点。是抛物线对称轴上的点，连接0Q、82,点M是△OBQ外接圆

的圆心，当sin/O08的值最大时，求点M的坐标.

11.在平面直角坐标系中，已知顶点为尸的抛物线G的解析式是y=a(x-3)2(“＞0)且

经过点(。，1).

(1)求。的值;

(2)如图1,将抛物线G向下平移〃仅＞。)个单位长度得到抛物线G,过点

M(0,*)m>0)作直线/平行于X轴，与两抛物线从左到右分别相交于A、B、C、。四

点，且A、C两点关于y轴对称.

①点G在抛物线G上，当点c的坐标为何值时，四边形APCG是平行四边形？

②如图2,若抛物线G的对称轴与抛物线G交于点Q,试探究：在M点的运动过

AT

程中，笥的比值是否为一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明

理由.

12.在平面直角坐标系也了中，对称轴为直线x=i的抛物线y=M+2x+c与x轴正半

轴，y轴正半轴分别交于点8,C,且O8=OC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线y=d+2x+c与X轴的另一个交点为A,点P在抛物线y=or2+2x+c上，直

线PA交y轴于点E,过点C作C£>〃x轴交抛物线y=or2+2x+c于点£）.

①若PCD的面积是AACE面积的2倍，求点尸的坐标；

②连接BC交直线户1于点H,当点尸在抛物线对称轴右侧图象上，且在直线8的

M

上方时，记△ACE,4PCH,PC。的面积分别为5,反，S,,若6S4+S3=M,判断百

是否存在最大值•若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

13.抛物线产加+反-4（a>0）交x轴于点A,B（点A在点B左侧），交》轴于点C,

已知A（T。）和8（4,0）,点。为抛物线上第四象限的动点.

（备用图）

（1）求抛物线的解析式；

⑵直线交BC于点E,求产的最大值；

（3）直线血交抛物线的对称轴于点尸，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点

Q,求当AQ+QP+CP最小时，动点。的横坐标.

14.抛物线y=f+次+C与X轴交于4（%,0）,8（刍,0）两点，且X产毛.

⑴若演=1,当"）=5时，求抛物线的解析式；

（2）如图，已知点《|，0）,在（1）中所求的抛物线上取一点”（为,%）（。＜与＜1）,连

接用「并延长交该抛物线于点八小，八）.判断3+4的值是否为常数？若是，请

MFNr

求出这个常数；若不是，请说明理由；

⑶若AB的中点坐标为4-°j-别，且一24C4一,设此抛物线顶点为P,交了轴于

点D,直线即交x轴于点芯，点。为坐标原点，令面积为S,请直接写出S的

取值范围.

15.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线)，=-丁+灰+3与％轴交于A、B

两点(点A在点B左侧)，与y轴交于C点，OB=OC.

(1)如图1,求b值；

(2)如图2,连接BC,点E在第一象限的抛物线上，过点E作顼Ux轴于点。，与BC

交于点G,连接0G,设点E的横坐标为，，四边形C4OG的面积为S,求S与/的函数

解析式(不要求写出自变量，的取值范围)；

⑶如图3,在(2)的条件下，若S=3,点/在线段DE上，连接BF,点M在即的

延长线上，点N在x轴上，连接MN,ZNMB=2NBFD,交x轴于点尸，点。在

线段MN上且NP=P。，若PQ:3Q=1:2,连接DR,求ZADR正切值.

16.如图，二次函数y=-f+6x+c经过点4(4,0)、3(0,2),点尸是x轴正半轴上一个动

点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.设点尸的横

坐标为机.

(1)求二次函数的表达式；

⑵若E、尸、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)

时，求机的值.

⑶点户在线段0A上时，

①连接AE、BE,当二A3E的面积最大时，求点E的坐标；

②若以8、E、尸为顶点的三角形与一FPA相似，求〃，的值;

17.如图1,二次函数＞=，+法+3的图象与入轴交于点人-3,0)和8(4,0),点A在点

8的左侧，与y轴交于点C

图1备用图

⑴求二次函数的函数解析式;

(2)如图1,点P在直线BC上方的抛物线上运动，过点P作叨L3C交BC于点0,

作PEy轴交BC于点£,求PD+PE的最大值及此时点。的坐标；

⑶在(2)的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点。为点尸的对

应点，平移后的抛物线与>轴交于点G,M为平移后的抛物线的对称轴上一点，

在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点。、G、M、N为顶点的四边形是平

行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

18.如图，抛物线>="+云+C与％轴交于点4-2,0)、8(4,0),与y轴交于点C(0,-4),

(1)求抛物线y=#+"+c的表达式;

⑵如图2,点E（X,0）是线段。。上的任意一点，过点£作用垂直于％轴交抛物线于

点G.连接CG,当NDCG=Z4co时，求点G的坐标；

⑶若点P是直线BC下方的抛物线上的一点，点。在y轴上，点M在线段BC上,

当以C,P,Q,M为顶点的四边形是菱形时，求菱形的边长.

19.如图，对称轴为直线x=l的抛物线尸加+fer+c（"0）图象与％轴交于点A、B（点

A在点8的左侧），与y轴交于点C,点。为抛物线上第四象限内的一个动点，过

点P作PE_L8C于点/，交工轴于点E,其中点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0，-3）.

⑴直接写出该抛物线的解析式：

（2）如图1,若S椀CE=3%"时，求点尸的坐标；

（3）如图1,当PF取最大值时，求点P的坐标；

（4）如图2,连接。，在抛物线上是否存在点P,使tan/PCB=g,若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

20.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此

时白球在黑球前面55cm处，小聪测量黑球减速后的运动速度y（单位：cm/s）、运

动距离y（单位：cm）随运动时间，（单位：s）变化的数据，整理得下表.小聪

探究发现，黑球的运动速度u与运动时间，之间成一次函数关系，运动距离）与

运动时间，之间成二次函数关系.

黑球白球

O。

(2)当黑球减速后运动距离为75cm时，求它此时的运动速度；

(3)若白球一直以3cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会触到白球?

若不能，请求出两球之间距离的最小值；若能，请求出运动时间九

参考答案：

1.(1)y=x2-4x-5

⑵(2,0)

(3)(3.0)或(-5,0)或(7+714,0)或(7-714.0)

2.(1)y=-/+2x+3

⑵当04x43时，函数V的最大值为4,最小值为0

(3)机与-a或14机40

⑷,〃=空

3.(1)y=-#+%+3

⑵①以.=》2-3"；②点户的坐标为(-1,葭);

191321

⑶Q(O,@),e(o,-),Q(O,-)

oo2o3

4.⑴A(4,一8),y=^x2-4x

⑵当，=4时，EG有最大值是2

⑶存在，号或40766或与

1Q

5.⑴①A(—l，0)；②丫=#_P一2

⑵面积最大为4,网2,-3)

⑶存在，(0,-2)或(3,-2)或(8,18)或(5,3)

6.(1)抛物线的解析式为

⑵点M的纵坐标％的取值范围为-富加-2

(3)T-夜42-2或04/4-1+近

7.(1)y=x2-2x-3

⑵呜制

⑶翳)或停啜)

8.(1)y=x2-4x-5,顶点坐标为：Af(2,-9).

⑵