数形结合思想与高中数学解题

数形结合思想与高中数学解题摘要：本文主要研究了数形结合思想在高中数学解题中的应用。首先对数形结合思想及其应用形式进行介绍，并根据近五年高考的试题分析高考对于数形结合思想的考查特点；由高考所体现的考查知识类型逐一分析数形结合思想在高中解题上的应用，紧接着对数形结合的原则与解题误区进行论述；最后结合自己所阅读的参考文献以及个人的实习感悟浅谈在高中数学中对数形结合法的培育方法。关键词：高考；数形结合；解题毋庸置疑，数学方法在高中数学教学中十分重要。数学方法包含数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归四大类基本思想方法，它们不仅在高中数学的教学与学习中发挥着自己独特的作用，在实际生活中也具有普遍的影响，所以教师与学生应该更加注重数学思想方法的学习。[1]2003年4月，教育部制定并颁布了普通高中数学课程标准，它指出“数学是研究空间形式和数量关系的科学。”，并要求教学不仅要使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念数学结论的本质，更应该了解概念结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及在后续学习中的作用。“新课标”的要求发生了变化，这意味着对于教师也提出了新的要求，因此不仅要保证传统的“双基教学”，而且要注重数学方法的教学。随后人民教育出版社积极响应要求更新了教材，并将其分为必修和选修两大部分，保证数形结合思想方法在这两部分教材中均有所体现。[2]这也是大多数的教育者都喜欢研究这一课题的重要原因。古人有云：授人以“鱼”不如授人以“渔”，这也是在我们数学教学中所不应忽略的一点，而数学思想方法即可以看成是数学教育工作中的“渔”，因此教师在讲授知识的过程中务必要注意这一点。纵观高中阶段，与数形结合相关的知识繁多、在习题当中广泛应用。在解题的过程中，面对题中笼统模糊、繁杂空洞的数量关系，学生常会不知所措。关键问题在于学生不会将数学符号语言与图形进行联系转化，也就说明在日常的教学中没能很好地使抽象的思维与形象的思维相互融合。而此方面的能力恰恰是学生学习和理解数学问题的根本所在，对此方面的能力进行改善也就提高了学生分析解决数学问题的能力。因此，本文对数形结合思想方法在高中数学中的应用进行研究。1、数形结合思想及其应用形式1.1、数形结合思想方法概述数形结合思想方法，顾名思义就是指在对数学问题进行研究的时候，一方面是把抽象的数量关系转化为直观的图形的形式，另一方面是以“数”对“形”进行精确的刻画的思想方法，具有变抽象为直观，使数量关系与图形结构相互联系的作用。使得在对数量关系进行分析的同时，也对其几何直观进行了揭示，把抽象与直观，精确与模糊有机的结合起来。正是这样的结合打开了解题的突破口，优化简洁了解题的思路与过程。[3]从宏观的角度分析数学就是刻画分析这客观世界的数量关系和空间形式的一门科学，数与形是数学大厦当中的两个基础模块，是研究的两类基本对象。何谓形？即外化的空间形式的展现；何谓数？即是内在的数量关系。从表面来看二者表示的含义不同，其实二者是辩证统一的，在内容与方法上相互联结沟通，在适当的情形下不但可以实现转化、而且可以互为补充。因此二者的结合可以构成更加完善的知识体系，凸显出数学当中更多知识的内在关系，从而增进对数学的认识和理解。17世纪笛卡尔的直角坐标系的出现成功的把数与形联系起来。拉格朗日曾说道：“如果代数与几何分开发展，二者将进展缓慢，一旦二者相互结合，便会相得益彰，以快速的速度发展完善”。[4]我国著名数学家华罗庚也曾这样概括到：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”[5]1.2、数形结合思想方法的应用形式数形结合在高中解题可概括为以下三种：化数为形、化形为数和数形兼顾。[6]下面将通过文字说明并辅以例题的形式展示该思想在解题中的应用。1.2.1以形辅数所谓以形辅数，就是将代数问题通过建立几何模型转化为几何问题，从而借助于几何图形的直观性达到问题解决的解题模式。[7]在解决问题的过程中，常会碰到一些代数问题而无法寻找到破题的关键，这时我们就需要从代数的圈子当中跳脱出来，尝试把代数与几何进行联系，很多时候当我们使用图形或图像对这类代数问题进行直观描述的时候，往往会对解题提供正确的方向和有益的启发。例1.设函数，若，求的取值范围。分析：本题是数形结合在函数中的应用，只需画出的图像，用函数图像交轨法求得与的图像交点为和，即可求出的取值范围。由图（1）可知，的取值范围为。图11.2.2以数助形所谓以数助形，就是将几何问题通过一定媒介转化为代数问题，通过代数运算，借助于代数的精确性达到问题解决的解题方式。也就是用数学表达式对几何图形当中的结构关系进行精确的描述，使得几何的的问题数量化，从而使问题得到解决。例2.在等腰三角形的斜边上取一点，使；自引的垂线交于点。[8]求证：是的中点。分析：此题是用面积法证明几何结论的典型例题。许多专家学者早就注意到了面积法在几何证明和探究中的作用，并做了大量的研究。特别是张景中教授在《新概念几何》一书中，对三角形做了全新的处理，利用面积对三角函数进行了重新定义，使得三角学和几何学打成一片许多复杂的平面几何问题也变得简单起来。本题便是书中的一例，下面就让我们看看面积法的威力吧！图2证明：由可知,设其为，,设其为，故：即又由三角形面积公式得：所以又因为，即可得1.2.3数形并重数形各具优势，相互补充。数的严密性精确了图形，形的直观性简化了对数的理解。因此在很多时候，数和形或许需要进行多次转化，才能得到问题的答案，此所谓数形并用。很多人把数形结合理解成只需要进行一次的数与形转化即可，其实这是错误的。数与形二者相互沟通联系，不可轻易分开，尤其是在面对一些复杂问题的时候，常常需要对二者进行多次的转化。把二者有机的结合，便可相得益彰、事半功倍。例3.由直线上的一点向圆引切线，求使得切线长最短的点的坐标及此时的切线长。分析：此题有很强的几何背景，首先应该把题目中的代数方程转化为几何图形，但在画图的时候应注意直线和圆的位置关系。我们知道直线和圆有三种位置关系，分别是相交、相切和相离，如何判断它们的关系呢？我们只需要计算圆心到直线的距离，并与圆的半径相比较，可知和圆相离。通过计算精确了图形的几何结构，数转形时图形的不精确性也是学生运用数形结合解题时常犯的错误之一。画出和圆之后，我们要在直线上求一点，使其向圆作切线后得到的切线长最短。哪个点满足题意呢？有学生在观察图像后贸然下结论：与圆相切且垂直于直线的那个点即为所求的点。真是这样吗？我们要经过定量的计算进行说明。我们不妨设切点为，连接、和，那么在中，切线长,由此可知当最短时，即时，切线长最短，问题得解！具体过程如下：图3解：圆心，半径，因为所以圆与直线相离，根据题意画出如图（3）的图形；设切点为，连接、和那么在中，切线长因为，所以设此时点坐标为，那么满足：即当点坐标为时，切线长有最小值为1。2、高考对数形结合的考查特点针对近五年的全国新课标数学卷（理科）中有关数形结合的考点进行详细分析如下：表1.2014-2018年全国新课标卷（理科）数形结合内容试卷分析年份选择填空题号涉及考点解答题号涉及考点分值占总分值比例20149.10.11.15.16.线性规划求最值解析结合求面积立体几何求角的余弦值利用函数性质求范围平面几何求范围18.19.20.空间立体几何证明及求体积统计图表圆锥曲线利用性质求标准方程及离心率6141%20157.9.10.11.14.平面几何求长度立体几何求表面积函数的图像圆锥曲线求离心率线性规划求最值17.18.19.20.解三角形统计图表空间立体几何画图及线面夹角的正弦值圆锥曲线7349%201611.12.14.圆锥曲线求离心率函数的图像及性质空间立体几何18.19.20.概率空间立体几何证明及二面角的余弦值解析几何求面积及参数取值范围5134%20175.9.10.12.16.线性规划求最值圆锥曲线求离心率立体几何求角的余弦值平面向量的最值解析几何求线段长18.19.20.统计表求概率空间立体几何证明及求二面角的余弦值圆锥曲线求方程及利用性质计算6141%20187.9.10.11.12.13.空间立体几何图形线性规划求最值函数的性质解析几何求抛物线方程解析几何求参数取值范围平面向量计算17.18.19.20.解三角形空间立体几何证明及二面角正弦值的计算统计图表圆锥曲线7852%对近五年的理科高考试卷进行分析，可以看到关于数形结合所占的分值比例平均为40%以上，且有逐年递增的发展趋势。在大题中的体现更为明显，半数以上的大题涉及到数形结合，而大题的分值又较高，所以在日常的教学中势必要对数形结合进行重视。纵观近五年高考，对数形结合进行考察的知识点还是比较稳定的，空间立体几何是每年必考的，有时不光以大题的形式进行考察还会出现选择填空，考察内容涉及到证明线面、面面垂直或平行的证明以及求二面角和线面夹角的正余弦值，难度不大。线性规划求最值的问题每年都会以选择或填空的形式出现；解三角形的问题与数列问题交替考察，不是每年都会涉及；毫无疑问，函数问题每年必考，一般来说难度较大，常出现在选择的最后一题。3、数形结合思想方法在高中解题上的应用3.1、数形结合方法在集合中的应用集合相关的习题一般来讲难度不大，正确理解集合之间的包含关系是解题的关键，我们常用韦恩图以及区间的作图方式去表示，作图的好处在于可以使集合之间的关系变得十分清晰，一目了然。例4.已知集合，，；若,求的取值范围。分析：集合的数轴表示。若要，集合应该覆盖集合。解：时，如图（4），有，解得：；图43.2、数形结合方法在三角函数问题中的应用一般来讲三角函数类型的问题可以通过正余弦定理、三角函数的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等综合应用去解决。然而三角函数是由三角形所引申而出的函数，所以有时仅仅熟知公式是不够的，我们还需要对图形当中所包含的结构关系进行正确的理解，此种情况下作图就显得尤为必要，甚至可以说是解决问题的关键。例5.求函数的值域。分析：原函数等价于，即可以看做是动点到定点连线的斜率，令，则由，可知，动点在单位圆上，函数表示为点与定点的相连构成的直线的斜率，如图（5）所示。设，即。由题意，圆心到直线的距离，于是解出的值即为函数的值域。图5解：由知可以看做是动点到定点连线的斜率令，则由，可知动点表示单位圆则可以表示为连接单位圆上任意一点与定点的直线的斜率如图（5）所示。设，即。由题意，圆心到直线的距离，解得所以，函数的值域为。本题的重点、难点是将函数的取值问题转化为动点和定点之间的几何问题，从而找出临界值，即过定点的直线中与圆相切的时候，进一步确定斜率的范围，也就等价于求函数的值域。如果不利用数形结合，直接求解这个函数问题，则会事倍功半，不易求解。而将其转化为几何问题后，除了对题目有一个更直观的了解，而且也减低了解题难度。3.3、数形结合方法在立体几何中的应用立体几何问题中常常用到向量等数学工具，而在初中阶段，学生在学习平面几何的时候，习惯用传统几何方法来证明求解。在立体几何的证明中，尽管也可以利用初中的方法进行解决，但证明过程常常很繁琐，可是如果利用向量，把数与形联系起来，问题的解决思路就会变得明朗且过程简单。例6.如图，四边形为正方形，平面，,。（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值。分析：这是一道求面面垂直和二面角的问题。若用常规方法，将二面角找出，对于一些空间想象能力较弱的同学，则会比较难；一旦将空间向量与立体几何有机的联系起来，建立起空间直角坐标系，问题便可以很容易地得到解决。题目原图图6证明：如图（6），以为坐标原点，线段的长为单位长，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系；依题意有，，，则，，，所以，，即，又，所以平面，又平面所以平面平面。依题意有，，设是平面的法向量，则，即因此可取，同理，设是平面的法向量，则可取，所以，，故二面角的余弦值为。3.4、数形结合方法在圆锥曲线问题中的应用 利用椭圆、双曲线、抛物线的图像性质及定义求解圆锥曲线问题。在这类问题中作图就显得尤为关键，根据图形才能更好的対代数关系进行分析，其中图像中所包含的特点常常与点到直线的距离公式、弦长公式等知识结合，从而解决问题。例7.已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为；若，求的值。分析：通过线段之间的比例关系可以得出，该点到定点的距离正好等于该点到定直线的距离，由抛物线的定义即可得出，该点为抛物线的焦点。图7图8解：过作垂直准线于，因为，所以为中点可得，又因为斜率为，所以，，所以为抛物线的焦点，则。3.5、数形结合方法在概率上的应用概率部分的内容抽象不易理解，所以我们也常常借助图形帮助我们去进行理解，比如说，在几何概型问题中，二维的平面上可以用图形的面积比去表示概率，三维的空间中可以用几何体的体积比去表示概率；把概率问题与图形结合极大地帮助我们进行理解。例8.从闭区间上任意选取两个点，设由，，组成的方程的两个根都是实数的概率为，那么的取值范围是（）分析：该题由于，所取可能总情况数是无限个，所以若从统计总数及满足条件个数来计算显然是不实际的，故应利用区间长度及方程来构造几何概型，利用面积比求得概率。解：根据已知条件可得，，则可以建立如图（8）所示的坐标系，则矩形的面积为：，方程有实根，则，即即表示抛物线的下面，记其为，则：，故。3.6、数形结合方法在不等式问题中的应用不等式问题体现在高中必修五的教材中，线性规划求最优解是不等式问题中的重中之重，在线性规划求最优解这类问题中，如果不利用直角坐标系画出可行域求解，而是从代数关系式出发，往往会使解题思路变得混乱，过程变得复杂，极易出错。例9.求解不等式组，并回答下列问题。（1）指出，的取值范围；（2）区域内有多少个整点？分析：本题涉及的是不等式中的线性规划问题，通过找特殊点确定每个不等式所确定的区域，从而画出目标区域。图9解：（1）不等式等价于及其右下方的点的集合；等价于的上方及其右上方点的集合；等价于上及其左方的点集合，则不等式组，表示的区域如图（9）所示，结合可行域得，。由图形及不等式组知，且，当时，,有个整点；当时，，有个整点；当时，，有个整点；当时，，有个整点；所以，平面区域内的整点共有（个）。数形结合的原则及解题误区数形结合解题虽好，有时会起到出奇制胜的效果，但在运用过程中必须遵守一定的原则，否则就会走入误区，导致解题失败。等价性原则、双向性原则和简洁性原则是数形结合所要遵循主要原则。下面将一一说明。4.1、等价性原则等价性原则是指在数与形转化的过程中，数所反映的数量关系和形所体现的几何图形应该保持一致。[9]有时由于构图粗糙或不完整，就会导致数转形时图失真；或者由图形提取数字信息时不对等，从而陷入解题误区，下面将举例说明。例10.方程的实根的个数为（）分析：画出两个函数和的图像，又因为两个函数为奇函数，所以仅需画出部分的图像；又因为时，，所以只需取上的图像。但由于构图粗糙，或许会导致数形不等价如图（10-1），选错。事实上当时，，也就是在中还有一个交点见图（10-2），所以当时，加上原点共有5个交点，再根据奇函数中心对称选。图10-1图10-24.2、双向性原则双向性原则是指数与形的信息流通应是双向的，并非只是单向进行。具体来说就是在进行代数的运算推理过程中，也要进行几何的直观分析；在进行几何画图的时候，也要用“数”对图形加以精确。[10]数形呼应，才能优势互补，克敌制胜！例11.当整数为何值时，抛物线与椭圆有4个不同的交点？分析：设抛物线与轴的交点为、，则经计算知、；椭圆与轴的交点为、。有学生凭空想象就画出图（11-1），发现抛物线与椭圆要想有4个交点，、应位于、之间，故。但实际上这只是充分而不必要条件，除此之外，还有如图（11-2）的情况。具体解题如下：解：联立方程得：设，则由题意得：图11-1图11-2以上的解题过程中既包含了抽象的代数运算，又包含了直观的几何作图分析，数与形相互配合，相得益彰。4.3、简洁性原则简洁性原则是指数与形相互转换的过程中应尽量保持简洁。比如构图（或建系）时应选择对解题最方便有利的那种方式；在解题时也无需刻意追求几何方法或代数解法，而对数和形进行强行转换，而是应以解题简洁方便为原则。求证（其中、、均为正数）。解法1：代数法分析：由不等式的形式很容易联想到重要不等式及其推论，很自然的得出代数解法。由不等式变形得到同理可得，将以上三个式子相加可得：命题得证！解法2：几何法分析：由两个数的平方和开根号联想到勾股定理，那么就是以、为直角边的直角三角形的斜边从而构造直角三角形得到其几何解法。构造以为边长的正方体，并对其进行如图（12）的分割那么，，，由图易知，即图12解法3：复数法分析：由想到复数的模，故可通过构造复数，根据复数中的三角不等式证得命题，具体过程如下：设，，则则，，，由得命题得证！题评：以上三种方法各有千秋，但解法1需要较强的逻辑推理变形能力；解法2虽然直观形象，但图形的构造难以想到，如果执意用图形去解题的话，或许会耗费大量的时间和精力；解法3通过高中数学中常见的复数构造法，只用一步寻常的三角不等式即可证命题。相对于解法1和解法2来说就更为简洁明了，更加可取。5、在高中数学中对数形结合法的培育方法由于受到了高中数学的解题思维的影响，故教师在对学生的数学思维进行培养时，应该在保证数学理念的基础上，将抽象意识与直接意识进行合理的转化，从而使学生的数学思维更加牢固。[11]①教师在教学时，应掌握数形结合的教学意识，确保能够将数形结合法与课堂教学进行完美结合，通过课堂教学的锻炼，促使学生在解题的过程中充分利用数形结合意识，无论是在课前备课，还是在讲课的过程中都应对该教学方式有着深入的渗透。[12]②教师在进行课前备课时，应将教材中的内容和教学的基本目标有明确的了解。在课堂中进行教学的同时，对于书本中的典型案例要深入发掘，保证其对数学课堂教学具有促进作用，从而使学生在对数学题目进行解答时更加容易轻松。③教师要在教学中合理地引导学生进行数形结合的使用，采取循循善诱的教学方式，将数形结合的思想完美地运用于教学中。保证学生在解决几何问题或是在解决向量问题等相关的数学问题时，都能够掌握系统性的解题思路，同时确保在高中数学的学习中，学生能够将数形结合思想作为基本的答题思路，从而使全面性、系统化的解题模式与高中数学的教学文化完美结合。[13]参考文献：[1]吕世虎,王尚志,胡凤娟等.普通高中数学学科教学与评价指导意见[J].数学教育学报,2017,(6):1-5.[2]龚海琴.数形结合思想在中学数学教学中的应用[J].数学教学通讯,2017,(8):45-46.[3]孙加鹏.数形结合思想在解中学数学问题中的应用[J].课程教材教学研究,2009,(7):39-40.[4]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[M].辽宁师范大学,2012:9-10.[5]徐为兵.数形结伴,演绎精彩[J].时代教育(教育教学版),2012,(16):81-81.[6]朱梅.数形结合思想的应用[J].考试周刊,2016,(9):48-49.[7]牟雪珍.巧用数形结合思想的解题探究[J].中学数学,2012,(12):83-84.[8]张景中.新概念几何[M].北京:中国少年儿童出版社,2002:115-116.[9]姜秋亚.数形结合思想方法在高中教学中的应用情况研究[M].华中师范大学,2015:10-10.[10]王世昌.几何问题代数解的潜在功能[J].新教育时代电子杂志(教师版),2017,(43):1-1.[11]张珍凤.低段数学教学渗透数学思维方法解析[J].教学管理与教育研究,2017,(17):57-59.[12]孙自芬.数形结合思想在初中数学教学中的实践探究[J].数学大世界(下旬版),2017,(5):1-1.[13]段学俊.高中数学教学中数形结合法的运用探讨[J].中国校外教育(下旬刊),2017,(1):242-243.TheThoughtofCombinationofNumberandFormandSolvingMathematicsProblemsinSeniorHighSchoolGuoZhi-qiangAbstract:Thispapermainlystudiestheapplicationofthecombinationo