初等变换在高等代数中的应用

页，共15页3初等变换的应用3.1利用初等变换求伴随矩阵在进行伴随矩阵求解的过程中，我们会利用代数余子式得出所要用到的矩阵，进而得出结果.但是随着矩阵的阶数越来越大，它的计算量也将会快速的增加.这时利用矩阵的初等变换来求解伴随矩阵则会变的很容易，计算量相对来讲也会较小.定理1若阶方针是可逆矩阵，则可通过对进行初等变换求出，即.定理2设为阶可逆方阵，作出矩阵，用初等变换将中化成.同时中就化成了.证明由逆矩阵的性质可知，若A可逆，则有又因为所以，结论得证.例1已知矩阵A可逆，，求其伴随矩阵.解所以通过上面的算法，可以看出.相对于利用伴随矩阵定义求阶数较大的伴随矩阵，利用初等变换求法其简便性更为突出.并且通过矩阵初等列变换也可求得A*，即3.2利用初等变换求多项式最大公因式辗转相除法可以用于求多项式的最大公因式，这里将利用一种新的方法得出多项式的最大公因式.引理1设是关于x的多项式，作其系数矩阵A作初等变换后，相应的两个多项式的最大公因式不变.证明设作一次初等变换之后化为，设则，由此可得出.引理2设是指定的关于的多项式，作出它们的系数矩阵如下分别对应多项式和，将第二行中的元素轮换一次，得到，设第二行所对应的多项式为，则.证明显然，所以引理2成立.设是指定的关于的多项式，作出它们的系数矩阵如下，当A经过初等变换和行元素轮换之后化为或时，如果非零行一共轮换了次，则和的最大公因式为，且.证明：由引理1可知，初等行变换不改变多项式的最大公因式，则只需考虑行元素轮换的次数.假如经过了次轮换之后化为，设.由引理2可得.例2设，，求与的最大公因式.解作矩阵第二行元素一共轮换了3次，.所以与的首项为1的最大公因式为这种解法也适用于求解多个多项式的最大公因式.3.3利用初等变换求特征值和特征向量在进行特征值与特征向量的求解过程中，往往用分步的求法，过程很繁琐而且计算量也是相当大.这里将利用初等变换的方法可以同时求得特征值和特征向量.使之过程简化许多.给定矩阵，作分块矩阵，其中为对角矩阵或者斜对角矩阵.求出的根就是A的特征值；当值确定后，当中与当中零列元素所对应的的列元素就是与所对应的特征向量.证明：通过左右乘可逆矩阵可对矩阵进行初等变换，即存在可逆矩阵，使（1）可得，两边同时取行列式可得到，因为，所以与有相同的解，即的根就是A的特征值.由上面可以知道，当值确定，当中非零元素列的列数就是的秩，假设，则，由，得，由矩阵相乘可以知道的后列是齐次线性方程组的基础解系，同时也是的基础解系，即的后列是所对应的特征向量.所以求出了也就会得出了所对应的特征向量.由（1）式可得，，即，所以当中与当中零列所对应的后面的列是所对应的特征向量.例3已知矩阵，求其特征值与特征向量.解则A的特征值为，.当时，把特征值-1带入最后一个矩阵，得出对应的一个特征向量为，则所有的特征向量表示为.当时，把特征值2带入上面最后一个矩阵，由于2为该矩阵的二重根，可得到相对应的两个线性无关向量，，从而可以得出全部的特征向量为不全为零.具体解题的时候不一定非得要把化为对角形矩阵或者斜对角形矩阵，也可以把化为上三角形矩阵或者下三角形矩阵.这样做的优点是不用进行初等行变换，只对进行初等列变换就可以了.但是这种方法求特征值和特征向量也有其缺点，就是不能立即看出其特征向量.3.4利用初等变换求线性方程组通解求非齐次线性方程组的通解，通常用高斯消元法，即通过对增广矩阵实施初等行变换，化为阶梯矩阵来实现.然后求对应的其次线性方程组的基础解系和的一个特解.最后得到通解.这种方法只用了初等行变换，初等列变换并不可以使用.现在我们就只利用初等列变换来直接求出的通解.这种方法不仅简单直观，而且容易理解，可以灵活多变.定理3，对则的通解为，即的列是的基础解系，是的一个特解.证明已知，通过对矩阵右乘可逆矩阵来对矩阵作初等列变换，构造分块可逆矩阵，其中是一个可逆矩阵，可知也是可逆矩阵.易得，即的后列是的解，又，可逆，可知的后列是的基础解系，由矩阵相等得到，则就是的后列.由，可知是的一个特解，由矩阵相等可得，从而得出的通解为.例4解线性方程组解则方程组的通解为.由上面例题可以看出来，在整个计算的过程中，只是需要将化为r个非零列和零列即可，不用非得化成列阶梯型矩阵.但是最重要的一点是必须需要记住的.分块矩阵中的最后一列不可以与前面的任何一列互相交换.如果分块矩阵中最后一列不可以全部化为零的话，则就是说明此方程组无解.因此需要注意的是在使用初等列变换时，我们不用再考虑这一初等列变换.也就是说，我们只需要哦用一种初等列变换就可以得出方程组的通解.用这样的方法解方程组就会更加的简单与灵活.这种方法在解齐次线性方程组的时候也依然可以使用.在齐次线性方程组中，由于，所以在计算的时候可以把分块矩阵的最后一列去掉.接下来的步骤依然不变.例5解线性方程组解=从而可以得出方程组的通解为上面用初等列变换求解方程组通解的方法也能够应用在线性代数的很多方面，例如求整数的最大公因数和最小公倍数，求向量组的极大无关组，求矩阵的特征值与特征向量等.3.5利用初等变换求标准正交基采用Schmidt正交化法可以求标准正交基，但是一次只可求出一个向量，这里将给出同时求出所有向量初等变换法.合同变换：给出定矩阵，构造矩阵（对作一系列初等行变换和对应相同的列变换把化为对角矩阵）.命题2设是线性无关，记，则当时，B的列向量组就是一个正交组.证明：设可以经过行初等变换化为正交矩阵B，则一定有可逆矩阵P使得.可以看的出来，对进行合同变换时也要对进行一致的行初等变换（注意：不可以进行初等列变换），当上面的变换成时，下面的就变成了.例6给定，将其化为标准正交基.解令，则.因此，标准正交基如下：.通过以上的分析与探究，可知初等变换的内容贯穿于整个高等代数，适当的利用初等变换解决问题会相对来说比较简单.应用初等变换证明一些命题，过程很容易被大家所接受.所以，很多数学研究者们不断的在探究初等变换被应用的问题，使初等变换可以在高等代数以及数学其他各大领域中发挥更大的作用.

结语通过对初等变换进行深度的分析与探讨，文章对初等变换的应用进行了归纳性的阐述和整理。在初等变换的相关预备知识的基础上。通过具体的例子，介绍了初等变换在求解伴随矩阵、求特征值与特征向量、求多项式的最大公因式、解线性方程组的通解以及求标准正交基方面的应用并且进行了总结。使人们对初等变换有了更深一层的认识。在写这篇论文之前，只是对初等变换有一些浅浅的了解.经过这几个月的努力与研究.让我对初等变换在高等代数中的应用的几个方面铭记于心.深度的了解了初等变换在求解伴随矩阵、求特征值与特征向量、求多项式的最大公因式、解线性方程组的通解以及求标准正交基方面的应用.

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