八年级数学复习备考高分秘籍（人教版）：与三角形和多边形有关角的综合计算大题专练（解析版）

专题-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.2与三角形和多边形有关角的综合计算大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2019·安徽·蚌埠第一实验学校八年级期中）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是______（2）类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC与∠A的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是______．【答案】（1）110°；（2）∠BPC=12【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°−40，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC=180°−故答案为110°（2）∠BPC=1证明：∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△PBC的外角，∴∠ACE=∠ABC+∠A∠PCE=∠PBC+∠BPC，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=1∴12∴∠BPC=1∴∠BPC=1故答案为：∠BPC=1（3）由（1）得，∠BPC=90°−1故答案为：∠BPC=90°−1【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．2．（2021·辽宁·大连市第十七中学八年级期中）小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．(1)如图，M为边AC上一点，则BD，MF的位置关系是，并证明；(2)若M为边AC反向延长线上一点，则（1）的结论还成立吗？请画出图形说明理由．(3)若M为边AC延长线上一点，则（1）的结论还成立吗？请画出图形说明理由．【答案】(1)平行，理由见解析(2)不成立，理由见解析(3)不成立，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义与四边形的内角和定理求出∠ABD+∠AMF＝90°，又∠AFM+∠AMF＝90°，然后证明得到∠ABD＝∠AFM，然后根据同位角相等，两直线平行可得BD∥（2）先证明∠ABC＝∠AME，再根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠AMF，然后根据∠ABD+∠ADB＝90°得到∠AMF+∠ADB＝90°，从而得到BD⊥MF；（3）先证明∠ABC＝∠AME，再根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠AMF，然后根据∠AMF+∠F＝90°得到∠ABD+∠F＝90°，从而得到BD⊥MF．（1）解：BD∥理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME＝360°﹣90°×2＝180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝12∠ABC，∠AMF＝12∠∴∠ABD+∠AMF＝12（∠ABC+∠AME）＝90又∵∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠ABD＝∠AFM，∴BD∥（2）解：不成立，BD⊥MF．如图所示，理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠AME+∠C＝90°，∴∠ABC＝∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝∠AMF，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠AMF+∠ADB＝90°，∴BD⊥MF；（3）解：不成立，BD⊥MF，如图所示，理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB＝∠AME+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝∠AMF，∵∠AMF+∠F＝90°，∴∠ABD+∠F＝90°，∴BD⊥MF．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，平行线的判定，三角形的内角和定理，本题规律性较强，准确识图，准确找出角度之间的关系是解题的关键．3．（2020·湖北荆门·八年级期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：(1)如图1，请你计算出的∠ABC的度数．(2)如图2，若AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．【答案】(1)∠ABC＝75°(2)∠AFD＝75°【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数；（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．4．（2021·重庆梁平·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高．(1)求∠BAE的度数；(2)求∠EAD的度数；(3)如图，若∠C>∠B，直接写出∠EAD、∠B、∠C的关系．【答案】(1)∠BAE=50°(2)∠EAD=10°(3)∠EAD=12(∠C-∠B【分析】（1）由∠B，∠C的度数利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数，再根据角平分线性质即可求出∠BAE的度数；（2）由∠B，∠ADB的度数利用三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数，再根据∠DAE=∠EAC﹣∠DAC代入数据即可得到结论；（3）猜想∠EAD=12(∠C-∠B)，重复（1）（2）的过程找出∠BAD和∠BAE（1）∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°；又∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE=12∠BAC（2）∵AD是边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴在△ADC中，∠C=50°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DAC=40°，由（1）知，∠BAE=∠CAE=50°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°，即∠EAD=10°．（3）∠EAD=12(∠C-∠B∵∠BAC=180-∠C-∠B且AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=12∠BAC=90°-12(∠C-∠∵∠BAD=90°-∠B，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=12(∠C-∠B【点睛】本题考查了三角形内角和定理角平分线的性质以及角的计算，解决此题的关键是熟练的运用上述性质．5．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）（1）如图①，点P是△ABC内角的平分线BP与CP的交点，求证：∠BPC=90°+1（2）如图②，点P是△ABC内角的平分线BP与外角平分线CP的交点，请直接写出∠BPC与∠A的关系；（3）如图③，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请直接写出∠BPC与∠A的关系．【答案】（1）见解析；（2）∠BPC=12【分析】（1）根据三角形内角和定理∠ABC+∠ACB=180°−∠A，根据角平分线的定义运算即可得出结论；（2）根据三角形的外角定理，得出∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC，再根据角平分线的定义运算即可得出结论；（3）根据平角的定义和三角形内角和定理推出，∠DBC+∠ECB的和，再根据角平分线的定义运算即可得出结论．【详解】（1）证明：∵BP和CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A∴∠PBC+∠PCB===90°−∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−（2）∠BPC=1∵BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC外角角平分线，∴∠PBC=12∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC∴∠PCD==∴∠PCD−∠PBC=∵∠PCD−∠PBC=∠BPC∴∠BPC=（3）∠BPC=90°−1∵BP和CP是△ABC外角角平分线，∴∠PBC=12∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A又∵∠DBC=180°−∠ABC，∠ECB=180°−∠ACB∴∠DBC+∠ECB=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−(∠ABC+∠ACB)=360°−(180°−∠A)=180°+∠A∴∠PBC+∠PCB==∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°+【点睛】本题考查了双内角角平分线模型，内外角角平分线模型，双外角角平分线模型，主要运用了三角形内角定理，三角形外角定理和角平分线的定义，灵活运用定理并准确运算是本题的关键．6．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°．求：∠B和∠F的度数．【答案】∠B＝40°；∠F＝10°【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAC=80°，由三角形内角和定理可得∠B＝40°，再根据三角形外角的性质可得∠EDF＝80°，然后根据EF⊥BC，即可求解．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝40°，∴∠DAC＝40°，即∠BAC=80°，∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∴∠EDF＝∠B+∠1=40°+40°＝80°，∵EF⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握有关角平分线的计算，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质是解题的关键．7．（2018·江西·八年级期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C；【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，由∠C+∠CAM=∠P+∠PDM可得3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，由∠B+∠BDN=∠P+∠PAN可得32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个；以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4个；②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，∴∠C+∠B=2∠P，∴120°+100°=2∠P，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，∴∠CAM=13∠CAB，∠PAN=23∠CAB，∠BDN=23∠BDC，∠PDM=1△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=13∠BDC-13∠3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=23∠BDC-23∠32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB∴3（∠C-∠P）=32（∠P-∠B2∠C-2∠P=∠P-∠B，3∠P=∠B+2∠C；【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等式的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等知识；掌握等式的性质是解题关键．8．（2021·河北保定·八年级期中）在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C′(1)如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC′=62°(2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC′=40°，∠AD(3)如图3，当点C落在△ABC外部时，请直接写出∠C'与∠BEC【答案】(1)31°(2)31°(3)∠【分析】（1）根据折叠可知，∠C=∠DC'C（2）根据∠BEC′=40°，∠ADC′=22°求出∠CDC'和∠CEC（3）用∠BEC′，∠ADC'分别表示出∠C'ED和∠(1)∵当点C落在边BC上时，∠ADC'是∴∠ADC根据折叠可知，∠C=∠DC'∵∠ADC∴∠C=1故答案为：31°；(2)∵∠BEC′=40°，∠ADC′=22°，∴∠CEC∠CDC根据折叠可知，∠C=∠C∴∠C===31°；(3)∵根据折叠可知，∠CDE=∠C'DE∴∠C∠C∴∠=180°−=1【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和与外角的性质，灵活运用三角形内角和与外角的性质是解题的关键．9．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）在ΔABC中，∠A=70°(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC=°；(2)如图2，ΔABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O′，则∠BO(3)探究如图3，ΔABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A=n°，则∠BOC的度数是．（用n【答案】(1)125°(2)55°(3)1【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义即可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而由三角形内角和定理可求得∠BOC的度数；（2）由三角形外角的性质及三角形内角和定理可求得∠DBC+∠BCE，由角平分线的定义可求得∴∠O′BC+∠O′CB的度数，从而由三角形内角和定理可求得∠BO（3）由角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，由三角形外角的性质即可得∠A=2∠BOC，从而可得∠BOC．(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°．∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=125°．故答案为：125°．(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+70°=250°．∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，∴∠O′BC=12∠DBC∴∠O′BC+∠O′CB=1∠BO′C=180°−(∠O′BC+∠O′CB)=180°−125°=55°．故答案为：55°．(3)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∵∠A=∠ACE−∠ABC，∴∠A=2∠OCE−2∠OBC=2(∠OCE−∠OBC)=2∠BOC．∴∠BOC=1故答案为：12【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，灵活运用它们是解答本题的关键．10．（2021·重庆市荣昌初级中学八年级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；(2)证明：∠BAC＝∠B+2∠E．【答案】(1)∠BAC=85°；(2)见解析【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．(1)解：∵∠B=35°，∠E=25°，∴∠ECD=∠B+∠E=60°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=60°，∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°；(2)证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE．∵∠BAC=∠E+∠ACE，∴∠BAC=∠E+∠ECD，∵∠ECD=∠B+∠E，∴∠BAC=∠E+∠B+∠E，∴∠BAC=∠B+2∠E．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．11．（2021·广西·百色市田阳区第五初级中学八年级期中）一个零件形状如图所示，按规定∠A应等于75°，∠B和∠C应分别是18°和22°，某质检员测得∠BDC=114°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】不合格，理由见解析【分析】延长BD与AC相交于点E．利用三角形的外角性质，可得∠1=∠A+∠B，∠BDC=∠BEC+∠C，即可求解．【详解】解：如图，延长BD与AC相交于点E．∵∠1是△ABE的一个外角，∠A=75°，∠B=18°，∴∠1=∠A+∠B=75°+18°=93°，同理可得∠BDC=∠BEC+∠C=93°+22°=115°∵李师傅量得∠BDC=114°，不是115°，∴这个零件不合格．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．12．（2021·山东德州·八年级期中）阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=度，∠ABP+∠ACP=度．（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．【答案】（1）90，40；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【分析】（1）由三角形内角和为180°计算△BPC和△ABC中的角的关系即可．（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的关系为∠ABP+∠ACP+∠A=90°．（3）由三角形外角的性质即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【详解】（1）在△BPC中∵∠MPN=90°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°在△ABC中∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP∴∠A+∠PBC+∠ABP+∠ACP+∠BCP=180°∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°∴∠ABP+∠ACP=180°-90°-50°=40°（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP+∠ACP+∠BCP=180°又∵∠PBC+∠PCB=90°∴∠A+∠ABP+∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°（3）如图所示，设PN与AB交于点H∵∠A+∠ACP=∠AHP又∵∠ABP+∠MPN=∠AHP∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN又∵∠MPN=90°∴∠A+∠ACP=90°+∠ABP∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【点睛】本题考查了三角形的性质以及三角尺的角度计算问题，三角板的角度分别为90°，45°，45°；90°，60°，30°两种直角三角尺，三角形内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．13．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）概念学习：已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写：“真命题”；反之，则写“假命题”①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；②任意的三角形都存在等角点．（2）如图①中，点P是锐角三角形△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，探究图中么∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①真命题；②假命题；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP【分析】（1）①根据等角点的定义，可知内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，从而可作出判断；②等边三角形不存在等角点，故可作出判断；（2）根据∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC，即可得出三个角间的数量关系．【详解】（1）①作内角分别为30°、60°、90°的三角形斜边的中线，取中线的中点，则此点就是此直角三角形的等角点，故为真命题；故答案为：真命题；②任意三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点，故为假命题；故答案为：假命题；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP理由如下：∵∠ABP+∠BAP=180°−∠BPA，∠ACP+∠CAP=180°−∠CPA∴∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP=180°−∠BPA+180°−∠CPA=360°−(∠BPA+∠CPA)即∠ABP+∠BAC+∠ACP=360°−(∠BPA+∠CPA)∴∠BPC=360°−(∠BPA+∠CPA)=∠ABP+∠BAC+∠ACP∵∠BAC=∠PBC∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP∴∠BPC=∠ABC+∠ACP【点睛】本题主要考查三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理解等角的定义，根据等角的定义及三角形的内角和得出角的关系．14．（2021·安徽·六安市轻工中学八年级期中）已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在CA、BA的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E．（1））求证：DB∥EC；（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°．求∠D的度数．【答案】（1）见解析；（2）50°【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D＝∠CAH，根据角平分线的定义可得∠BAH＝∠CAH，再根据已知条件和等量关系可得∠BAH＝∠E，再根据平行线的判定即可求解；（2）可设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，则∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180°−4x，可得∠AHC＝175°−4x，可得175°−4x＝3x，解方程求得x，进一步求得∠D的度数．【详解】（1）证明：∵DB∥AH，∴∠D＝∠CAH，∵AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH，∵∠D＝∠E，∴∠BAH＝∠E，∴AH∥EC，∴DB∥EC；（2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，∴∠DAB＝180°−4x，∵∠DAB比∠AHC大5°∴∠AHC＝175°−4x，∵DB∥AH，∴∠AHC=∠DBC即：175°−4x＝3x，解得x＝25°，则∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°．【点睛】考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．15．（2021·北京房山·八年级期中）已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC于N．(1)如图①，当点M与A重合时，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度数；(2)如图②，当点M在线段AE上（不与A，E重合），用等式表示∠EMN与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A做MC的垂线，交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．①依题意补全图形；②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，则∠AMC＝°．（用含α，β，γ的式子表示）【答案】（1）∠EMN=20°；（2）∠EMN=【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝12∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)．根据AD⊥BC，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=12(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．证法2:根据AE平分∠BAC，得出∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；

②∠AMC＝γ−12β+12α．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠【详解】解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝12∠BAC∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，∴∠CMN＝10°，∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)．

证法1:如图，作AD⊥BC于D．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠∵AD⊥BC，∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝12(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝12(∠C－∠∵AD⊥BC，MN⊥BC，∴AD//MN，∴∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．证法2:∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－12(∠C－∠B∴∠EMN＝90°－∠AEC＝12(∠C－∠B(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；

②∠AMC＝γ−1过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，∴MN∥AG，∴∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B∵MC⊥AD，∴∠CFD=∠CNM=90°，∵∠FCD=∠NCM，∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，∴∠AMC=γ°-12β°+12【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．16．（2021·广西玉林·八年级期中）如图：是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成37°角，现小燕测得∠A=151°,∠B=66°,∠C=88°,∠D=55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什么？【答案】合格，理由见解析【分析】延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，然后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：如图，延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，∵∠C+∠ADC=88°+55°=143°，

∴∠F=180°−∠C−∠ADC=37°，

∵∠C+∠ABC=88°+66°=154°，

∴∠E=180°−∠C−∠ABC=26°，

∴这块模板是合格的．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握三角形内角和定理．17．（2021·广东阳江·八年级期中）如图，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形纸板ABC的两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D，E两点．（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB＝度；（2）如图2，若直角顶点C在∠O的内部，求∠ADO+∠OEB的度数；（3）如图3，若直角顶点C在∠O的外部，求∠ADO+∠OEB的度数．【答案】（1）120；（2）120°；（3）120°【分析】（1）由三角形外角性质可知∠OEB=∠ECO+∠O，即可得出∠ADO+∠OEB=∠ACB+∠O，即可求出答案；（2）连接OC，由三角形外角性质可知∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，即可得出∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO=∠ACE+∠DOE，即得出答案；（3）连接OC，由三角形外角性质可知∠ADO=∠ACO−∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，即可得出【详解】解：（1）∵∠OEB=∠ECO+∠O，∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠ECO+∠O=∠ACB+∠O=90°+30°=120°．故答案为：120．（2）如图，连接OC，∵∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，∠ACE=90°，∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO=(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC+∠DOC)=∠ACE+∠DOE=90°+30°=120°（3）如图，连接OC∵∠ADO=∠ACO−∠DOC∴∠ADO+∠OEB=∠ACO−∠DOC+∠EOC+∠ECO=(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC−∠DOC)=∠ACE+∠DOE=90°+30°=120°【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD十∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．【答案】（1）60°；（2）β-12α【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，依此即可求解．【详解】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，又∵∠BDA=90°，∴∠EDA=60°，∴∠BAD=60°；（2）如图2，过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，则∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-12∠ABC=β-12【点睛】考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．19．（2022·全国·八年级专题练习）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：(1)在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式．(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；(3)在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为．【答案】(1)∠A+∠C＝∠B+∠D，见解析(2)98°(3)∠P＝13（β+2α(4)360°【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=13（2∠C+∠B（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．（1）解：结论：∠A+∠C=∠B+∠D．理由：如图中，∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠DOB=180°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．故答案为：∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B∵∠C=100°，∠B=96°，∴∠P=12（3）解：结论：∠P=13（β+2α理由：∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠∴∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=13∠BDC-13∠BAC，∠P-∠B=23∠BDC-2∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，∴∠P=13（∠B+2∠C∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=13（β+2α（4）解：∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形内角与外角的关系，以及多边形内角和．也考查了角平分线的定义，关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．20．（2022·全国·八年级课时练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．(1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【答案】(1)EF//GH，理由见解析；(2)2∠α−∠β=180(3)90∘+m或【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行加以证明；（2）利用三角形的外角性质证明即可；（3）分两种情况画图讨论：①当n=3时；②当n=2时．（1）解：EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，∵α=90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1+∠2+∠FEG=180°,∠3+∠4+∠EGH=180°,∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°，∴∠FEG+∠EGH=180∴EF//GH；（2）解：β=2α−180°．理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，∴∠2+∠3=180°−α，∵∠1=∠2,∠1=∠MEB，∴∠2=∠MEB，∴∠MEG=2∠2，∵∠3=∠4,∠4=∠MGB，∴∠3=∠MGB，∴∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，∴β=180°−(∠MEG+∠MGE)===180°－（3）解：90°+m或150°．理由如下：①当n=3时，如下图所示，∵∠BEG=∠1=m，∴∠BGE=∠CGH=60°-m，∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2m，∠EGH=180°-2∠BGE=180°-2(60°-m)=60°+2m，∵EF//HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，∴∠GHK=360°-(180°-2m)-(60°+2m)=120°，∴∠GHC=120°÷2=30°，在△GCH中，γ=180°-(60°-m)-30°=90°+m．②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，由（1）知α=90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示，∵EF//HK，∴∠HEF+∠EHK=180°．∵∠1+∠BEH+∠HEF+∠DHK+∠EHK+∠CHE=360°，∴∠1+∠BEH+∠DHK+∠CHE=180°，∴∠BEH+∠CHE=90°．∵α+γ+∠BEH+∠CHE=360°，α＝110°，∴γ=160°．综上所述：γ的度数为：90°+m或160°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、多边形的内角和，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．21．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EF∥CD，交AD于点F．(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠D＝∠BCG，理由见解析【分析】（1）根据EF⊥CE得出∠FEC=90°，进而根据已知得出∠BCE+∠BEC=90°，从而求解；（2）先证明∠ECD=∠BCG，然后设∠ECD=∠BCG=x，表示出∠BCE=180°−2x，∠BEC=2x−90°，进而表示出∠FEC=180°−∠ECD=180°−x，∠AEF=180°−∠FEC−∠BEC=90°−x，求出∠FEG=135°，∠G=45°，进而求出∠D=x，得出∠D=∠BCG．（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°．∵∠BCE与∠BEC互余，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEF＝∠BCE；（2）解：∵∠BCD+∠ECD＝180°，∠BCD+∠BEG＝180°，∴∠ECD＝∠BCG．设∠ECD＝∠BCG＝x，∴∠BCE＝180°﹣2x，∠BEC＝2x﹣90°．∵EG平分∠BEC，∴∠BEG＝∠GEC＝x﹣45°．∵EF∥CD，∴∠FEC＝180°﹣∠ECD＝180°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＝90°﹣x，∠FEG＝∠FEC+∠GEC＝180°﹣x+x﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣CFEG＝45°．∵∠D+∠AEF＝2∠G，∴∠D＝2∠G﹣∠AEF＝90°﹣（90°﹣x）＝x，∴∠D＝∠BCG．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质．22．（2022·全国·八年级专题练习）在五边形ABCDE中，∠A=130∘，∠B=110(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；(2)如图②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度数；(3)如图③，若CP，DP分别平分∠BCD与∠CDE的外角，试求出∠CPD的度数．【答案】(1)见解析(2)∠D=120°(3)∠CPD=100°【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可；（2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后∠D−∠C=40°求得∠D即可；（3）先根据多边形内角结合外角的定义求得∠DCF+∠CDG=160°，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可．（1）解：如图即为所求．（2）解：五边形ABCDE的内角和为5−2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠C+∠D=540°−∠A−∠B−∠E=540°−130°−110°−100°=200°，又∵∠D−∠C=40°，∴∠D=120°．（3）解：五边形ABCDE的内角和为5−2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠BCD+∠CDE=540°−∠A−∠B−∠E=540°−130°−110°−100°=200°，又∵∠BCD+∠DCF=180°，∠CDE+∠CDG=180°，∴∠DCF+∠CDG=360°−200°=160°，∵CP平分∠DCF，DP平分∠CDG，∴∠DCP=12∠DCF∴∠DCP+∠CDP=1又∵∠CPD+∠DCP+∠CDP=180°，∴∠CPD=180°−∠DCP−∠CDP=180°−80°=100°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键．23．（2022·全国·八年级课时练习）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．【答案】(1)105°(2)β-α=90°(3)BE∥DF，理由见解析【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC=360°－（∠ABC+∠ADC），=α+β=105°；（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正确）．理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，∴12（α+β）+180°-β∴β-α=90°．故答案为β-α=90°（或α－β=－90°等均正确）；（3）解：BE∥DF．理由：如图2，过点C作CP∥BE，则∠EBC=∠BCP，∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，∵α=β，∴∠MBC+∠NDC=2β，又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）=β∴∠FDC=β－∠EBC，又∵∠DCP=β－∠EBC，∴∠FDC=∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．【点睛】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，四边形的内角和，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．24．（2022·全国·八年级课时练习）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？(1)已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？(2)已知：如图2，△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？(3)已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；(2)∠P＝90°+12∠A(3)∠P＝12（∠A+∠B【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠（3）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．（1）解：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A，理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；（2）解：∠P＝90°+12∠A∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PCD+∠PDC=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠ACD＝180°﹣12（180°﹣∠A＝90°+12∠A（3）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠BCD＝180°﹣12（360°﹣∠A﹣∠B＝12（∠A+∠B【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义及外角性质是解题的关键．25．（2022·全国·八年级课时练习）（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________；（2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；（4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝13∠CDN，∠CBP＝13∠CBM，求∠【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）65°；（4）30°【分析】（1）根据两个等式，利用等式性质得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系；（2）仿照三角形的外角定理求解；（3）根据（1）结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和，从而求∠E的度数；（4）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，从而求∠P的度数．【详解】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D，故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）结论为：四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°，∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°，∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°；（4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝180°，∵∠CDP＝13∠CDN，∠CBP＝13∠∴∠CDP+∠CBP＝13（∠CDN+∠CBM∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，即∠ADP+∠ABP＝240°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．【点睛】本题考查考查了三角形的综合题，阅读题目，理解题意是解题的关键．26．（2022·全国·八年级课时练习）已知MN//PQ，点B、C在MN上（B在C左侧），A在PQ上，连接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于点E．(1)求∠AEB的度数；(2)若将图1中的线段AC沿PQ向右平移到DC如图2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于点E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，请你直接写出∠DEB的度数：(3)若将图1中的线段AC沿PQ向左平移到DC如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时∠DEB的度数又是多少．（不需要证明）【答案】(1)∠AEB=140°(2)∠DEB=140°(3)∠DEB=50°【分析】（1）先证明∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,再求解∠PAE=12×140°＝70°，可得∠BAE=∠PAE−∠PAB=10°,再求解∠ABE（2）先证明∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,可得∠PDC=140°,由DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∠ADE=1（3）先证明∠ABC=60°,∠QDC=40°,结合角平分线的定义可得∠ADE=20°,∠ABE=∠EBC=30°,如图，过E作EK∥PQ，证明∠ADE=∠DEK=20°,再证明∠KEB=∠EBC=30°,（1）解：∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,∴∠PAC=180°-40°=140°，而AE平分∠PAC，∴∠PAE=12∴∠BAE=∠PAE−∠PAB=70°−60°=10°,∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=30°，在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，（2）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,∴∠PDC=140°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=1∴∠DEB=360°−120°−70°−30°=140°.（3）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∠ABC=60°,∠QDC=40°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=如图，过E作EK∥∴∠ADE=∠DEK=20°,∵MN∥∴KE∥∴∠KEB=∠EBC=30°,∴∠DEB=∠DEK+∠KEB=20°+30°=50°.【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质与多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键．27．（2022·全国·八年级课时练习）阅读并解决下列问题：（1）如图①，ΔABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC=（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=72°，求图①

图②【答案】（1）120°；（2）144°【分析】（1）先根据三角形内角和及角平分线求出∠CBD+∠BCD=60°，然后再根据三角形内角和求出∠BDC的度数即可．（2）首先根据AE∥BC得出∠A+∠B=180°，然后根据五边形内角和求出∠AED+∠BCD=288°，由角平分线的性质进而得出∠DEF+∠DCF=144°，再根据四边形内角和即可求出【详解】（1）∵BD，CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴60°+2∠CBD+2∠BCD=180°，∴∠CBD+∠BCD=60°，∵∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，∴∠BDC=120°．（2）∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，设∠AEF=∠DEF=α，∠BCF=∠DCF=β，∵AE∥BC∴∠A+∠B=180°，∵五边形的内角和为540°，∴∠AED+∠D+∠BCD=540°−180°=360°，即2α+72°+2β=360°，

∴α+β=144°，∵∠EDC=72°，

∴∠EFC=360°−∠D−α+β【点睛】本题考查了多边形的内角和、平行线的性质及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和的求法及灵活运用角平分线的性质．28．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A180°．（横线上填＜、＝或＞）(2)初步应用：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P=．(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．【答案】(1)＝(2)∠P＝90°－12∠(3)∠P＝180°－12∠BAD－12∠【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−12（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=12∠EBC=90°−12∠1，∠4=12∠FCB=90°−1(1)∠DBC+∠ECB-∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，故答案为：=；(2)∠P=90°-12∠A理由是：∵BP