沈恒范-第四版-概率论与数理统计教材第3章习题

1解设随机变量X表示在取得合格品之前已取得的废品数,则3.2

一批零件有9个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差。〔二〕作业题略解2所以X的概率分布列为3的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品3.4

对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则:∴X的概率分布表如下：解43.5

帕斯克分布:设事件A在每次实验中发生的概率为p，进行重复独立实验，直至事件A发生r次为止，需要进行的实验总次数的概率分布:解X表示直到事件A发生r次需要进行的实验总次数，表示直到事件A发生第1

次进行的实验次数，表示事件A发生第i-1

次后到第i次发生时进行的实验次数，则:且相互独立,服从几何分布G(p).求:X的期望与方差.53.6

设随机变量X的概率密度为：求数学期望EX与方差DX.令解则63.7

设随机变量X的概率密度为:求数学期望EX与方差DX.解73.9

设随机变量X的概率密度为：求系数A及EX与DX.令解893.10

方向盘有整分度，如果计算角度时是把零头数化为最解与标准差。靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望测量方位角时的误差X～103.12

设随机变量X服从二项分布B(3,0.4),求下列随机变量的数学期望与方差:解11123.13

X

的密度函数为：解133.14

对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间内,求球体积的数学期望.解设随机变量X，Y分别表示球的直径和体积，则而143.15过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度.解如图示:设T表示过圆周上定点O所作的弦OA与x轴的夹角,xLTO2RA则T在上服从均匀分布,设L表示所作的弦的长度,那么:L=2RcosTE(L)=E(2RcosT)=153.16

证明：若随机变量X与Y

独立，则

证右=∵X与Y独立，∴X2与Y2独立，=左∴右也可从左往右证.16解

3.17

独立，且服从同一分布，数学期望为随机变量学期望及方差.方差为求它们的算术平均值的数173.18

N个人同乘一辆长途汽车，沿途有n个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的数学期望.解1且服从分布18解2设Y表示停车的次数,服从分布二项分布B(n,p)Y则19解3.20

计算二项分布的三阶原点距，三阶中心距.20213.22计算均匀分布U(a,b)的k阶原点矩及k阶中心矩.解设随机变量X~U(a,b), 那么其概率密度:为奇数为偶数223.24二维随机变量（X,Y）在区域R：（2）数学期望E(X)及E(Y)、方差D(X)及D(Y)；及相关系数解（1）设（X,Y）的概率密度其中C为常数.则服从均匀分布，求：（1）的概率密度；（3）相关矩上23（2）（3）243.25解253.26设是任意n个随机变量,证明:假设相互独立,证明:263.27X~H(n,M,N)设求:E(X),D(X).解则则n次抽样共抽到的次品数为：且所以：表示第i次抽样时取得的次品数,设01273.28

利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率.解283.29

为了确定事件A

的概率,进行了10000次重复独立试验.利用切比雪夫不等式估计：用事件A

在10000次试验中发生的频率作为事件A

的概率近似值时,误差小于0.01的概率.解设事件A

在每次试验中发生的概率为p，在这10000次试验中发生了X

次,则因此，所求事件的概率为29设∴仪器误差的数学期望及方差分别是：3.30

利用某仪器测量已知量a时，所发生的随机误差的概率密度在独立试验过程中保持不变。设是各次测量的结果，可否取作为仪器误差的方差的近似值？解30若系统没有误差，即则据切比雪夫定理的推论，得即31若次品率不大于0.01，则任取200件，发现6件次品的概率应不大于利用泊松定理，取λ=200×0.01=2此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。解3.32从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂的次品率不大于0.01。32010133343.31证明:假设不独立的随机变量满足条件则对任意的正数恒有证明:由切比雪夫不等式,对任意的正数恒有因概率不能大于1,(马尔可夫)35补例1:设二维随机变量(X,Y)在矩形区域:上服从均匀分布,记求(1)U与V的联合分布,(2)U与V的相关系数.解:由题意(X,Y)的联合概率密度:•••112yx2y=xy=xO如图示:P(U=0,V=0)=36P(U=0,V=1)P(U=1,V=0)P(U=1,V=1)0101所以(U,V)的联合分布:370101因U,V分别服从“0-1〞分布,38例2:设随机变量U

在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量:求(1)(X,Y)的联合分布,(2)D(X+Y).由题意随机变量U的概率密度:解:P(X=-1,Y=-1)P(X=-1,Y=1)=P(U≤-1)=P(U≤-1,U>1)=0P(X=1,Y=-1)=P(U>-1,U≤1)=P(-1<U≤1)P(X=1,Y=1)=P(U>-1,U>1)=P(U>1)=P(U≤-1,U≤1)39-11-11所以(X,Y)的联合分布:Z=X+Y的概率分布:02P(Z=z)-240例3:解:(1)设A,B为随机事件,且P(A)=P(B/A)=P(A/B)=发生不发生,发生不发生令求:(1)(X,Y)的联合分布;(2)X与Y的相关系数;(3)的概率分布.P(X=0,Y=0)P(X=0,Y=1)P(X=1,Y=0)P(X=1,Y=1)4101010P(X=)10P(Y=)1(X,Y)的联合分布:X的边缘分布:Y的边缘分布:2)因X,Y分别服从“0-1〞分布,423)随机变量的可能取值:0,1,2.12P(Z=)043例4:某流水生产线上每个产品不合格的概率为:p(0<p<1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X,求X的数学期望E(X)与方差D(X).解:由题意随机变量X的概率函数:44例5:甲,乙两个箱子装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品,3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品装入,