中考数学考点大串讲（北师大版）：专题02 一元二次方程 （基础50题6种题型）（解析版）

专题02一元二次方程（基础50题6种题型）一、认识一元二次方程1．（2023秋·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）下列是一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项正确；B、是二元二次方程，故此选项不正确；C、是二元一次方程，故此选项错误；D、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）将一元二次方程化为一般形式是；，，．【答案】1【分析】先移项，把方程化为，从而可得各项的系数．【详解】解：∵，∴，∴，，，故答案为：，1，，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的各项系数，熟记基本概念是解本题的关键．3．（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）若方程中，则．【答案】6【分析】根据一元二次方程定义，找出a，b，c值代入求解即可．【详解】解：在中，，，，，，解得：，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，准确找出系数是解题的关键．4．（2022春·安徽六安·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则．【答案】【分析】把代入方程中，解关于m的一元一次方程即可．【详解】解：把代入方程中，得：，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，能使方程成立的未知数的值，就是方程的解．5．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若是关于的一元二次方程的解，则．【答案】2024【分析】把带入得，再将变形即可求解．【详解】解：把带入得：，即：

，，故答案为：2024．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．6．（2023秋·山东枣庄·九年级校考开学考试）关于的一元二次方程的一个根为零，则．【答案】【分析】先把代入方程得，然后解关于的一元二次方程，再根据一元二次方程的定义取舍即可．【详解】解：把代入方程得，解得或，∵，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．二、用配方法求解一元二次方程7．（2023秋·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据配方的步骤即可求解．【详解】解：将常数项移到等号的一边：在二次项系数为1的前提下，等号两边同时加上一次项系数一半的平方：即为：故选：D【点睛】本题考查配方法，解题的关键是掌握在二次项系数为1的前提下，等号两边同时加上一次项系数一半的平方．8．（2022秋·云南文山·九年级校联考期中）一元二次方程的根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直接开平方法即可求解．【详解】解：得，∴故选：C．【点睛】本题考查利用直接开平方法求解一元二次方程，注意计算得准确性．9．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）用配方法解方程，则配方正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先移常数项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．【详解】解：，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记配方法过程步骤是解本题的关键．10．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十六中学校考阶段练习）用配方法解方程：【答案】【分析】先把移到方程右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．【详解】解：，，，，，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题关键．11．（2022秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）解方程．【答案】，【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解．【详解】解：，，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，配方法适用于任何一元二次方程．12．（2023秋·广西柳州·九年级校考期末）解方程：；【答案】，【分析】根据直接开平方法，可以求得的值．【详解】解：或，解得，．【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．13．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)无解【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）将分式方程化为整式方程即可求解．【详解】（1）解：移项：配方：，即∴

，（2）解：方程两边同时乘以：得：

化简：

解得：检验：当时，，是增根，原方程无解．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程、解分式方程等．掌握各求解方法是解题关键．14．（2021秋·广东云浮·九年级统考期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的性质，通过移项、直接开平方计算，即可得到答案；（2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案．【详解】（1）∴移项得：∴；（2）【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．三、用公式法求解一元二次方程15．（2023秋·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）若关于x的方程无实数根，则m满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据任意实数的平方为非负数得到关于参数的不等式，求解即可．【详解】解：由题意得，解得，故选C．【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，平方数的非负性；掌握平方数的非负性是解题的关键．16．（2021秋·甘肃定西·九年级校考期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（

）A．0， B．1，3， C．1， D．1，【答案】B【分析】根据公式法中，a，b，c分别为二次项的系数，一次项的系数，常数项，将方程转化为一般形式，即可．【详解】解：，整理得：，∴a，b，c的值依次是1，3，；故选B．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程以及一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式，是解题的关键．17．（2022秋·广东惠州·九年级校考期中）方程根的情况是（

）A．有实根 B．有两个相等的实数根C．无实根 D．有两个不相等的实数根【答案】C【分析】先计算，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴方程没有实数根；故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟记当时，一元二次方程没有实数根是解本题的关键．18．（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，得到，解答即可．【详解】∵一元二次方程有实数根，∴，解得．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．19．（2020秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，则其中的b的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】一元二次方程中项的一次项为，由此即可求解．【详解】解：由题意得故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程中项的系数，理解项的系数是解题的关键．20．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）解方程：【答案】，【分析】根据解方程的方法“去括号，移项，合并同类项”，再运用一元二次方程的求根公式即可求解．【详解】解：去括号得，移项得，，整理得，，∴，∴，即，，∴原方程的解为：，．【点睛】本题主要考查运用公式法求一元二次方程的解，掌握公式法的运用是解题的关键．21．（2021秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：．【答案】【分析】利用公式法求解即可．【详解】解：∵，，，∴，，解得．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程求根公式是解题的关键．22．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期末）（1）解方程：；（2）解一元二次方程：．【答案】（1），；（2），【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．【详解】解：（1），，，，，；（2），∵，∴，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．四、用因式分解法求解一元二次方程23．（2022秋·山西运城·九年级校联考阶段练习）若等腰三角形两边长满足方程，则它的周长为（

）A．11 B．12 C．10或11 D．10或12【答案】C【分析】求解一元二次方程，根据等腰三角形的定义分类讨论即可．【详解】解：，解得：，∵三角形是等腰三角形，∴三边长为：或，故周长为：或．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解与等腰三角形的定义．掌握相关知识点即可．24．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为（

）A．， B．；C．； D．；【答案】B【分析】令，即可求出方程的解．【详解】解：令，解得，故方程的解为，故选B．【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．（2023秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）方程的根为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用因式分解求解一元二次方程即可．【详解】解：，，，，，，．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．26．（2021秋·陕西榆林·九年级校考阶段练习）方程的根是（

）A． B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用直接开方法解方程即可．【详解】解：，，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开方法，熟练掌握解一元二次方程最常用的方法是解题的关键．27．（2022秋·湖南益阳·九年级校考阶段练习）方程的解是．【答案】【分析】因式分解法解方程即可．【详解】解：，，则，．故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是掌握因式分解法解方程．28．（2023秋·山西阳泉·九年级校联考阶段练习）一元二次方程的较小根为．【答案】【分析】先求出方程的两个根，再比较大小即可得到答案．【详解】解：，或，解得：，，，一元二次方程的较小根为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，准确进行计算是解题的关键．29．（2023秋·九年级课时练习）解方程：．解：运用平方差公式因式分解，得．所以或．解得，．【答案】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：，运用平方差公式因式分解，得．或．解得，．故答案为：；；；；．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．30．（2023秋·陕西延安·九年级校联考阶段练习）解方程：．【答案】，【分析】移项后，利用因式分解法求解即可．【详解】解：，∴，∴，∴或，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．31.（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）解方程：．【答案】，【分析】根据整式乘法展开，根据因式分解法求方程的解即可．【详解】解：整理成一般式得，，∴，∴或，∴，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键．32．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：整理得，，∴，则或，解得，，（2）∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法并灵活选择是解题的关键．五、一元二次方程的根与系数的关系33．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】由根与系数的关系得到，，再把式子变形代入求值即可．【详解】解：∵，分别是方程的两个根，∴，，∴，故选B．【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方式是解答此题的关键．34．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知、为方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，，求解即可．【详解】解：、为方程的两根，，故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．35．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）是方程的两个根，则的值为．【答案】【分析】若是一元二次方程的两个根，则，据此即可求解．【详解】解：由题意得：∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记相关结论是解题的关键．36．（2022秋·江西上饶·九年级统考期末）设，是一元二次方程的两根，则．【答案】/【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到的值，即可求得．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是．【答案】1【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，，代入求解即可．【详解】解：∵关于x的二次方程的两根为和，∴，，由得，解得，故答案：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．38．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）已知，是一元二次方程.的两个根，则的值为．【答案】【分析】利用根与系数的关系求得，，然后将其代入整理后的代数式求值即可．【详解】解：，是一元二次方程的两个根，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．六、应用一元二次方程39．（2023秋·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）随着国内旅游行业逐渐复苏，某旅游景点6月份共接待游客5万人次，8月份共接待游客12.8万人次．设接待游客人次每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，找到等量关系，列方程即可求解【详解】解：设接待游客人次每月的平均增长率为x，由题意可得：故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出方程．40.（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，分别计算出每件商品降价元后，销售的数量（件），每件盈利的数量（元），根据销售数量与每件盈利数量的积即为该商品日盈利额，由此列式即可求解．【详解】解：每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，∴销售件数为：件，∵每件盈利元，每件商品降价元，∴降价后的每件的盈利为元，若商场销售该商品日盈利要达到元，∴，故选：．【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售，利润的问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握运用一元二次方程解决销售、盈利问题的方法是解题的关键．41．（2023秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：，解得：，（舍去），则每轮传染中平均一个人传染的人数是10个人．故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．42．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有144个人感染，则每轮传染中，平均一个人传染了（

）个人A．13 B．12 C．11 D．10【答案】C【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，并舍去不合题意的值即可．【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，根据题意有：，解得：，．∴每轮传染中，平均一个人传染了11个人．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．43．（2023秋·九年级课时练习）从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．∴门框的长为尺，宽为尺，可列方程，，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键．44．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）第二十二届世界杯足球赛于年月日在卡塔尔举办开幕赛．为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间比赛一场，共安排了45场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意参赛的每两个队之间比赛一场，每个球队需要比赛场，x个队参赛需要参赛，但是两个球队不重复比赛，所以乘以，即可解得．【详解】根据题意得：，故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程解应用题，解题的关键是根据题意找出等量关系式．45．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为xcm，那么x满足的方程是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．【详解】解：设设纸带的宽为xcm，所以整个挂画的长为cm，宽为，根据题意，得：，故选：D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，再列出一元二次方程．46．（2022·湖南长沙·校考一模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由80元降为54元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为．【答案】【分析】第一次降价后价格为：，第二次再在第一次的基础上降价，即第二次降价后的价格为，据此列方程即可作答．【详解】根据题意可得一元二次方程为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是理解题意列出方程．47．（2023秋·全国·九年级专题练习）年东阳市初中男生篮球比赛在小组初赛之后，每个小组的第一名再进行决赛，决赛采用单循环比赛（单循环比赛是指所有参赛队伍可