数学八年级下册期中优化评（苏科版）专题12三角形的中位线

专题12三角形的中位线知识讲解三角形的中位线（一）三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。【微点拨】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的。（3）三角形的中位线不同于三角形的中线。（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成：（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。同步练习1．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同圆的半径相等可知，点C在半径为1的上运动，取OD=OA，根据三角形的中位线定理知，点C在BD与的交点时，OM最小，在DB的延长线与的交点时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而确定中点M的坐标即可．【详解】解：∵点C在坐标平面内，BC=1，∴C在半径为1的上，如图所示，取，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM为△ACD的中位线，∴，当OM最大时，即CD最大，此时D，B，C三点共线，∵，∠BOD=90°，∴BD=2，∴CD=2+1=3，作CE⊥x轴于E点，∵CE∥OB，∴，即：，∴，∴，∴，∵M是AC的中点，∴，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等，确定OM最大时动点C的位置关系是解题关键．2．如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（

）A． B．C．和互相平分 D．以上答案都不对【答案】C【分析】连接FD，ED，根据三角形中位线定理可以证明四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行求解即可．【详解】解：如图，连接FD，ED，∵，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点，∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，∴DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴EF与AD互相平分，故C符合题意，D不符合题意；根据现有条件，无法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（

）A．1 B．2 C． D．7【答案】A【分析】根据已知条件利用ASA证明．再计算出BG，根据点E、F是中点，得到EF是△BGC的中位线，得出EF的长度．【详解】解：∵∴∠AFC=∠AFG∵AF是的角平分线∴∠GAF=∠CAF在和中，，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查三角形的中位线、全等三角形．灵活使用中点是本题的解题关键．4．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（

）A．3 B．2.5 C．4 D．3．5【答案】B【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等于的一半．【详解】解：点、分别是边、的中点，∴是的中位线，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，三角形共有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系，弄清哪条边昰第三边是解本题的关键．5．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．【详解】解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，又∵BD=2，∴菱形ABCD的面积S=×AC×BD=×2×2=2，故选：A．【点睛】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，根据勾股定理可得BC=6，又因DE垂直平分AC，∠ACB=90°，可得DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得DE=BC=3，【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，勾股定理可得BC=＝6，又∵DE垂直平分AC，∠ACB=90°，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理DE=BC=3，故答案选D.【点睛】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，掌握勾股定理，三角形的中位线定理是解题关键．7．若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2

，则这个梯形的高等于（

）A．6cm B．6cm C．3cm D．3cm【答案】D【分析】根据梯形的中位线定理，知梯形的面积=梯形的中位线×高．根据这一面积公式，列方程求解．【详解】设高为xcm，则梯形的中位线是2xcm.根据梯形的面积公式,得2x=18,解得x=±3(取正值).故选D.【点睛】此题考查梯形中位线定理，解题关键在于掌握运算公式.8．如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形【答案】B【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；【详解】解：连接AC、BD．AC交FG于L．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，

同法可得：，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，同法可证：GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选B．【点睛】题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，∵，，∴AC=∴BD=10cm，∴，∵点，分别是，的中点，∴．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．10．如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（）A． B．5 C． D．10【答案】A【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=BC，求得DF=AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴AE=CE，∴DE=BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF=HF，∴DF=AH，∵△DFE的面积为1，∴DE•DF=1，∴DE•DF=2，∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，∴AB•AC=8，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=AC，∴AB•2AB=8，∴AB=2（负值舍去），∴AC=4，∴BC=．故选：A．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1则BD=_______．【答案】2.【详解】试题分析：由题意可知EF是△ADC的中位线，由此可求出AD的长，再根据中线的定义即可求出BD的长：∵点E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ADC的中位线.∴EF=AD.∵EF=1，∴AD=2.∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD=2.考点：1.三角形中位线定理；2..三角形中线性质.12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，连接EF.若AB＝10，则EF的长是________．【答案】5【详解】如图，连接DC，根据三角形中位线定理可得，DE=BC，DE∥BC，又因CF=BC，可得DE=CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CDEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得EF=DC．在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DC=AB=5，所以EF=DC=5．故答案为5.13．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______.【答案】20【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．【详解】解：，，，，，点和点分别是和的中点，，，是的中位线，，．故答案为：20．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____．【答案】【分析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】设EF=x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，连接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴()2＝x2+(x)2，x=2或2（舍），∴BC=2x=4．故答案为4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．15．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是它的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD，垂足为点F，连接EF，则EF=__．【答案】1【分析】首先证明AG=AC，再证明EF是△BCG的中位线，根据EF=BG即可解决问题．【详解】解：∵∠DAG=∠DAC，AD⊥CG，∴∠AFC=∠AFG=90°，∴∠AGC+∠GAF=90°，∠ACG+∠CAF=90°，∴∠AGC=∠ACG，∴AG=AC=3，GF=FC，∵BE=CE，∴EF=BG=（ABAG）=×（53）=1，故答案为：1．【点睛】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，中线的定义等知识，解题的关键是根据已知条件证明△AGC是等腰三角形，属于中考常考题型．16．如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB−AG）＝（AB−AC）；(3)根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．【详解】（1）延长交于点，，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE在和中，，，，∵点是边的中点，∴为的中位线，，，四边形是平行四边形．（2）四边形是平行四边形，，，分别是，的中点，，，，．（3）如图：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，∴∵BF∥DE设BDEF中BF边上的高为h，则=（DE+BP）×h÷2BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．【点睛】此题主