第二十七章相似（知识清单）九年级数学下册（人教版）

一、学习目标1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质；2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.重点：1.利用相似三角形的知识解决实际的问题；2.位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形.难点：把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型并求解.二、学习过程章节介绍中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换位似.知识梳理1.相似图形的概念：数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例.4.相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比.5.比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.6.相似三角形的概念：在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且ABA'B'7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例.8.平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.9.相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.10.相似三角形判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.11.三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.12.直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.13.相似三角形的性质：14.利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意画出示意图（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量（4）写出答案15.位似图形的概念：如果两个图形的对应顶点的连线都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形.16.位似图形的性质：1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）3）对应线段平行或者在一条直线上．17.把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，则图象上的对应点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）.考点解读考查题型一判断相似图形1．下列图形，一定相似的是（

）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2．如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（

）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【答案】D【分析】根据相似变换的概念判断即可．【详解】解：∵右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，∴两个图形相似，∴右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的．故选：D．【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键．3．观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】B【分析】根据相似图形的定义，对图形进行一一分析，选出正确答案．【详解】解：第一组形状不同，不符合相似形的定义；第二组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；第三组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；第四组形状不同，不符合相似形的定义，是相似图形的有2组．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．考查题型二由平行判定成比例线段1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE=AGAD B．DFCF=【答案】D【分析】根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵GE∥BD，∴AEBE=AGDG，△∴ABAE故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF=DGAG，△故选项B错误；∵DF∴AG∴AE故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC=故选项C错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．2．如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（）A．AFBF=AEED B．BFAF=【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．【详解】解：对A、B选项．∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴AFBF=AEC．∵AEAD=AF∴AEADD．∵AFBF=CE∴AFBF故选：D．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．BDAD=DFAC B．BFFC=【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A．由DF∥AC，得BDBAB．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得C．由DF∥AC，得BFBC故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．考查题型三由平行截线求相关线段的长或比例1．如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，A．2 B．3 C．4 D．10【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC∵AB=5，BC=6，EF=4，∴56∴DE=103故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD=2，BD=3，则AEAC的值是（

A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AEAC【详解】解：∵△ABC中，DE∥BC，∴AEAC∵AD=2，BD=3∴AEAC故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．3．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接并延长交AC于点F，则：FC的值是（

）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3【答案】A【分析】过点D作DG∥AC，与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG【详解】过点D作DG∥AC，与BF交于点G∵AD=4DE∵AD是△ABC的中线∴∴即AF=3DG∴DGFC∴AF:FC=3DG:2DG=3:2故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．4．如图，在△ABC中，AB=BC，点D为AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接，若DE=13，AC=20，则的长为（

）A．12 B．20 C．24 D．26【答案】C【分析】根据题意可知DE为△ABC的中位线，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，勾股定理解Rt△【详解】∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴ADBD∴AE=EC，∴DE=1∴BC=2DE=26,EC=1∵AB=BC,AE=EC，∴BE⊥AC，在Rt△BCE中，故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得E是AC中点是解题的关键．考查题型四证明两个三角形相似1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边求证：△ACD∽△ABC．【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：如图，∵在Rt△ABC中，CD是斜边∴∵∠A是公共角∴△ACD∽△ABC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．2．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．【答案】见解析【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2，∴△ADC∽△DEB．【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键．3．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD(1)ADAB(2)△AEF∽△ACD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据∠ADE=∠B，可得DE∥BC，从而得到ADDB（2）根据AD2=AF⋅AB，可得AD【详解】（1）证明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴ADDB∴ADAB（2）证明：∵AD∴ADAB∵ADAB∴AEAC又∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键．4．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且AB⋅AC=BD⋅CE．求证：△ABD∽△ECA．【答案】见解析【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由AB⋅AC=BD⋅CE，得到ABEC=BDCA，即可推出△【详解】解；∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴180°∠ABC=180°∠ACB，∴∠ABD=∠ECA，又∵AB⋅∴ABEC∴△ABD∽△ECA．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．5．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．（1）求证：△AEF∽△DFC；（2）求线段EF的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）EF=5．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到DF=CF2【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∴DF=C∴AF=4，∵AE=ABBE=8EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（8EF）2+42，解得：EF=5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．考查题型五补充条件使两个三角形相似1．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍无法判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=CD【答案】C【分析】根据公共角∠A，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】∵∠A=∠AA、当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；B、当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；C、当ADAC=CDBC时，D、当AC2=AD⋅AB故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．2．如图，要使△ACD∽△ABC，需要具备的条件是（

）A．ACAD=ABC．AC2=AD【答案】C【分析】题目中隐含条件∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是ACAB【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：ACAB∴AC故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（

）A．∠B=∠D B．∠C=∠AEDC．AB⋅BC=AD⋅【答案】C【分析】根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C．若添加AB⋅BC=AD⋅D．若添加AB⋅AE=AD⋅AC，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．考查题型六相似三角形与动点问题1．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C【答案】过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC【分析】由∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则可得BP=2tcm，，CQ=tcm，再分别从当CPCB=CQCA时，△CPQ∽△CBA与当CP【详解】解：，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，∴设AC=3xcm，，则，即4x=8，解得：，，AB=10cm，，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则，，，是公共角，∴①当CPCB=CQCA，即8−2t8解得：t=2.4，②当CPCA=CQCB，即8−2t6解得：t=32∴过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键．2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，．点P从点C出发沿折线CA−AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿BC−CA−AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0发现：(1)AB=___________；(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时AP的长．探究：(3)当t=1时，△PQC的面积为___________；(4)点P，Q分别在AC，BC上时，△PQC的面积能否是△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．拓展：(5)当PQ∥BC时，求出此时t的值．【答案】(1)5(2)相遇点在AB边上，1(3)1(4)不能，见解析(5)t=【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；（2）分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；（3）直接求出边长来求面积即可；（4）解方程时通过求根公式来说明不能取到值；（5）先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值．【详解】（1）在中，AB=A∴AB=5；

（2）点P运动到B需要：4+5÷1=9点Q运动到B点需要：3+4+5÷2=6当点P,Q相遇时，有2t−t=4．解得t=4．∴相遇点在AB边上，此时AP=4−3=1．

（3）当t=1时，PC=1,BQ=2，即∴SΔPQC故答案为1；（4）不能理由：若△PQC的面积是△ABC面积的一半，即12t(4−2t)=1∵Δ=−2∴方程没有实数根，即△PQC的面积不能是△ABC面积的一半．（5）由题可知，点P先到达AB边，当点Q还在AC边上时，存在PQ∥BC，如图所示．这时，AQAC∵AQ=7−2t，AP=t−3，∴7−2t3解得t=44即当PQ∥BC时，t=44【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平行线中线段成比例列方程．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．(2)S=(3)3或9【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过△CHP~△BCA，可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；（3）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分∠CPQ=90°与∠CQP=90°两种情况，利用相似三角形的性质，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A∵，∴12×6×8=1（2）解：过点P作PH⊥AC于点H，如图，根据题意得：DP=t，CQ=t，则CPt，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°∠DCB=∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°，∴∠CHP=∠ACB，∴△CHP~△BCA，∴PHAC=PC解得：PH=96∴；（3）解：根据题意得：DP=t，CQ=t．则CPt．∵∠ACD=∠PCQ，且∠ADC=90°，当∠CPQ=∠ADC=90°时，△CPQ~△CDA，如图，∴CQAC=CP解得：t=3；当∠CQP=∠ADC=90°时，△CQP~△CDA，如图，∴，即4.8−t8=解得：t=9综上所述，当t为3或95时，△CPQ与△CAD【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．考查题型七相似三角形与存在性问题1．如图，在矩形ABCD中，，BC=6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（(1)当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19(2)是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t=1s或t=2s(2)t=125【分析】（1）由△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19，可得12×t×6−2t（2）△AMN与△ACD相似，分为两种情况讨论即可得到t=125【详解】（1）由题意可知：AM=tcm，∴AN=AD−DN=∵△AMN的面积等于矩形ABCD面积的1∴1解之得：t1=1∴t=1s或t=2s时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的1（2）存在．理由如下：∵△AMN与△ACD相似∴分为两种情况：①当△MNA∽△ACD时∴AMDA=解得：t=②当△NMA∽△ACD时∴AMDC=解得：t=3综上所述，当t=125s或t=32s时，以A、【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点AB坐标分别为，动点M、N分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过动点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，设M、N运动时间为t秒，(0<t<4)(1)当t=3秒时，P点的坐标为（____，____），PC=__________；(2)当t为何值时，以为顶点的三角形与△ABC相似；(3)在平面内是否存在一个点E，使以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)3，34，(2)2秒或6441(3)169秒或43秒或【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出直线AC解析式，即可得出点P的坐标，最后用两点间的距离公式即可得出结论；（2）先得出AC=5，BN=t，，用相似三角形的性质列出方程即可求出时间t；（3）由菱形的性质，邻边相等即可分三种情况列方程即可求出时间t．【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为(4,0)，(4,3)，∴C(0,3)，设直线AC解析式为，将A，C代入，得0=4k+b3=b，解得：k=−∴直线AC解析式为y=−3∵点M从点O向点A以每秒1个单位的速度运动，，当x=t时，，，，，∴当t=3秒时，P点的坐标为P(3,34)（2），B(4,3)，∴OA=BC=4，OB=3，∴AC=5，由运动知，BN=t，，由（1）知，CP=5，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似，∴①当时，∴，∴t=2，②当时，∴，，∴t为2或6441时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC（3）由（1）知，CP=54t由（2）知，，，，∵以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，∴①当CP=CN时，∴，∴t=16②当CP=PN时，，（舍）或t=4③当CN=PN时，，（舍）或t=12857以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形时，t的值为169或43或【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了平面坐标系内两点间的公式，相似三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键分类讨论思想，是一道比较简单的中考常考题．考查题型八利用相似三角形性质求解1．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．5 B．6 C．163 D．【答案】C【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【详解】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴=2，∴S阴影故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．2．如图，在▱ABCD中，EF//AB,DE:EA=2:3,EF=4，则CD的长为（

A．163 B．8 C．10 【答案】C【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定证得△DEF∽△DAB，可得到EF:AB=DE:DA=2:5，进而求解即可．【详解】∵EF∥AB，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴△DEF∽△DAB．∵DE:EA=2:3，∴EF:AB=DE:DA=2:5，又∵EF=4，∴AB=10．∴在▱ABCD中，．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．3．如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数y=kx图象恰好经过点A，则kA．﹣2 B．2 C． D．﹣【答案】D【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝12OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k【详解】解：作AD⊥OB于D，∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，∴OA＝12OB∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，∴△AOD∽△BOA，∴S△∴S△AOD＝14S△BOA＝14×2＝3∵S△AOD＝12|k∴|k|＝，∵反比例函数y＝kx∴k＝﹣，故选D．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是解答此题的关键．4．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接并延长交CD的延长线于点F，若DE=3,DF=4，则▱ABCD的周长为（

）A．21 B．28 C．34 D．42【答案】C【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB=CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE∵DE=3,DF=4，∴AE=6，AB=8，∴AD=AE+DE=6+3=9，∴▱ABCD故选：C．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．考查题型九利用相似三角形解决实际问题1．如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE=1m，DE=1.5m，CE=5m，楼高BC是多少？【答案】楼高BC是9米．【分析】先求出AC的长度，由DE∥BC，得到AEAC=DE【详解】解：∵AE=1m，CE=5m，∴AC=6m，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∵DE=1.5m，∴16∴BC=9；∴楼高BC是9米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．2．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到墙的水平距离为CD=4m．图中A，B，C，D在同一条直线上．(1)求BC的长；(2)求灯泡到地面的高度AG．【答案】(1)3m(2)1.2m．【分析】（1）先证明△BFC∽BED，再利用相似三角形的性质得出BCBD=FC（2）先证明△BGA∽△BFC，再利用相似三角形的性质得出AGAB=FC【详解】（1）解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，∴BCBD∴BCBC+4解得：BC=3，答：BC的长为3m；（2）解：∵AC=5.4m，∴AB=5.4−3=2.4m∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2m，答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．3．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，墙到木板的水平距离为CD=4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．(1)求BC的长．(2)求灯泡到地面的高度．【答案】(1)3m；(2)1.2m．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．【详解】（1）解：由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽△BED，故BCBD即BCBC+4解得：BC=3，经检验，BC=3是上述分式方程的解，∴BC的长为3m；（2）∵AC=5.4m，∴AB=5.4−3=2.4（），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2（），∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．4．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高；（2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得：1解得：x=5.1（米），故答案为：5.1．（2）解：假设AB是乙树，∴BC=2.4（米）CD=1.2（米）∴CDCE∴1.2CE∴CE=0.96（米），∴10.8∴AB=4.2（米），答：乙树的高度为4.2米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．考查题型十位似图形的识别1．下列选项中的两个图形（实线部分），不是位似图形的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据位似图形的定义判断即可．【详解】解：因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，C中的两个图形是位似图形，D中的两个图形不是位似图形．故选：D．【点睛】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．2．下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据位似图形的定义解答即可，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，B与C的位似中心是交点，A的位似中心是圆心；D不是位似图形．故选D．【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．考查题型十一利用位似图形的性质求解1．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（