专题04 有理数混合运算的四种考法（解析版）（北师大版）

专题04有理数混合运算的四种考法类型一、含乘方与绝对值的混合运算例1．【答案】【分析】先计算乘方，再进行加减运算．【详解】解：【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算．例2．计算：．【答案】【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式训练1】计算：【答案】【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．【变式训练2】计算：【答案】【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减，按这个运算顺序计算即可.【详解】解：.【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键.【变式训练3】计算：．【答案】【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．【变式训练4】计算：【答案】【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．类型二、简便运算问题例1．用简便算法计算：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；（2）将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用．例2.计算：【答案】15【分析】根据有理数的混合运算法则，通过有理数的简便计算即可求出答案.【详解】解：原式故答案为：15.【点睛】本题考查了用有理数的乘法分配律的简便运算解出答案.是否能熟练掌握分配律的简便计算是解这题的技巧.【变式训练1】用简便方法计算下列各题：(1)．(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意，再根据乘法分配律即可解答；（2）先将，再利用乘法分配律即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律，熟记有理数乘法的分配律是解题的关键．【变式训练2】计算：【答案】26【分析】先将除法转换成乘法，然后根据利用乘法分配律计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键．【变式训练3】简便计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．类型三、实际应用例．2019年国庆，全国从1日到7日放假七天，各地景区游人如织，其中大同云冈石窟景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化（万人）（1）10月3日的人数为__________万人．（2）七天假期里，游客人数最多的是哪天，多少万人？（3）请问大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了多少游客？【答案】（1）5.2；（2）人数最多的是10月2日，达到5.78万人；（3）25.23万人【分析】（1）将0.9加上10月1，2，3的变化量可求解；（2）分别计算每天的游客数量即可求解；（3）将每天的变化量的绝对值相加可求解总游客数．【详解】解：（1）0.9+3.1+1.78-0.58=5.2（万人），故10月3日的人数为5.2万人；故答案为5.2；（2）10月1日游客人数为：0.9+3.1=4（万人）；10月2日游客人数为：4+1.78=5.78（万人）；10月3日游客人数为：5.78-0.58=5.2（万人）；10月4日游客人数为：5.2-0.8=4.4（万人）；10月5日游客人数为：4.4-1=3.4（万人）；10月6日游客人数为：3.4-1.6=1.8（万人）；10月7日游客人数为：1.8-1.15=0.65（万人）；故七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人；（3）4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65=25.23（万人），答：大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了25.23万游客．【点睛】本题主要考查有理数的加减法混合运算，读懂题意是解题的关键．【变式训练1】小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）星期一二三四五六日增减产量（1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个．（2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．【答案】（1）；；（2）元；（3）每日计件工资更多，理由见解析．【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量．（２）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额．（3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得——每日计件工资更多．【详解】（1）小明妈妈星期三生产玩具个，（个），故本周实际生产玩具个，故答案为：，．（2）（元）答：小明妈妈这一周的工资总额是元（3）元，每周计件一周得元，因为，所以每日计件工资更多．【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用．其关键是审清题意，弄准确其中正负数及0的含义，才能列出正确算式．【变式训练2】杭州市出租车的收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费11元，超过3千米的部分每千米收费2元．超过起步里程10千米以上的部分加收50%，即每千米3元（不足1千米以1千米计算）．（1）小明有一次乘坐出租车行驶4.1千米，他应付车费多少元？（2）若小明乘坐出租车行驶14.9千米，他应付车费多少元？（3）小明家距离学校13.1千米，他带了31元钱，则他从学校坐出租车到家，钱够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米的路？【答案】（1）15；（2）37；（3）小明带的钱不够乘坐13.1千米，他至少先走0.1千米再乘坐出租车．【分析】（1）由题意可知:3<4.1<10，所以车费=3千米以内的收费+超过3千米的部分×2；（2）由于14.9>13，所以应付车费由三部分组成，即3千米以内的收费十超过起步里程的部分10千米×2+超过起步里程13千米的里程数×3；(3)车费=基础车费+超过起步里程10千米的车费+超过13千米的车费，再比较应付车费和他所带的钱数．【详解】解：(1)不足1千米以1千米计算，4.1≈5，又3千米以内(含3千米)收费11元，超过3千米的部分每千米收费2元，故车费为：11+(5-3)×2=15(元)，∴小明乘坐出租车行驶4.1千米应付车费15元；(2)不足1千米以1千米计算，14.9≈15，又3千米以内(含3千米)收费11元，超过3千米的部分每千米收费2元，超过起步里程10千米以上的部分加收50%，即每千米3元，故车费为：11+10×2+(15-13)×3=37(元)，∴小明乘坐出租车行驶14.9千米应付车费37元；(3)∵不足1千米以1千米计算，13.1千米≈14千米，∴小明应付的车费是:11+10×2+3(14-13)×3=34元，∵小明带了31元钱，应付34元，34＞31，∴小明带的钱不够，∵11+10×2=31，∴小明可以乘坐13千米的车，13.1-13=0.1(千米)，答：小明带的钱不够乘坐13.1千米，他至少先走0.1千米再乘坐出租车．【点睛】本题考查有理数的混合运算，在计算时一定要弄清题意，特别是“不足1千米以1千米计算”这句话．类型三四、24点例．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少?答：我抽取的2张卡片是、，乘积的最小值为．（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，如何抽取？最大值是多少?答：我抽取的2张卡片是、，商的最大值为．（3）从中取出4张卡片，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算使其结果等于24，如何抽取？写出运算式子（写出一种即可）．答：我抽取的4张卡片是、、、，算24的式子为．【答案】（1）-6、10、-60；（2）3、10、；（3）例如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10-4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等．【详解】试题分析：（1）观察这五个数，要找乘积最小的就要找符号相反且数值最大的数，所以选﹣6和10；（2）2张卡片上数字相除的商最大就要找符号相同，且分母越小越好，分子越大越好，所以就要选10和3，且3为分母；（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只要答数是24即可，选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10-4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等．试题解析：（1）﹣6×10=－60；我抽取的2张卡片是）-6、10，乘积的最大值为－60；（2）10÷3=；我抽取的2张卡片是3、10，商的最大值为；（3）方法不唯一，如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4或选-6、0、3、10；3×10-6+0或选-6、3、4、10；算式是（10-4）-（-6）×3或4-10×（-6）÷3等等．考点：1．有理数的混合运算；2．图表型．【变式训练1】如图所示，小明有标注①~⑤号的5张写着不同有理数的卡片，请你按要求选出卡片，完成下列各题．（1）从中选出1张卡片，且这张卡片的有理数在全部有理数大小排列里居中，应选取__________号卡片，这张卡片上的有理数是_________；（2）从中选出2张卡片，且这2张卡片的有理数差最大，应选取_________号卡片，差的最大值是_________；（3）从中选出3张卡片，且这3张卡片的有理数积最小，应选取_________号卡片，积的最小值是_________；（4）从中选出4张卡片，且将这4张卡片的有理数运用加、减、乘和除四则运算及括号列出一个算式，使得该算式的计算结果为24，请你写出算式（只需写出1种即可）．【答案】（1）②，；（2）④⑤，14；（3）①④⑤，；（4）或等．【分析】（1）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；（2）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；（4）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一，主要符合题意即可.【详解】（1）因为-1在全部有理数大小排列里居中，所以选②卡片，故答案为：②，-1；(2)由已知可得，当选取卡片6和−8时，差值最大，差的最大值是6−(−8)=14；故答案为：④⑤，最大值是14(3)由已知可得，当选取卡片3、6和−8时，乘积最小，积的最小值是：(−8)×6×3=−144；故答案为：①④⑤，最小值是(4)∵[−1−(6÷3)]×(−8)=(−1−2)×(−8)=(−3)×(−8)=24，∴算式[−1−(6÷3)]×(−8)的计算结果为24（答案不唯一）.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注意第（4）问答案不唯一【变式训练2】小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？(3)从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？(4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）．【答案】(1)抽取与，积为24(2)抽取与，商为(3)抽取与，进行乘方运算得到最大为(4)（答案不唯一）【分析】（1）要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解；（2）要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解（3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取与4，据此可求解；（4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可．【详解】（1）抽取与，则其乘积为：；（2）抽取与，则其商为：；（3）抽取与，则有：；（4）．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．课后训练1．计算：．【答案】【分析】根据有理数的四则混合运算的法则先计算括号里面的，再计算除法即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意不要将乘法分配律运用到除法运算中，除法没有分配律，正确运用有理数的运算法则是解答本题的关键．2．计算下面各题，能简便运算的要用简便方法算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)88(3)249【分析】（1）先计算乘法再计算除法即可；（2）提公因数即可；（3）改变计算顺序，结合乘法结合律即可．【详解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式【点睛】本题考查有理数的混合运算．观察式子形式，合理使用运算法则是解题的关键．3．计算（能简算的要简算）（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）－3；（2）；（3）；（4）－1；（5）2；（6）【分析】（1）根据加法结合律直接求解即可；（2）根据有理数的加法交换律及结合律进行运算即可；（3）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；（4）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；（5）根据乘法交换律及结合律进行运算即可；（6）先对带分数进行拆解，然后根据有理数的乘法分配律进行求解即可．【详解】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）原式（6）原式．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握利用运算律进行有理数的简便运算是解题的关键．4．计算：．【答案】【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．5．计算：．【答案】1【分析】先计算绝对值，乘方运算和小括号里面的，再进行乘除运算，最后再加减即可.【详解】解：

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则且准确的计算是解题的关键.6．出租车司机李师傅从上午在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？（2）上午李师傅开车的平均速度是多少？（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案；（3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可．【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方