第01讲与圆有关的性质-垂径定理

第01讲与圆有关的性质——垂径定理课程标准学习目标①与圆有关的概念②圆的对称性③圆的垂径定理认识圆，掌握圆的相关概念。掌握圆的对称性。掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关题目。知识点01与圆有关的概念圆的概念：静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。以O点为圆心的圆，记作⊙O，读作圆O。弦的概念：如图：连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图中有弦CD与弦AB。直径：过圆心的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为。读作弧AOC。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。读作弧AC。等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。题型考点：①相关概念的理解与认识。知识点02圆的对称性圆的对称性：圆既是轴对称图形，有无数条对称轴。又是中心对称图形，对称中心是圆的圆心。【即学即练1】1．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆..【解答】解：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心．线段OA叫做半径．（b）圆是所有点到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．（5）等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．故答案为圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等．【即学即练2】2．如图中有条直径，有条弦，以点A为端点的优弧有条，有劣弧条．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有、这2条，劣弧有、这2条，故答案为：1、4、2、2．【即学即练3】3．下列说法中，正确的是．①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆；⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．【解答】解：①直径是圆中最长的弦正确，弦是直径错误；②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧，正确；③长度相等的两条弧是等弧，错误；④圆心不同的圆不可能是等圆，错误；⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形，故正确；⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段，正确；⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确，正确的有②⑤⑥⑦．故答案为：②⑤⑥⑦．知识点03垂径定理垂径定理的内容：垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，则：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。垂直定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。即：（）题型考点：①垂径定理求相关线段的长度。②垂径定理的应用。【即学即练1】4．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．4 B．4 C．3 D．5【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，∵BE＝1，AE＝5，∴OC＝AB＝＝＝3，∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，∴OM＝OE＝×2＝1，在Rt△OCM中，∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，∴CD＝2CM＝2×2＝4．故选：A．【即学即练2】5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）cm．A．8 B．5 C．3 D．2【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE＝ED＝4cm，在Rt△OEC中，OE＝＝3（cm），∴AE＝OA+OE＝5+3＝8（cm），故选：A．【即学即练3】6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3（cm）．故选：C．【即学即练4】7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm cm C．3cm D．4cm【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x故选：B．题型01圆的相关概念的理解【典例1】下列说法正确的是（）A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D．直径的长度是半径的2倍【解答】解：A、直径是圆中特殊的弦，但弦不一定是直径，所以错误；B、半圆是特殊的弧，故正确；C、过圆内的点圆心有无数条直径，故错误；D、直径的长度是同一个圆的半径的2倍，故错误．故选：B．【典例2】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【典例3】下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【典例4】下列说法中正确的有（填序号）．（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径．故答案为：（1）（3）（4）．题型02垂径定理求弦长【典例1】如图⊙O的半径OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（）A．8 B．12 C．16 D．【解答】解：连接OA，如图所示：∵⊙O的半径OD＝10，∴OA＝OC＝OD＝10，又∵OM：OC＝3：5，∴OM＝6，∵AB⊥CD于点M，∴AM＝BM，在Rt△AOM中，AM＝＝＝8，∴AB＝2AM＝16，故选：C．【典例2】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3 B．4 C．5 【解答】解：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，∴OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OC＝，∵OA＝OE，AC＝CB，∴BE＝2OC＝3，故选：A．【典例3】如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，∵AB⊥CD，∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，∴AB＝2OB＝6；故选：C．【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝，∴AD＝2AE＝，故答案为．题型03垂径定理求半径（直径）【典例1】在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，则r的值是（）A． B． C． D．【解答】解：设OA交BC于点D，如图，∵BC垂直平分OA，∴OD＝r，BD＝CD＝BC＝3，在Rt△OBD中，（r）2+32＝r2，解得r1＝2，r2＝﹣2（舍去），即r的值为2．故选：C．【典例2】如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则⊙O的半径长为（）A． B．3 C． D．【解答】解：连接OD，设圆的半径是r，∵P是OB中点，∴OP＝r，∵AB⊥CD，∴PD＝CD＝×6＝3，∵OD2＝OP2+PD2，∴r2＝+32，∴r＝2．∴⊙O的半径长是2．故选：A．【典例3】如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）A．5 B．6 C．8 D．10【解答】解：连接OA，如图，∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，即⊙O半径为10．故选：D．【典例4】如图，已知AB是⊙O的一条弦，AB＝6，点M在AB上，且AM＝2，若OM＝，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，连接OB，如图，则AH＝BH＝AB＝3，∵AM＝2，∴MH＝AH﹣AM＝1，在Rt△OMH中，OH＝＝＝4，在Rt△OBH中，OB＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故选：B．题型04垂径定理求弦心距【典例1】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故选：C．【典例2】如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（）A．2 B． C． D．【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD，∴CD＝AB＝3+7＝10，过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC，OB，则∠CNO＝∠BMO＝90°，∵ON⊥CD，OM⊥AB，ON和OM斗过圆心O，∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝5，∵ON2＝OC2﹣CN2，OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB，∴ON＝OM，∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB，∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，∴四边形ONEM是正方形，∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝2，故选：A．【典例3】如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：连接OA，设OA＝r（cm），则OC＝OA＝r（cm），∵点D为弦AB的中点，O为圆心，∴OD⊥AB，∵AB＝8（cm），∴AD＝BD＝4（cm），∵CD＝6（cm），∴OD＝CD﹣OC＝（6﹣r）（cm），在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（6﹣r）2+42，解得，∴（cm），故选：B．【典例4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3．故选：C．题型05垂径定理的应用【典例1】高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（）A．5米 B．米 C．6米 D．米【解答】解：设⊙O的半径是r米，∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝4（米），∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（8﹣r）2+42，∴r＝5，∴⊙O的半径OA是5米．故选：A．【典例2】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（）A．10m B．8m C．6m D．5m【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m，∵AB＝8m，∴AD＝4m，在Rt△ODA中，有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5m，则该桨轮船的轮子直径为10m．故选：A．【典例3】一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，Dcm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，∴MNcm，∵CD∥AB，∴MN⊥CD，∴DM＝CD＝×4＝2（cm），BN＝AB＝×3＝1.5（cm），设OM＝x，∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm，∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，∴OM2+MD2＝ON2+BN2，∴x2+22＝（3.5﹣x）22，∴x＝1.5，∴OM＝1.5（cm），∴OD＝＝2.5（cm），∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．故选：B．【典例4】如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，则香水瓶的高度h是（）A．56 B．57 C．58 D．59【解答】解：如图，作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，∵OG⊥BC，BC＝14，∴，∵BO＝EO＝25，在Rt△BGO中，，∵BC∥EF，OG⊥BC，∴OH⊥EF，∴，在Rt△EHO中，，∴h＝HO+GO+AB＝7+24+26＝57，故选：B．1．以下说法正确的是（）A．半圆是弧 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形 D．两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直．【解答】解：A．半圆是弧，所以A选项符合题意；B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项不符合题意；C．所有角的度数都相等，所有的边都相等的多边形叫做正多边形，所以C选项不符合题意；D．两直线相交形成的四个角中有一个角为直角，则这两条直线互相垂直，所以D选项不符合题意．故选：A．2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°【解答】解：连接OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．故选：B．3．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm cm D．cm【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．4．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接OA，∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD＝，∴OC＝，∴OA＝，∵OC⊥AB，∴AD＝，∵AB＝2AD，∴AB＝．故选：D．5．如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．6【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，∵AD⊥BC，AD过圆心A，∴CD＝BD＝4，由勾股定理得：AD＝＝＝3，∴点A的横坐标是3，故选：B．6．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8．∴OC＝＝＝6．∵垂线段最短，∴点M与点C重合时，OM取得最小值6，当点M与点A，B重合时，OM取得最大值10，∴6≤OM≤10．∴OM不可能为5，故选：A．7．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（）A．6 B．5 C．4 D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA＝＝10，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即点C到弦AB所在直线的距离是米，故选：D．9．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为．【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OC，OA，设CH＝x，∴CH＝DH，AH＝x+3，∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，∴x＝，∴CD＝2CH＝．故答案为：．10．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝米．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝8米，设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，即桥拱所在圆的半径是10米．故答案为：10．11．如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为．【解答】解：∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝2，即CD的最大值为2，故答案为：2．12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：则AE＝BE＝AB＝3，OF⊥CD，∴CF＝DF＝CD，∵OA＝5，∴OE＝＝＝4，∵CD＝2CF＝8，∴CF＝4，∵OC＝OA＝5，∴OF＝＝＝3，当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝4+3＝7，即水管水面上升了1或7．故答案为：1或7．13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；